应用积分中值定理求极限应注意的问题

利用积分中值定理可以求某些特定类型数列的极限 ,但是在解这类极限时 ,普遍容易出现两个方面的错误 .以下面两例来说明 .例 1　求极限 limn→∞∫π40 sinnxdx解　先考虑积分∫π40sinnxdx,由于 sinnx在 [0 ,π4]上连续 ,所以由积分中值定理可知 ,在 [0 ,π4]上至少存在一点ξ,使得 ∫π40 sinnxdx =sinnξ .π4因此有 limn→∞∫π40 sinnxdx=limn→∞ (sinnξ· π4) =0· π4=0 .例 2　求极限 limn→∞∫π40 tannxdx解 :由于 tannx在 [0 ,π4]上连续 ,所以由积分中值定理可知 ,在 [0 ,π4]上至少存在一点ξ,使得∫π40tannxdx =tannξ …     

关于积分中值定理的注记

在学习积分中值定理这一节时 ,常有学生把它与微分中值定理进行比较 ,提出为什么微分中值定理中的“中值”ξ∈ ( a,b) (开区间 ) ,而积分中值定理中的“中值”ξ∈ [a,b](闭区间 ) ?能不能把积分中值定理中的闭区间改为开区间 ?以及ξ是否唯一等。本文就以上问题 ,以及微分中值定理与积分(第一 )中值定理的关系 ,积分中值定理的应用等进行讨论。为简单起见 ,我们就积分第一中值定理的特殊情形进行讨论。[积分第一中值定理 ] 若函数 f ( x)为 [a,b]上的连续函数 ,则存在ξ∈ [a,b],使∫baf ( x) dx =f (ξ) ( b -a)　　现行通用的教科书 (…     

发散思维的一个例子

利用估值不等式、数列的递推关系、积分中值定理可证明极限lim n→∞∫0^1 x^n/1 x dx=0,基此可推导出更多关于其他极限或级数收敛的结论．     

一类和式极限问题的初等解法及推广

在高等数学学习中 ,我们求和式极限 :limn→∞ Σni=1fi( n)的途径大致有这么几种 :( 1 )先求和 :Σni=1fi( n) ,再求极限 ;( 2 )利用夹逼准则 ;( 3 )利用定积分的定义 ,把和式极限表示成定积分 ,通过计算定积分 ,求得和式的极限 ;( 4)综合运用 ( 1 )、( 2 )、( 3 )求出和式的极限。现在 ,我们考虑如下一类和式的极限问题 :例 1　求 limn→∞sin πnn+1 +sin2πnn+12+… +sinπn+1n;例 2　求 limn→∞cosπ2 n2 n+12+cos2π2 n2 n+14+… +cosπ22 n+12 n;例 3　求 limn→∞sin πnn+1n+sin2πnn+1n2+… +sinπn+1nn.当然 ,与此类似的题目 ,…     

关于积分中值定理的中间值

我们知道有下面的 Riemann积分中值定理(见 [1 ,P.1 0 6]) :如 f(x)在 [a,b]上连续 ,那么存在ξ∈ [a,b],使∫baf (x) dx =f(ξ) (b - a) (1 )1 982年 ,Jacobson[2 ]研究了中间点ξ的渐近性质 .他证明了定理 A　如 f(t)在 [a,x]上连续 ,在 a点可微且 f′(a)≠ 0 ,ξx 由 (1 )式所确定 ,那么limx→ aξx - ax - a=12 .1 997年 ,Zhang[3]推广了定理 A,他得到定理 B　设 f (t)在 [a,x]上连续 ,且在 a点 k次可微 ,满足 f( i) (a) =0 ,(i =1 ,2 ,...,k - 1 ) ,f( k) (a)≠ 0 .如ξx由 (1 )式所确定 ,那么 limx→ aξx - ax - a= 1k k 1 .本文…     

积分中值ξ=ξ(x)的渐近性

对一类不满足g(n)≠0的函数g讨论了第一积分中值定理中ξ=ξ(x)在x→+∞时的渐近性质,并对第二积分中值定理的中值ξ=ξ(x)的渐近性进行了探讨,给出一些相关的结果.     

