复合函数的性质及应用

复合函数这一概念,现行高中课本未直接定义．而复合函数的应用实例,在现行高中课本《代数》上册（以下简称课本）中大量出现．如　ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３）（课本Ｐ１００）;ｙ＝１６－５ｘ－ｘ２（课本Ｐ１０８）;ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（课本Ｐ１７８）;ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）（课本Ｐ３００）．在全国高考数学试题中,复合函数的应用问题成为命题热点．本文试对复合命题的性质作点介绍．设ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,则ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为复合函数．根据函数单调性的定义,容易得出下列结论．（１）若ｙ＝ｆ（ｕ…     

利用分段函数制作的几种反例

为澄清对分段函数的一些误解,给出以下反例;１　驳“分段定义函数一定是非初等函数”事实上,存在着分段定义的初等函数,例如ｆ（ｘ）＝ｘ＋１　ｘ＜０３ｘ＋１　ｘ≥０,（１）这个函数可以用统一的解析式表达为ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ｘ２＋１,（２）式（２）是基本初等函数的有限次复合与四则运算,式（２）是初等函数,即（１）是初等函数;２　驳“分段定义函数在界点处必不可导”请看反例：ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２　ｘ＜１２ｘ＋１　ｘ≥１,ｆ′（１＋０）＝ｌｉｍΔｘ→０－［２（１＋Δｘ）＋１］－（２×１＋１）／Δｘ＝２,ｆ′（１－…     

读《一个值得商榷的问题》有感

笔者最近阅读了《一个值得商榷的问题》（以下简称文［１］）之后,也有一些不成熟的看法,且与文［１］的观点有些出入,遂写成下文,供大家商讨．１　普遍共识 例１ 若ｙ＝ｆ（１／ｘ）的定义域是［１／３,１／２］,求 的定义域． 解 １／３≤ｘ≤１／２,则２≤１／ｘ≤３, 故 若ｆ（　（ｘ））＝ｇ（ｘ）,那么习惯上称ｆ（ｘ）为外层函数,　（ｘ）为内层函数,而ｆ（　（ｘ））即ｇ（ｘ）称为ｆ（ｘ）与　（ｘ）复合而成的复合函数． 上例中ｙ＝ｆ（１／ｘ）与ｙ＝　虽然是两个不同的函数,但对应法则是一致的．由十ｅ【２,３」知…     

何以点可以视为圆?

何以点可以视为圆？周传忠（华南师范大学５１０６３１）我们知道，若曲线ｌ：ｆ（ｘ，ｙ）＝０和ｋ：ｇ（ｘ，ｙ）＝０相交，则方程ｆ（ｘ，ｙ）＋λｇ（ｘ，ｙ）＝０表示通过这些交点的一个曲线系．利用这一结论来解一些问题常是很方便的．文［１］、［２］更提出，可以...     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

推广的黎曼(Riemann)引理之简证

推广的黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）引理之简证彭学梅（湖南省吉首大学数学系４１６０００）推广的（Ｒｉｅｍａｎｎ）引理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积并绝对可积，函数ｇ（ｘ）以Ｔ（＞０）为周期，且在［０，Ｔ］上可积，则ｌｉｍλ＋∞∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（λｘ）ｄｘ...     

反函数

反函数河北秦皇岛一中申晓群武汉市桥口区教研室徐川［基本概念］如果对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）的每一个确定的值ｙ０，自变量ｘ都有唯一确定的值ｘ０和ｙ０对应，那么，就可以得到一个以ｙ为自变量，以对应的ｘ值为函数的函数，记为ｘ＝ｆ－１（ｙ），这个函数叫做原来函数ｙ...     

Jacobi多项式零点为结点的Lagrange插值多项式之逼近

对于可微函数ｆ∈Ｃｑ［－１，１］，本文研究以Ｊａｃｏｂｉ多项式Ｊ（α，β）ｎ（ｘ）的零点为结点组之Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式对ｆ及其导数的同时逼近，证明不等式Ｌ（ｓ）ｎ（ｆ，α，β，ｘ）－ｆ（ｓ）（ｘ）＝Ｏ（１）Δ－ｓｎ（ｘ）Δｑｎ（ｘ）ω（ｆ（ｑ），Δｎ（ｘ））ｌｏｇｎ｛＋（１－ｘ＋ｎ－１）－α－１２ｎ－ｑω（ｆ（ｑ），ｎ－１）｝，在［０，１］上对于ｓ＝０，１，２，…，ｑ一致成立，其中Δｎ（ｘ）＝ｎ－１１－ｘ２＋ｎ－２     

