另解两值联赛题

(一)2010年全国高中数学联赛一试试题(9)已知函数f(x)=ax~2+bx~2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1,| f′(x)≤1 |,试求a的最大值.解由于f′(x)=3ax~2+2bx+c当a>0时,表示一条下凹的抛物线,从题设条件,可知0≤x≤1,-1≤f′(x)≤1.从图线中可以得到     

一道条件不相容的病错题

<正>《中学生数学》2015年1月(上)刊登"赋值法求抽象函数的值"一文中的例2是一道条件不相容的病错题,特说明如下:题目定义在R的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x/3)=1/2f(x),且当0≤x_1≤x_2≤1时,有f(x_1)≤f(x_2),则f(1/2015)=( ).     

B值鞅的Davis型不等式与Banach空间的几何性质

下面两个结果被证明: 1.Banach空间X同构于p光滑空间(10使得每个X值鞅f=(f_n)满足‖f~*‖≤C‖S~((p))(f)‖_1。 2.Banach空间X同构于q凸空间(2≤q<∞)当且仅当存在C>0使得每个X值鞅f=(f_n)满足‖S~((q))(f)‖_1≤C‖f~*‖_1。 此外,应用f~*与S~((p))(f)的弱(1,1)型不等式以及集合{f~*<∞}{S~((p))(f)<∞}的相互包含关系刻划了B空间的p光滑性和q凸性。作为推论,给出了超自反空间以及与Hilbert空间同构的Banach空间的特征。     

学贵有疑--质疑、反思

文[1]“巧解”摘录:题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1)对一切实数x都成立,求f(x).原解设A(x),B(f(x)),C(x2 12)为数轴上的3点,则ABBC=λ.由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∴λ≥0.由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ.     

带有Sobolev-Hardy临界指标项的非齐次椭圆方程的解

考虑带有Hardy和Sobolev-Hardy临界指标项的非齐次椭圆方程{-Δu-u(u/(|x|~2))=λu+(((|u|~(2~*(s)-2))/(|x|~s))u+f,在Ω中,u=0,在Ω上,这里2~*(s)=(2(N-s))/(N-2)是临界Sobolev-Hardy指标,N≥3,0≤s2,0≤μ=((N-2)~2)/4,ΩR~N是一个开区域.假设0≤λ≤λ_1时,λ_1是正算子-△-μ/(|x|~2)的第一特征值.f∈H~1_0(Ω)~*,f(x)≠0.当f满足适当的条件时,此方程在H~1_0(Ω)中至少具有两个解u_0和u_1.而且,当f≥0时,有u_0≥0和u_1≥0.     

一类数学试题的错因分析

<正>问题定义在R上的函数f(x)满足f(0)x=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x/5)=1/2f(x)且当0≤x1相似文献   

除伪存真推陈出新 优化思维

学生在处理下面一类常见问题时 ,一般有两种解法 .题目　设 f ( x) =ax2 c,且 -4≤ f ( 1)≤-1,-1≤f( 2 )≤ 5 ,求 f( 3 )的取值范围 .　错解　 -4≤ f ( 1)≤ -1-1≤ f ( 2 )≤ 5 -4≤ a c≤ -1-1≤ 4a c≤ 51 0≤ a≤ 3-7≤ c≤ -1　 2 -7≤ 9a c≤ 2 6 -7≤f( 3 )≤ 2 6.解法 1　 f ( 1) =a cf ( 2 ) =4a c a=-13 f( 1) 13 f ( 2 )c=43 f ( 1) -13 f ( 2 ) ,∴　 f ( 3 ) =9a c=9·〔-13 f( 1) 13 f( 2 )〕 43 f( 1) -13 f( 2 )=-53 f( 1) 83 f( 2 ) .∵　 -4≤ f ( 1)≤ -1,-1≤ f ( 2 )≤ 5 ,∴　 -1≤f( 3 )≤ 2 0 .分析 1　函…     

关于压缩映射的一点注记

B.Ray 1974年在[1]中证明了下列定理: 定理 设X是完备的距离空间,T_1:X→X,T_2:X→X是两个映射.若存在h∈(0,1),使 d(T_1x,T_2y)≤hd(x,y),x,y∈X,(1)则T_1和T_2必有公共不动点。     

用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…     

二重积分计算的一点注记

<正> 众所周知,在有界闭区域D 上连续的函数f(x,y)的二重积分integral integral from D f(x,y)dxdy 存在,而且它可以化为二次积分来计算,例如:如果积分区域D 为X—型区域,即D 可用不等式Φ_1(x)≤y≤Φ_2(x),a≤x≤b 表示,其中函数Φ_1(x)、Φ_2(x)在[a,b]上连续.则有公式:     

非单C~*-代数α-比较性的等价刻画

给出非单C~*-代数α-比较性的等价刻画:当每个τ∈QT(■H)均为忠实时,■具有α-比较性,当且仅当对于任意的〈a〉,〈b〉∈Cu(■)且∝,若α·d_τ(a)≤在Cu(■)中成立;一般地,当QT(■H)≠Φ时,■具有α-比较性,当且仅当对于任意的,∈Cu(■),若存在η>0,使得d_τ(α)≤(α~(-1)-η)d_τ(b)(_τ∈QT(■H)),则≤在Cu(■)中成立.     

R~N上一类p(x)-Laplacian方程的无穷多解问题

该文主要讨论了如下p(x)-Laplacian算子方程的解.其中1P-≤p(x)≤P+N.得到了上述方程在变指数Sobolev空间W~(1,p(x))(R~N)中的一列能量值趋向正无穷的解.     

