完全测度空间上的 Fubini 定理

<正> 对于定义在矩形I={(x,y),a≤x≤b,c≤y≤d}上的连续函数f(x,y),我们有古典的公式:integral from I f(x,y)dxdy=ingetral from a to b[ingetral from c to d f(x,y)dy]dx=integral from a to b f(x,y)dx]dy。本文推广累次积分公式,给出完全测度空间上的Fubini 定理。给定两个测度空间(X,(?),μ),(y,(?),v),称X×Y 中集A×B 为矩形,若A∈(?),B∈(?),     

积分变上限函数的求导方法及其应用

我们知道,若f(x)在[a,b]上可积,则积分integral from n=a to b(f(x)dx)也是[a,b]上的一个函数,称为积分变上限函数。记为Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)。这里,积分上限和积分变量都用了字母x,但两者意     

定积分換元法則的一点改进

通常所见Riemann积分换元公式的形式是:若φ(α)=a,φ(β)=b,则在适当条件下有 integral from a to b(f(x)dx)=integral from α to β(f[φ(t)]φ′(t)dt)。在常义R(Riemann)积分时须假定:f(x)在[a,b]上连续,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续。这时上述等式成立。或者假定:f(x)在[a,b]上R可积,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续,且φ′(t)≥0(或φ′(t)≤0,即φ(t)单调)。本文证明了:若f(x)在[a,b]上有界,φ(t)可表成R可积函数φ(t)的不定积分,则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件为f[φ(t)]φ(t)在[α,β]上R可积,并且有上述等式成立(详见下文定理1)。     

一类定积分的算法

<正> 在定积分的计算中,常遇到这类定积分:integral from n=a to b (f(x)sinxdx或integral n=a to b (f(x)cosxdx),其中积分区间[a,b]为[0,π/2]、[0,π]或[0,2π]。对此我们习惯上直接用数次分部积分法进行计算,求出其值。但其过程有时非常复杂,给计算带来麻烦。如:     

Orlicz空间内第一类不适定积分方程的解

讨论由L~2[a,b]到Orlicz空间L_M~*[a,b]内第一类积分方程 integral from n=a to b(K(x,y)g(y)dy=f(x)) (1)f∈L_M~*[a,b]。这里K(x,y)满足 integral from n=a to b integral from n=a to b(|K(x,y)|~2dxdy〈∞) L_M~*[a,b]为N函数M(u)生成的Orlicz空间,并赋以Orlicz范数||·||_M;L_(N)~*[a,b]为M(u)的余N函数N(v)生成的Orlicz空间,赋以Luxemburg范数。     

THE BOUNDEDNESS OF MULTILINEAR COMMUTATORS FROM L^P （R^n） TO TRIEBEL-LIZORKIN SPACES

Let (→b)=(b1,…,bm),bi∈Λβi(Rn),1≤i≤m,0＜βi＜β,0＜β＜1,[(→b),T]f(x)=∫Rn,(b1(x)-b1(y))…(bm(x)-bm(y)))K(x-y)f(y)dy where K is a Calder(o)n-Zygmund kernel.In this paper,we show that[(→b),T] is bounded from Lp (Rn) to Fβ,∞p(Rn),as well as[(→b,Iα)] from Lp(Rn) to Fβ,∞p(Rn),where 1/q=1/p-α/n.     

关于凸函数的Hadamard不等式的拓广(英文)

设,是区间[a,b]上连续的凸函数。我们证明了Hadamard的不等式 f(a+b/2)≤1/b-a integral from a to b (f(x)dx)≤f(a)+f(b)/2可以拓广成对[a,b]中任意n+1个点x_0,…,x_n和正数组p_0,…,p_n都成立的下列不等式 f(sum from i=0 to n (p_ix_i)/sum from i=0 to n (p_i))≤|Ω|~(-1) integral from Ω (f(x(t))dt)≤sum from i=0 to n (p_if(x_i)/sum from i=0 to n (p_i),式中Ω是一个包含于n维单位立方体的n维长方体,其重心的第i个坐标为sum from i=i to n (p_i)/sum from i=i-1 (p_i),|Ω|为Ω的体积,对Ω中的任意点t=(t_1,…,t_n) ω(t)=x_0(1-t_1)+sum from i=1 to n-1 (x_i(1-t_(i+1))) multiply from i=1 to i (t_i+x_n) multiply from i=1 to n (t_i)。不等式中两个等号分别成立的情形亦已被分离出来。 此不等式是著名的Jensen不等式的精密化。     

二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧

<正> 在定积分计算中常用到一个重要的结论是:f(x)是区间[-a,a]上的连续函数,则integral from n=-a to a (f(x)dx=2 integral from n=0 to a (f(x)dx),当f(x)为偶函数时, integral from n=-a to a (f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时, 这个重要结论常说成“偶倍奇零”,它可以推广到对称区域D上的二重积分∫∫f(x,y)dxdy的计算问题中。为此,下面假设被积函数f(x,y)在对称区域D上连续,给出二重积分||f(x,y)dxdy的对称性计算的一般性结论。结论1 设积分区域D关于x轴对称,则     

积分中值定理中ξ值的渐近性

本文给出当b→a时积分的第一中值定理integral from a to b f(x)dx=f(ξ)(b—a)的中值ξ的性态。即当f’(a)≠0时有而当f′(a)=f″(a)=…=f~(n-1)(a)=0,F~(n)(a)≠0时有积分第一中值定理推广形式integral from a to b f(x)g(x)dx=f(ξ) integral from a to b g(x)dx的中值ξ也具有类似的性态。     

