对Fermat原理的一个推广 *

从电磁场的Maxwell方程组和单色稳态光场的时间平均能流密度的矢量表达式出发,通过引入衍射光线(时间平均能流线)的概念,对几何光学中的光线概念进行了推广,使之可适用于稳态的矢量光场.在此基础上,借助于广义折射率n_G的概念,对几何光学中的Fermat原理进行了推广.这个推广的Fermat原理可表述为:对于在线性、各向同性的均匀折射率(或折射率缓变)介质中稳态传输的线偏振单色光场来说,其衍射光线所走过的广义光程∫n_Gdl 永远为最短.此外,还对该推广的Fermat原理的适用范围等一些相关的问题进行了讨论.     

应用高中数学知识解决光的反射问题

光从一种介质中传播到另一种介质中时,在介质交界面反射回原介质的现象叫做光的反射,被反射回原介质的光线称为反射光线,入射到交界面的光线称为入射光线.如图1,由光的反射规律知:(1)入射光线CO与反射光线DO及法线     

与光学性质相结合的解析几何题

在解析几何中有不少与物理中的光学知识相结合的问题,本文举一例,抛砖引玉．例题抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛物线y~2=2px(p＞0),一光源在点M((41)/4,4)处,由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P,     

光线反射问题

光线反射问题是物理的光学和数学的解析几何知识网络的一个交汇点 ,题目具有一定的综合性 ,符合能力立意的命题特点 ,并且该类题型难度适中 ,又体现通性通法 ,故此它倍受命题者青睐 .解决此类问题 ,应作如下知识准备 :1)物理方面 .①在同一种物质里 ,光线是沿直线传播的 ;②光路具有可逆性 ;③光线反射时 ,反射角等于入射角 ;④平面镜成像原理 :反射光线可以看作是由光源关于镜面的对称点处发出的 .2 )数学方面 .①直线的倾斜角、斜率 ,直线的方程等概念 ;②直线与直线的位置关系 ;③直线与圆的位置关系 .下面举例说明此类问题的求解 .图 1…     

"轴对称"思想的应用——一节解析几何课的探究与联想

上海市高二年级第一学期数学(试验本)第128页,复习题(A)中第五题:图1有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD,按图1所示方法进行折叠,使每次折叠后点B都在AD边上,此时将B记为B′(注:图中的EF为折痕,点F也可落在CD边上),过B′作B′T∥CD,交EF于点T,求点T的轨迹方程.图21学生探究的思维路径生1:建立如图2所示直角坐标系,则A(0,4),C(8,0),D(8,4).设T(x,y),则B′(x,4).先求出B′B的中点P(2x,2).因为TP⊥B′B,所以kTP·kB′B=-1,所以y-2x-2x·4x--00=-1,所以T点的轨迹方程是:y=-x82 2.生2:如图2,设E(0,b),T(x,y),B′(x,4),因为|B′E…     

光线在圆内的反射——对一道“希望杯”赛题的推广

<正>1.赛题呈现如图11,有一束光线,从中心为O的圆环的A点射入,在圆环内经过两次反射后从A点射出;如图12,从A点射入的光线经过三次反射后从A点射出.(1)如图13,若从A点射入的光线经过五次反射后从A点射出,求从A点射入的光线和圆环半径OA的夹角α的度数;(2)如图14,若从A点射入的光线和圆环半径OA的夹角是50°,则经过几次反射后光线从A点射出?     

用一个向量式解一组高考试题

向量是数学中的重要概念之一 .新的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(试验修订版 )已将《平面向量》纳入教学计划 ,编入高中数学教材 .本文拟利用高中数学 (试验修订本.必修 )第一册 (下 ) P1 0 7例 5所得结论 ,即直线上的游动点公式解一组高考试题 .直线上的游动点公式 :设 O是点 A和 B的连线外一点 ,则点 P和 A、B共线的充要条件是存在实数λ,使得OP =λ OA ( 1 -λ) OB(如图 1 ) .图 1　　　　　　图 2例 1　已知两点 P( - 2 ,2 ) ,Q( 0 ,2 )以及一条直线 l:y =x,设长为 2的线段 AB在直线 l上移动 ,如图 2 .求直线 PA与 QB…     

“椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考

1椭圆光学性质简介椭圆光学性质是指:由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.其等价形式有:椭圆上任意点的切线与两焦半径所成夹角相同.椭圆的光学性质在生产与科技方面有着广泛应用,如电影放映机的聚光灯泡(如图1),以及光能的换位聚焦等就是利用椭圆的这一性质.     