简化形式的积分中值定理另一种表述

阐述了简化形式的积分中值定理中f(x)不要求连续的情况下成立的条件.即"设函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,同时f(x)在[a,b]上有原函数,则存在ξ∈(a,b),使∫ from x=a to b f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立",并且给出了简洁的证明.     

积分中值ξ=ξ(χ)的渐近性

对一类不满足g(a)≠0的函数g讨论了第一积分中值定理中ξ=ξ(χ)在χ→+∞时的渐近性质,并对第二积分中值定理的中值ξ=ξ(χ)的渐近性进行了探讨,给出一些相关的结果.     

无穷限反常积分收敛时被积函数的极限状态

根据无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛的柯西准则和定积分的性质,讨论被积函数f（x）当x→∞时。的极限状态,并得出当无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛且f（x）在[a,＋∞）上连续,或者无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx绝对收敛时,存在数列{xn}∩[a,＋∞]且xn→＋∞（n→∞）,使limn→∞xnf（xn）=0.     

积分中值定理中ξ值的渐近性

本文给出当b→a时积分的第一中值定理integral from a to b f(x)dx=f(ξ)(b—a)的中值ξ的性态。即当f’(a)≠0时有而当f′(a)=f″(a)=…=f~(n-1)(a)=0,F~(n)(a)≠0时有积分第一中值定理推广形式integral from a to b f(x)g(x)dx=f(ξ) integral from a to b g(x)dx的中值ξ也具有类似的性态。     

关于瑕积分的一个极限等式

本文证明如果区间(a,b]上以a为瑕点的收敛的瑕积分∫baf(x)dx中,被积函数f(x)在(a,b]上连续,则成立极限等式∫baf(x)dx=limn→∞∑ni=1f(a+i(b-a)/n)(b-a)/n.利用这一等式可计算一类数列的极限.     

第二积分中值定理中ξ的渐近性一般性证明

给出并证明关于第二积分中值定理中ξ的渐近性一般结论,即在条件满足的情况下,对于[a,b]上的点η,可用(η-a)/(b-a)的极限表出(ξ-η)/(b-a)极限.     

关于积分中值定理

引言设f(t)是区间[a,x]上的连续函数,由积分中值定理,成立■关于中值点ξ当x→a时的渐近性,Jacobson[1]建立了如下有趣的定理设f(t)在a处可导且f'(a)■0,则(1.1)中的ξ当x→a有下式成立■此外,文[2]对推广的积分中值定理的中值点建立了类似于(1.2)的结果,本文的目的是要建立在,f'(a)=0时的某些结果。     

积分中值定理的一个证法

积分中值定理是这样叙述的:设函数f(x)在[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存分点ξ,使integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a)目前各类高校教材及教学参考书,对该定理的证明通常都是利用积分估值定理与闭区间上连续函数的介值定理完成的.这种证法只能证出ξ∈[a,b],不能证出ξ∈[a,b].现介绍一种证法,分两步:     

关于广义积分定义的一个注记

广义积分作为定积分的推广 ,在高等数学中有着较为广泛的应用 .但许多高等数学方面的教材(甚至有些数学分析教材 )对于广义积分定义的处理还有失严谨 .如文献 [1 ],[2 ],[3 ]在给出函数f( x)在无穷区间 [a,+∞ )上的广义积分的定义时 ,都是采用如下的叙述方式 :定义 1　设函数 f( x)在区间 [a,+∞ )上连续 ,取 b>a,如果极限 limb→ +∞∫baf ( x) dx存在 ,则称此极限为函数 f ( x)在无穷区间 [a,+∞ )上的广义积分 ,记作∫+∞a f ( x) dx ,即∫+∞a f ( x) dx =limb→ +∞∫baf ( x) dx.这时也称广义积分∫+∞a f ( x) dx收敛 ;如果上述极限…     