正确理解和运用第一积分中值定理

第一积分中值定理是微积分中基本定理之一。在逻辑证明方面,有着广泛的应用。 该定理应叙述为: 定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使 integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a) a<ξ相似文献   

定积分不等式的一些常用证法举例

即关于λ的二次三项式的判别式满足 λ~2integral from n=a to b(ψ~2(x)dx) λ[-2integral from n=a to b(ψ(x)ψ(x)dx)] integral from n=a to b(ψ~2(x)dx)≥0     

用系数有界限的广义多项式的L逼近

1.存在定理 在空间C[a,b]中引进L范数:即对f∈C[a,b],定义 设n是一个固定的自然数,α_j,β_i(j=1,…,n)为两组广义实数,并满足条件 α_j<+∞,β_j>-∞,α_j≤β_j,j=1,…,n.又设{g_1,…,g_n}?C[a,b]是线性无关的,记 K={p=sum from j=1 to n(a_jg_j:α_j≤a_j≤β_j,j=1,…,n}.对于f∈C[a,b],若p∈K满足     

A GENERALIZATION OF SIMPSON''''S RULE

Let TA(f)=integral form n= to 1/2(P_~n(x) + P_b~n(x))dx and let TM(f)=integral form n= to P_((+b)/2)~(n+1)(x)dx, where P_c~n denotes theTaylor polynomial to f at c of order n, where n is even. TA and TM are reach generalizations of theTrapezoidal rule and the midpoint rule, respectively. and are each exact for all polynomial of degree ≤n+1.We let L(f) = αTM(f) + (1-α)TA(f), where α =(2~(n+1)(n+1))/(2~(n+1)(n+1)+1), to obtain a numerical integrationrule L which is exact for all polynomials of degree≤n+3 (see Theorem l). The case n = 0 is just the classicolSimpson's rule. We analyze in some detail the case n=2, where our formulae appear to be new. By replacingP_(+b)/2)~(n+1)(x) by the Hermite cabic interpolant at a and b. we obtain some known formulae by a different ap-proach (see [1] and [2]). Finally we discuss some nonlinear numerical integration rules obtained by takingpiecewise polynomials of odd degree, each piece being the Taylor polynomial off at a and b. respectively. Ofcourse all of our formulae can be compounded over subintervals of [a, b].     

定积分的一个性质在证明不等式中的应用

高等数学中证明不等式的方法很多,本文介绍用读者熟知的定积分的如下性质,证明不等式的一些例子.性质 如果函数f(x),g(x)都在闭区间〔a,b〕上连续,且f(x)≤g(x)(X∈〔a,b〕),则integral from n=a to ∞(f(x)dx)≤integral (?)((x)dx);当且仅当f(x)=g(x)(X∈〔a,b〕)时,等式成立.     

应用于地震学中的一种行之有效的积分方法

本文在Filon积分思想的基础上,讨论了在地震学中广泛使用的两种带参积分 I_0(r)=integral from n=a to b (f(x)Ja(rx)dx), I_1(r)=integral from n=a to b (f(x)J_1(rx)dx),的数值求积方法,与其他方法相比,此法具有精度高,速度快的特点.     

牛顿——莱布尼兹公式的进一步推广

本文将牛顿——莱布尼兹公式推广为设函数f(x)在[a,b],上连续,并且f_+(x)与f_-(x)在(a,b)内存在,如果存在p、q≥0,满足p+q=1,使得函数pf_+(x)+qf_-(x)在[a,b]上黎曼可积,则integral from a to b (qf_+(x)+qf_-(x))dx=f(b)-f(a)     

Degree of L~P Approximation by Operators of Kantorovi(?) Type Satisfying Micchelli Conditions

§1 We see symbols in article, L~∞[a,b]C[a,b], let f(t) be absolute continuous over [a,b], we denote by f∈AC[a,b], L_k~p[a,b]{f:f~(k-1)∈AC[a,b] and f~(k)(t)∈L~p[a,b]}.C_k[a,b]L_k~∞[a,b], W~kL{f:f∈L_k~p[a,b] and ‖f~(k)‖_p≤1}. Let H_n.be set of algebraic polynomials of degree≤n. Let B_n(F) be Bernstein polynomials,P_n(f) be Kantorovi polynomials. We generalize p_n(f). Let T be linear operator C[a,b]AC[a,b],for g(u)∈C[a,b] we have T(g(u),a)=g(a), T(g(u),b)=g(b), let f(t)∈L[a,b], F(u) =integral from n=0 to u(f(t)dt),     

二重积分计算的一点注记

<正> 众所周知,在有界闭区域D 上连续的函数f(x,y)的二重积分integral integral from D f(x,y)dxdy 存在,而且它可以化为二次积分来计算,例如:如果积分区域D 为X—型区域,即D 可用不等式Φ_1(x)≤y≤Φ_2(x),a≤x≤b 表示,其中函数Φ_1(x)、Φ_2(x)在[a,b]上连续.则有公式:     

系数有界限的L逼近

本文讨论对函数f∈C[α,b]用多项式p(x)=sum from j=0 to n α_jx~j在约束条件α_j≤α_j≤β_j(j=o,1,…,n)下的L逼近问题,其中α_j,β_j是广义实数并满足条件α_j< ∞,β_j>-∞,α_j≤β_j。我们得到了最佳L逼近的存在定理;给出了几个形式简单而使用方便的特征定理;最后证明了:若α≥0或b≤0,则f的最佳L逼近总是唯一的。     

简化形式的积分中值定理另一种表述

阐述了简化形式的积分中值定理中f(x)不要求连续的情况下成立的条件.即"设函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,同时f(x)在[a,b]上有原函数,则存在ξ∈(a,b),使∫ from x=a to b f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立",并且给出了简洁的证明.