高斯曲率、平均曲率和像散差

<正> 1.引言像散差是几何光学中的重要概念,在几何光学中把具有焦点的直线光线所形成的光束称为同心光束,相应的波阵面是以焦点为球心的球面。但是经过光学系统的折射或反射后,光束的同心性遭到破坏成为像散光束,相应的波阵面也变成一般的曲面,于是产生像散现象.像散的大小由像散光束的像散差来度量.所谓像散差就是在被研究的波阵面上取一曲面片 S,由微分几何可知,过 S 上的一点 P 总存在着两个相互垂直的主方向,设 C_1和 C_2是沿 P 点二主方向的法平面的截线 (主截线),且它们在 P 点的曲率中心分别是 F_1和 F_2(它们位于 P 点的法光线上),把 F_1和 F_2之间的距离称为 P 点的像散差.显然,同心光束的像散差为零.     

应用光学原理求解解析几何中的最值问题

以光线反射为代表的很多实际问题在数学中屡见不鲜,这类题型一般都是以光学为背景,以解析几何为支撑的,是一类常见的数学模型,所以在高考中的重要性也是不言而喻的.下面就此类问题进行探讨.一、利用入射光线、反射光线、界面及法线的对称性求解最值问题     

莫斯科师范大学2000年数学奥林匹克

莫斯科师范大学数学系于 2 0 0 0年 2月为应届高中毕业生举办了传统的数学奥林匹克 .优胜者有进入该系的优先权 .本文叙述奥林匹克试题及其解答 .1 在正方形ＡＢＣＤ中 ,点Ｍ是边ＢＣ的中点 ,点Ｎ在对角线ＡＣ上 ,并且ＡＮ =14 ＡＣ .试证 :∠ＭＮＤ =90°.证　引线段ＮＰ和ＮＱ垂直于直线ＡＤ(图1 ) .立即可见△ＮＱＭ≌△ＤＰＮ ,因此∠ＱＮＭ ∠ＤＮＰ =∠ＰＤＮ ∠ＤＮＰ =90°.附注 :如果在方格纸上作图 ,那么本题的断言是显然的 ,因为ＭＮＤＲ是正方形 (图 2 ) .图 1　第 1题图图 2　第 1题图2 函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ(ｘ ｘ2 1 )…     

应用高中数学知识解决光的反射问题

光从一种介质中传播到另一种介质中时,在介质交界面反射回原介质的现象叫做光的反射,被反射回原介质的光线称为反射光线,入射到交界面的光线称为入射光线.如图1,由光的反射规律知：     

一个函数最值模型在实际问题中的应用

应用题是指有实际背景或有实际意义的数学题 .强调数学的应用和培养学生的数学意识 ,是中学数学教学的任务之一 .如何将一个实际问题转化为数学问题 ,即所谓的“数学建模”是一个难点问题 .我们在教学中应有意识地对学生的建模能力加以培养 .下面就来看一个函数最值的几何模型 .图 1已知 :函数 y =( x - a) 2 b2 λ| x| ,(λ∈ ( 0 ,1 ) ,ab≠ 0 ,a,b为常数 ) .如图 1 ,设点 P( x,0 ) ,Q( a,b) ,则| PQ| =( x - a) 2 b2 ,| PO| =| x| ,不妨设 ( a,b)在第一象限 ,则显然 x≥ 0时 ,y =| PQ| λ| PO|有最小值 .现过 O点作∠ XOA =…     

球面上的一类最优运输问题

本文考虑球面S~n上成本函数为c(x,y)=F(d(x,y))的最优运输问题,其中d(x,y)表示S~n上两点x与y之间的球面距离.重点是说明,即使F仅定义于原点的一个邻域内,在适当条件下仍然可以证明最优映射的存在性和唯一性.特别是当F(d)=log(κcos d-1)(κ1)和F(d)=log cos d时,相应的最优运输问题分别等价于几何光学中的光线折射问题和凸体几何中的Aleksandrov问题.     

