关于调和级数的几个命题

<正> 调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)是通项趋于零的发散级数。本文讨论它的几个有趣命题。调和级数的部分和产S_n=1+1/2+1/3+…+1/n当然是n的函数,但至今不能用一个n的     

广义调和级数的推广

将广义调和级数sum from n=1 to ∞ 1/n~x推广为一类指数项级数sum from n=1 to ∞ a_nd_n~x,并证明了这类指数项级数有结构简单的收敛域,其和函数的性质与幂级数的相似.     

关于调和级数的发散性

<正> 菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》第二卷第二分册p356例11,利用调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)的发散性证明了级数     

关于无穷级数的一个注记

<正>数项级数是级数理论的基础部分,在正项级数中有一个所谓的Abel-Dini定理,在本文中,我们将对Abel-Dini定理给出另一种证明方法,并且证明在任意项级数中,相应的Abel-Dini定理是不成立的. 设u_1,u_2,…,u_n,…,为一实数列,它构成一个无穷级数sum fron n=1 to∞(u_n),记它的部分和为S_n=sum from k=1 to ∞(u_k),在下面的讨论中为方便我们均假定u_n≠0,S_n≠0,     

利用等价无穷小判定级数敛散性举例

利用比较审敛法的极限形式可知,若sum from n=1 to ∞ (u_n)与sum from n=1 to ∞( v_n)都是正项级数,且n→∞ 时,u_n与v_n为等价无穷小,则sum from n=1 to ∞( u_n)与sum from n=1 to ∞( v_n)有相同敛散性.利用此结论可以不求极限,而用等价无穷小直接判定级数的敛散性.下面举例说明.     

介绍调和级数发散性的两种证法

调和级数sum fromμ=1to∞ 1/n是一个典型的发散级数的例子.对其发散性的证明采用的是传统的“添加括号”的证法.下面介绍另外几种证法.证法一(反证法)假设sum fromμ=1to∞ 1/n收敛于S则有 然而     

正项级数的比值审敛法与根值审敛法的比较

设正项级数sum from n=1 (un)(其中un>0,n=1,2,…)1.比值审敛法设(?)(un 1)/un=ρ则当ρ<1时,sum from n=1 to ∞(un)收敛; ρ>1时,sum from n=1 to ∞(un)发散; ρ=1时, 此法失效.     

nu_n→0不是正项级数收敛的必要条件

《数学学习》1994.NO.2刊载了一篇短文《正项级数收敛的一个必要条件》,文中提出了一个定理,即;设sum from n=1 to ∞(u_n)为正项级数,若sum from n=1to∞(u_n)收敛,则必有(?)nu_n=0这个定理实际上是不能成立了,下面将举出一个反例(例2).为了给引入反例作准备,我们先看例1.     

一类重要级数的和的求法

调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)是发散的,但若改变其中一部分项的符号,使得连续P个正项与连续P个负项交错出现,则所得到的形如     

判定级数条件收敛的一些方法

对于任意项级数sum from n=1 to ∞(a_n),应首先考虑它的绝对收敛性,如果非绝对收敛,再考虑它是否条件收敛.而对于条件收敛级数,一般教材只介绍了交错级数的莱布尼兹审敛法,本文介绍另一些判定任意项级数是否条件收敛的方法.     

正项级数的一个问题

给定收敛的正项级数sum from n=1 to ∞(a_n),我们来证明下面三个结论: 1.级数也收敛; 2.下面的估计成立: 3.在上面的不等式中,系数e不能再改     

关于一道高等数学竞赛试题的探索与拓广

给出了2004年浙江省大学生高等数学竞赛一题得分率较低的压轴题(判断级数sum from n=1 to ∞ 1/n((n!)~α)～(1/n)的敛散性,其中α>0为常数)的五种不同的解法,建立了它的如下的拓广结果:当α>1且正项级数sum from i=1 to ∞ 1/(a_i~α)收敛时,级数sum from n=1 to ∞ 1/((multiply from i=1 to n)ai)α～(1/n)收敛;当0<α≤1,0相似文献   