积分中值定理中间点比较及有关平均不等式

中值定理中间点是区间端点的平均.设f (x)、g(x)在同一区间[a,b]内严格单调并可积,p(x)、q(x)恒正可积,按积分中值定理各有唯一的中间点ξf ,p(a,b)和ξg,q(a,b) .当f递增(减)且f (g- 1)凸(凹)时,有ξg,p(a,b) <ξf,p(a,b) ;当p(x)q(x) 递增(减)且q(x) ∫bap(x) dx >( <) 0时,有ξf,q(a,b) <ξf ,p(a,b) .由此可证明和发现一系列有关平均的不等式.     

这个评分标准值得商榷

20 0 1年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题的数学 (二 )第十题 ,即十、(本题满分为 8分 )设 f( x)在区间 [-a,a]( a>0 )上具有二阶连续导数 ,f( 0 ) =0( 1 )写出 f ( x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式 ;( 2 )证明在 [-a,a]上至少存在一点 η,使a3 f″(η) =3 ∫a- af ( x) dx　　注 :如用第二积分中值定理证明 ,本题得分不超过 6分。经查这里所说的第二积分中值定理就是北京大学、复旦大学等校的《数学分析》教材中的第一积分中值定理。此评分标准值得商榷。为什么会给出此评分标准呢 ?猜想 :受拉格朗日中值定理结论中的 ξ可以…     

一个积分不等式的九种证明方法

积分不等式是微积分学中一类常见而又重要的不等式,其证明方法多种多样．分别用定积分的定义、积分变限函数、积分第一、第二中值定理、微分中值定理等九种方法证明积分不等式∫0^1xf（x）dx≥1/2∫0^1f（x）dx（其中f（x）在[0,1]上连续而且单调递增）,借此介绍证明积分不等式的几种常用的方法．     

应用微分中值定理证题时的确定区间法

应用 Rolle中值定理、L agrange中值定理、Cauchy中值定理证题时的一般步骤是 :(1 )设出辅助函数 ;(2 )确定区间 ;(3 )验证定理条件 ;(4)应用定理结论 .介绍构造辅助函数的文章较多 ,确定区间的文章少见 ,本文重点介绍确定区间 .一、Rolle中值定理例 1　设 f (x)在 [0 ,1 ]上可导 ,且满足关系式 f (1 ) -2∫120xf (x) dx =0 .证明 :在 (0 ,1 )内至少存在一点 ξ,使得 f′ (ξ) =-f (ξ)ξ .分析　从结论 f′(ξ) =-f (ξ)ξ f (ξ) ξf′(ξ) =0 ,易猜出辅助函数为 F(x) =xf (x) ,即是被积函数 .余下的问题是在什么区间上应用 Rolle中…     

求lim from(n→∞)(Sn)的方法

在求数列极限时 ,我们经常遇到求limn→∞ Sn 问题 ,灵活把握住以下两点将能快速求解 ,下面结合高考题加以说明 .1　不必求Sn对于所给数列是无穷等比递缩数列 (即公比q≠ 0 ,且 |q|<1) ,可以不必先求Sn,直接利用公式limn→∞ Sn=S =a11-q简捷解决 .例 1　 (2 0 0 3年北京高考题 )若数列 {an}的通项公式为an=3-n+2 -n+(- 1) n(3-n- 2 -n)2 ,n =1,2 ,… ,则limn→∞(a1+a2 +a3 +… +an)等于 (　　 )(A) 112 4 .　　 (B) 172 4 .　　 (C) 192 4 .　　 (D) 2 52 4 .解　 (不必先求Sn)原通项公式可以改写为an=12n,n为奇数 ,13n,n为偶数 ,于是…