篮球阴影问题——研究性学习课例示范

1问题1的引入经常打篮球的学生提出一个问题:篮球停止在地面上的时候,太阳光斜照下来,篮球的阴影部分是否是一个椭圆呢?对此可用立体几何、解析几何的原理进行探讨.解法1画图分析,如图1,假设球的半径为R,地面为平面γ,光线与地面所成的角为α,过球心且垂直于光线的平面为φ,它和地面γ的交线为l,平面φ截球面所得的大圆的直径为A′B′,并记二面角γ-l-φ的大小为θ,θ=2π-α.图1点P是阴影曲线上的任一点,它从圆O′上的点P′处射过来的.则PP′⊥φ.因为PP′、PH都是球的切线,所以PP′=PH.作PQ⊥l于Q,则有PPPQ′=sinθ=cosα,PHPQ…     

数学思想引路 思维方法当先—一堂“优化思维教学”课回顾

笔者在一堂初中数学竞赛培训课上,选用了1998年全国初中数学竞赛第11题,有意识地用数学思想引路,引发学生创造性思维,得到了多种精巧(异于参考答案)的解答.师生意浓浓、乐融融.课后细品其妙,仍意犹未尽,今欣然举笔,整理成文.图1BAECF题:如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=1,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积.(1998全国初中数学竞赛第11题)1　构造思想思维方法1:构造一个与三角形CEF全等且其面积易于计算的三角形.取BC的中点D,连AD、DE,则AD⊥BC,DE⊥AC(如图2),设AD与BE相交于G,则在△CEF与…     

一节数学课的改进过程

近日,我校的一位老师要参加市级数学优质课比赛,内容为抛物线及标准方程 (第 1课时),在备课中,我们一起经历了 2次设计与方案修改、2次试讲与行为改进的过程,本文将展现这一过程.1. 教学的设计与讨论1.1　设计方案初稿:①折纸游戏;根据图 1演示折纸 (后改为:阅读游戏规则,动手操作折纸)②观察、发现 1:折线的交点是抛物线③几何画板动态演示折纸过程及抛物线④探究、发现 2:抛物线上的点到定点的距离等于到纸边的距离⑤形成定义: (学生概括,教师补充 )平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的…     

勾股定理的一个拓广

定理设00的直径DC一2左,O口,、00:、00:分别与00内切于刀、e、注,则00,、O认、003间两两外公切线长有如下关系: t}3(凡一,2) t;:(左一::)=tfZ(儿一几3)(1)其中‘,(‘护力表示O口‘与O仇的外公切线长,,‘是OQ的半径,且00.中的某一个(或全部)可能是“零圆”。(图1)即t}3(凡一,2) t;3(刀一,,)=tlZ(R一,3)· 显然,当。o,、002、00,均是“零圆、,时,(1)式所反映的就是勾股定理. 例O口的直径为BD,点p在BD上,O口.与002是分别以B尸、PD为直径的圆,它们的内公切线PA交O口于A,求‘2(图2) 解把点注看作“零圆”O。,设O。与O口,的外公切线长…     

对一道竞赛题的探究

<正>本文从五个方面对一道竞赛题进行探究,目的在于引导学生一图多用,多题一解,抓住解决问题的实质,培养学生探究精神和探究能力.原题(世界数学团体锦标赛)如图1,点E和点F分别是正方形AB-CD中BC边和CD边上的点,且∠EAF=45°,求EF:AB的最小值.     

对高考数学浙江卷理17题(文19题)的探析

由传统题改编而成的数学高考试题,在历年的高考试题中屡见不鲜.今年高考浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题就是这一类型的试题,下面我们对此题作一些探讨,以期对大家有所帮助.浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题如下:图1题1图题1如图1,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1∶x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).1题源探析1986年全国高等学校统一招生考试理工类数学第五题如下:图2题2图题2在y轴…