Euler-Maclaurin 公式与渐近估计

若 f(x)是连续可微函数,那么我们可以用 f(x)及其导函数 f′(x)的有关积分表示有限和 sum from k=n+1 to m f(k),这就是重要的 Euler-Maclaurin 公式.令 m 趋于无穷,我们就可以用广义积分表示出相应的无穷级数.更一般地,当级数是函数项级数 sum from k=1 to ∞ f(k,t)时,这个级数可用含参数 t 的广义积分表示出来.这对于研究级数的和函数的渐近性质常常是很有用的.本文先介绍 Euler-Maclaurin 公式,然后给出它在渐近估计方面的几个例子.     

Hilbert重级数定理的一个改进

The object of this note is to prove the followingTheorem Let{a_n}and{b_n}be sequences of real numbers such that0<∑∑a_n~2<+∞and0<∑b_n~2<+∞.Then we have the inequalitysum from m=1 to∞sum from n=1 to∞a_mb_n/m+n<{sum from n=1 to∞(π-θ/n~(1/2)a_n~2}~1/2{sum from n=1 to∞(π-θ/n~(1/2)b_n~2}~1/2 (1)whereθ=3/2~(1/2)-1=1.121320343.     

Hardy-Hilbert型不等式的一个加强

改进了Hlder不等式,并利用加强的Hlder的不等式对联系β函数的带参数的Hardy-Hilbert型不等式进行了改进,建立一个新的形如sum from n=1 to ∞ sum from m=1 to ∞(ambn/(m+n)λ)/相似文献   

正实部解折函数的渐近性质

一 引言 令表示P(z)在U:|z|<1内正则P(0)=1,且ReP(z)>0的函数全体。中两函数P_1,P_2的Hadamard乘积定义为 (P_1*P_2)(z)=1+1/2sum from n=1 to ∞(C_n~(1)C_n~(2)z~n) 其中 P_i(z)=1+sum from n=1 to ∞(C_n~(i)z~n∈记P(z)=1+sum from n=1 to ∞C_nz~n。 本文主要研究P(z)的渐近性质,最后说明其在单时函数论中的应用。二 几条引理     

调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法

引理1设有两个收敛级数：则级数也收敛,其和为引理2收敛级数在不改变各项顺序下加括弧号后所成的新级数仍收敛于原来的和．引理3若级数收敛,则组数（k为常数）也收敛,以上三个引理的证明见一般高数教材．下面用反证法给出调和级数发散性的两种证明．（2）式-（1）式,再结合引理1知这等式显然矛盾．故发散的．证法。设2上收敛分别是否“的前n项与前2顶之和．由收敛的定义知由极限保序性知最后再指出一种用几何平均值与算术平均值的关系的证明方法．是发散的调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法@周世国$郑州工业大学@成…     

无穷级数sum from n=1 to ∞(1/(2n-1)~(2k))的一种计算方法

根据无穷多项式理论,将余弦函数的幂级数展开式构造成无穷乘积的形式.并且利用ln(1+x)幂级数展开,得到sum from n=1 to ∞(1/(2n-1)～(2k))(k为正整数)的一种计算方法.     

p-级数(p为偶数)求和的递推公式

运用付里叶级数推导p-级数sum from n=1 to∞1/n~p(p为偶数)求和的递推公式,运用递推公式计算sum from n=1 to∞1/n~p1(p=2,4,6,8,10,12)的和.     

与Riemann Zeta函数有关的一些级数和

本文讨论两类与Riemann Zeta函数有关的级数和,给出级数sum from k=1 to ∞ 1/(k~l(k+1)~n)的求和公式,及级数sum from k=2 to ∞ k~mξ(k)、级数sum from k~mξ(2k)、级数sum from k=1 to ∞(2k+1)~mξ(2k+1)(其中m≥-1,ξ(s)=ξ(s)-1)的求和方法,同时求得了有关的一些级数的和值。