具有强非线性源非牛顿多方渗流方程解的极限性质

研 究如下第一边值 问题ｕ ｔ ＝ ｄｉｖ（｜ Ｄｕ ｍ ｜ｐ － ２ Ｄｕｍ ） ＋ ｆ （ｘ ,ｕ）ｕ （ｘ ,ｔ） ＝ ０ｕ （ｘ ,０） ＝ ｕ０  ０ 　 　　　（ｘ ,ｔ） ∈ Ｑ Ｔ ＝ Ω× （０, Ｔ）（ｘ ,ｔ） ∈ Ω× （０, Ｔ）ｘ ∈ Ω解的极限性质 （ｔ → ∞）,推 广了文献［１ ～ ７］ 的结果     

用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数

用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数龚漫奇（北方交通大学数学系１０００４４）对于微分中值定理类问题：１设ｆ（ｘ）在上可导且，求证：存在使２设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可导且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０；求证：存在ξ∈（ａ，ｂ）使ｆ＇（ξ）＋...     

一类特殊函数的[n/n]Padé逼近

本文对［ｎ／ｎ］Ｐａｄé逼近进行探讨，证明了Ｐｎ（ｘ）／Ｑｎ（ｘ）是函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处的［ｎ／ｎ］Ｐａｄé逼近，而Ｑｎ（ｘ）＝Ｐｎ（－ｘ）的充要条件是ｆ（ｘ）ｆ（－ｘ）＝１，从而使这一类函数的［ｎ／ｎ］Ｐａｄé逼近计算量减少一半．     

两类求解y″＝f（x，y）具有极小相位延迟的显式方法

本文提出了两类数值积分二阶周期性初值问题ｙ″＝ｆ（ｘ，ｙ），ｙ（ｘ０）＝ｙ０，ｙ＇（ｘ０）＝ｙ＇０具有极小相位延迟的显式两步法。这些方法推广和改进了文献［１］－［７］中的某些方法。数值试验表明本文中的某些方法优于［１］－［７］中的某些方法。     

关于多项式最大公因式的进一步探讨

在［１］中有这样一个结论,对于 Ｐ［ｘ］中任意两个多项式 ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）,在 Ｐ［ｘ］中存在一个 最大公因式 ｄ（ｘ）,且ｄ （ｘ）可以表示成ｆ （ｘ）、ｇ （ｘ）的一个组合,即有 Ｐ［ｘ］中的多项式 ｕ（ｘ）、ｖ（ｘ）,使： ｄ（ｘ）＝ ｕ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ ｖ（ｘ）ｇ（ｘ） （１）本文将对ｕ（ｘ）、ｖ（ｘ）作进一步的分析,从而得出有关ｕ（ｘ）、ｖ（ｘ）的一些新的结论,以作为上述结论的补充     

一类反应扩散方程解的渐近性质及其应用

本文讨论问题 ｕｔ＝Ａｕｘｘ＋ｆ（ｘ，ｔ，ｕ）， ｕｘ｜ｘ＝０＝０，ｕｘ｜ｘ＝１＝０， ｕ｜ｔ＝０＝ｕ０（ｘ）。 的解的渐近性质，将参考文献［１］的Ｌ＾２范数估计     

再议f（x）＝f~（－1）（x）与x＝f（x）是否同解

再议ｆ（ｘ）＝ｆ~（－１）（ｘ）与ｘ＝ｆ（ｘ）是否同解邬坤昌（上海宝山松浦中学）常绪珠（湖北钟祥一中）方程ｆ（ｘ）＝ｆ－１（Ｘ）与方程Ｘ＝ｆ（ｘ）［或Ｘ＝ｆ－１（Ｘ）］是否同解？文［１］以函数ｙ＝１－ｘ的反函数是它自己为反侧，说明了ｆ（ｘ）＝ｆ－１（?..     