齐型空间中分数次积分交换子的加权端点估计

该文得到齐型空间中分数次积分交换子[b,I_α]的加权端点估计ω({x∈X:|[b,I_α]f(x)|t})≤Cψ(∫_xA(||b||_*(|f(x)|/t)■(ω(x))dμ(x))其中b∈BMO(X,d,μ),A(t)=tlog(e+t),ψ(t)=[tlog(e+t~α)]~(1/(1-α)),■(t)=t~(1-α)log(e+t~(-α)).     

Justification of a Perturbation Approximation of the Klein–Gordon Equation

Consider the nonlinear wave equation
u_tt − γ ² u_xx + f(u) = 0
with the initial conditions
u ( x ,0) = εφ ( x ), u _t( x ,0) = εψ ( x ),
where f ( u ) is either of the form f ( u )= c ² u −σ u ^{2 s +1}, s =1, 2,…, or an odd smooth function with f '(0)>0 and | f '( u )|≤ C ₀².The initial data φ( x )∈ C ² and ψ( x )∈ C ¹ are odd periodic functions that have the same period. We establish the global existence and uniqueness of the solution u ( x ,  t ; ɛ), and prove its boundedness in x ∈ R and t >0 for all sufficiently small ɛ>0. Furthermore, we show that the error between the solution u ( x ,  t ; ɛ) and the leading term approximation obtained by the multiple scale method is of the order ɛ³ uniformly for x ∈ R and 0≤ t ≤ T /ɛ², as long as ɛ is sufficiently small, T being an arbitrary positive number.     

一类效应代数的态表示定理

1994年, Foulis和Bennett在表示不可精确测量的量子逻辑结构时引入了效应代数. 该文用直接构造的方法, 给出一类效应代数上的态表示定理. 即, 若Ω是紧的 Hausdorff 拓扑空间, 令E(Ω)={f: f∈C(Ω), 0≤f≤1}, 则φ 是(E(Ω),Ο, 0, 1) 上的态当且仅当Ω 上存在唯一的正则Borel 概率测度μ使得对每个f (E(Ω),Ο, 0, 1),φ (f)=∫_Ω f dμ.     

非线性四阶周期边值问题的最优正解

该文使用锥不动点定理研究了四阶周期边值问题u⁽⁴)-m⁴u+F(t, u(τ(t)))=0, 0 < t < 2π, u⁽ⁱ⁾(0)=u⁽ⁱ⁾(2π),~ i=0,1, 2, 3, 这里 F: [0,2π ]×R⁺→R⁺ 和τ: [0, 2π]→[0, 2π] 是连续的, 0-7.     

Multiple Positive Solutions for a Nonlinear Elliptic Equation Involving Hardy–Sobolev–Maz'ya Term

In this paper, we study the existence and nonexistence of multiple positive solutions for the following problem involving Hardy–Sobolev–Maz'ya term:-Δu- λu/|y|2=|u|pt-1u/|y|t+ μf(x), x ∈Ω,where Ω is a bounded domain in RN(N ≥ 2), 0 ∈Ω, x =(y, z) ∈ Rk× RN-kand pt =N +2-2t N-2(0 ≤ t ≤2). For f(x) ∈ C1(Ω)\{0}, we show that there exists a constant μ* 0 such that the problem possessesat least two positive solutions if μ∈(0, μ*) and at least one positive solution if μ = μ*. Furthermore,there are no positive solutions if μ∈(μ*, +∞).     

由分数次导数所确定的L2(T)中的一元周期函数类在Lq(T)中的相对宽度

作者研究了相对宽度K_n(W₂^α(T), MW₂^β(T), L₂(T)), T=[0,2π], 确定了使等式K_n(W₂^α(T), MW₂^β(T), L₂(T))=d_n(W₂^α(T), L₂(T))成立的最小M值, 得到了相对宽度K_n(W₂^α(T), W₂^α(T), L_q(T))的渐近阶, 其中α≥β>0, 1≤q≤∞, K_n(., ., L_q(T)) 和 d_n(., L_q(T))分别表示Kolmogorov意义下L_q(T)尺度下的相对宽度和宽度, MW_p^α(T), 1≤ p≤∞, 表示有如下卷积表达式的2π 周期函数类, f(t)=c+(B_α* g)(t),c∈ R, B_α*g 表示 B_α 和g 的卷积, g∈L_p(T) 满足∫₀^2πg(τ)dτ=0 和||g||_p≤M, B_α∈ L₁(T) 有如下Fourier展开: B_α(t)=1/2π∑' _{k∈ Z}(ik)^-αe^ikt,∑^'表示去掉 k=0的项.     

从双曲α-Bloch 空间到双曲{\boldmath QK型空间上的复合算子

若φ 为单位圆盘D上的解析自映射, X为D上解析函数全体构成的Banach空间.定义X上复合算子C_φ: C_φ (f)=fοφ, 对任意 f∈X. 该文研究了从双曲α-Bloch 空间到双曲Q_K型空间上复合算子的有界性的特征. 另外, 还给出了从D_p,α 到Q_K(p, q) 空间上复合算子的有界性和紧性的特征.     

具非线性边界条件的Volterra型时滞微分方程边值问题奇摄动

该文研究一类时滞微分方程边值问题〖JB({〗εx″(t)=f(t,x(t),x(t-τ(t)),\[Tx\](t),x′(t),ε),t∈(0,1),\=x(t)=φ(t,ε),t∈\[-τ,0\],h(x(1),x′(1),ε)=A(ε),[JB)]其中ε>0为小参数，τ(t)≥τ\-0>0,τ=\%\{max\}\%[DD(X]t∈\[0,1\][DD)]τ(t)<1,\[Tx\](t)=ψ(t)+∫\+t\-0k(t,x)x(s）ds为Volterra型算子。利用微分不等式理论证明了边值问题解的存在性，并给出了解的一 致有效渐近展开式。