证明(两)曲线对称的一种方法

要证明曲线ｃ：ｆ（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ′就是ｃ;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ′的方程就是ｃ的方程,即只需证明ｃ′的方程就是ｆ（ｘ,ｙ）＝０．要证明两曲线ｃ１：ｆ１（ｘ,ｙ）＝０与ｃ２：ｆ２（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ１关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ１′就是ｃ２;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ１′的方程就是ｃ２的方程,即只需证明ｃ１′的方程就是ｆ２（ｘ,ｙ）＝０．我们把上面证明（两）曲线对称的方法叫同一法…     

综合题新编选登

题 5 9　已知可导函数ｆ(ｘ)对任意实数ｘ1,ｘ2都有 ｆ(ｘ1+ｘ2 ) =ｆ(ｘ1)·ｆ(ｘ2 ) ,若存在实数ａ ,ｂ ,使 ｆ(ａ)≠ 0 ,且 ｆ′(ｂ) >0 .证明 :1) ｆ(ｘ) >0 ;2 ) ｆ(ｘ)在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 .解　 1)ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ2 +ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 )·ｆ(ｘ2 )=[ｆ(ｘ2 ) ]2 .又∵ｆ(ａ) =ｆ[ｘ2 +(ａ - ｘ2 ) ]=ｆ(ｘ2 ) ｆ(ａ - ｘ2 )≠ 0 ,∴ｆ(ｘ2 )≠ 0 ,[ｆ(ｘ2 ) ]2 >0 ,∴ｆ(ｘ) >0 .(2 )∵ｆ′(ｂ) =ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ +Δｘ) - ｆ(ｂ)Δｘ=ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) ｆ(Δｘ) -ｆ(ｂ)Δｘ ,∴ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) (ｆ(Δｘ) - 1)Δｘ =…     

Asymptotic Behavior of Nodal Solutions for Semilinear Elliptic Equationsin R~n

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＲｅｃｅｎｔｌｙ，ｔｈｅｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ△ｕ＋ｆ（ｕ）＝０（１．１）ｕ（ｘ）→０ａｓ｜ｘ｜→∞（１．２）ｉｎＲｎｗｅｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｗｉｄｅｌｙ（ｓｅｅ［１］－［７］）．Ｉｎｔｈｅｎｉｃｅｐａｐｅｒｓ［１］ａｎｄ［２］，ｉｔｗａｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔａｎｙｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ（１．１）ｍｕｓｔｂｅｒａｄｉａｌｉｎｃａｓｅｆ（ｕ）∈Ｃ１＋δ（δ＞０）．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａｎｙｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉ…     

复合函数的概念及其增减性

1　复合函数的概念定义　已知两个函数 ｙ =ｆ(ｕ) ,ｕ∈Ｄ ;ｕ =ｇ(ｘ) ,ｘ∈Ｅ ,设Ｅ ={ｘ|ｇ(ｘ) ∈Ｄ ,ｘ∈Ｅ}≠ ,若对于Ｅ 中任何一个ｘ值 ,通过函数ｕ =ｇ(ｘ) 对应Ｄ中唯一的一个值ｕ ,又通过函数ｙ =ｆ(ｕ)对应ｙ的一个唯一值 ,因此对于每个ｘ∈Ｅ ,变量 ｙ都有一个确定值与之相对应 ,这就得到一个确定在集Ｅ 上的函数 ,记作ｙ =ｆ( ｇ(ｘ) ) ,ｘ∈Ｅ ,称为由函数 ｙ =ｆ(ｕ) 与ｕ =ｇ(ｘ) 经过复合所得到的 ｙ为ｘ的复合函数 ,其中 ｙ =ｆ(ｕ) 常称为外函数 ,ｕ =ｇ(ｘ) 称为内函数 ,ｕ为中间变量 .由定义知 :1)仅当Ｅ ≠ (或 {…     

一类非线性积分方程正解的存在唯一性

本文研究积分方程ｕ（ｘ）＝λ∫_Ωｋ（ｘ，ｙ）ｆ（ｙ，ｕ（ｙ））ｄｙ，λ＞０及其它的非线性摄动ｕ（ｘ）＝λ∫_Ωｋ（ｘ，ｙ）ｆ（ｙ，ｕ（ｙ））ｄｙ＋Ｇ（ｕ（ｘ）），在ｋ（ｘ，ｙ）非负可测，ｆ（ｘ，ｕ），Ｇ（ｕ）满足一定条件下，得到所述方程解的存在唯一性及其迭代逼近．