巧用割补法

在立体几何的求积问题中，割补法是一种常用的方法．我们常常把不熟悉或者难以体现直观性的几何体通过割补法，转化为比较熟悉、直观性更好的几何体．例如，把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体(特别是三棱锥)、把不规则的几何体割补成规则的几何体…从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的．     

用割补法求几何体的体积

在求几何体的体积时,我们有时会遇到不能直接套用体积公式的情形,这时可通过分割或补形把此几何体分割为几个基本图形或拼补为一个基本图形,以便适用公式,“能割善补”是解几何题的基本方法之一．例1 已知斜三棱柱的一个侧面的面积等于S,这个侧面与它所对的棱的距离是a,求这     

立体几何是非题一组

1.有两个面相互平行,而其余各面是平行四边形的多面体,则一定是棱柱。(对/错) 2.已知三棱锥底面是正三角形,侧面都是等腰三角形,则三棱锥一定是正棱锥。(对/错) 3.有两个面是三角形且互相平行,而其余三个面都是梯形的五面体,必是三棱台。(对/错) 4.直棱柱的侧面展开图是矩形,而斜棱柱的侧面展开图是平行四边形。(对/错) 5.和圆台的轴平行的截面是等腰梯形。(对/错) 6.已知圆的顶角是120°,则轴截面是过     

几何体的割与补

在平面几何中,为了求任意多边形的面积,讲过割补法,在立体几何中,为了研究某些几何体的性质或计算它的体积,也常常把几何体割补成我们熟悉的几何体。例1 (课本128页第17题) 斜三梭柱的一个侧面的面积等于S,这个侧面与它所对的侧梭的距离等于a,求证这     

立体几何常见图形变式解题例谈

《立体几何》P1 1 2上说“生产和生活中的物体、形状虽然复杂 ,但是很多可以看作是由柱体、台体、球体、球缺等组合 (如铆钉 )或者切割 (如螺帽 )而成的”.这就是割补法的思想方法 .本文谈谈在几何体的割补分解中经常用到的几种常见的、基本的几何图形的变式 .1　平面展开利用几何体平面展开前后的对比 ,觅寻图中“变”与“不变”的位置关系 ,可以巧妙地解决一些问题 .“以直代曲”是将图形平展变式的结果 ,它是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法 .例 1　设正三棱锥 A— BCD的底面边长为 a,体积为 1 11 2 a3,过顶点 B作与侧棱 AC、AD都相交的截面 BEF,求此截面周长范围 .简析　如图 1中 (甲 ) ,设顶点 A在底面BCD的射影为 O,AO =h,　 13.12 a .asin 6 0&;#176;.h =1 11 2 a3 　 h =333a,　　 BO =33a,(甲 )　　　　　　　　　 (乙 )图 1为了求△ BEF的周长 ,如直接求三边的长 ,困难可想而知 .如将三边之和整体考虑 ,可将三棱锥沿 AB剪开平展成图 1 (乙 ) .则可用图 (乙 )中的直线段 B...     

绕圆台侧面一周最短路程计算的研究

1　问题的提出习题　已知圆台的母线长为 2 ,上、下底面半径分别为 1和 2 ,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .为了便于研究 ,把问题一般化 :“已知圆台的母线长为 l,上、下底面半径分别为 r′和r,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .”(如图 1 )2　解决方法这是求几何体表面两点间最短距离问题 ,考虑到圆台侧面可展开成平面图形 (一个扇环 ) ,因此 ,把空间问题化为平面问题来解决 ,只需求这个扇环上相应两点间的最…     

数学中的“盖房与拆迁”——三视图

<正>"空间几何题的三视图"是髙中数学新课程的新增内容之一,也是近几年高考的热点内容,主要题型就是给出几何体的三视图,计算几何体的面积和体积等相关量.学生丢分的主要原因是不能由三视图还原为几何体,画出相应的直观图.快速、准确地解决三视图还原问题,首先要掌握简单几何体的三视图.对正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么药熟悉并掌     

简单几何体与球

1 重点、难点分析 本单元以常见的几何体为载体,一是继续研究如何证明线线、线面、面面平行与垂直,如何求空间的各种距离,如何求空间的各种角,二是研究这些几何体的性质、侧面积、全面积及体积等.本单元的重点是棱柱、正棱锥、正多面体、球的概念;棱柱、直棱柱、棱锥、正棱锥、正四面体、长方体、正方体的性质;球的性质、体积、表面积.难点是正确判断简单几何体中的点、线、面之间的关系,如何把空间问题转化为平面问题及球体积、表面积公式的推导方法的理解.     

一个趣题的实践与证明

题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个侧面粘起来,所得几何体可能是什么?如图(一),将正四棱锥S-ABCD的侧面SCD与正三棱锥V-EFG的侧面VEF粘合在一起,为了验证平面SBC与平面GVE是否叠合成一个平面,用硬纸片制作这样的正三棱锥和正四棱锥,实践验证平面SBC与平面GVE,平面SAD与平面GVF恰好分别叠合成一个平面,这样所得的几何体应该是斜三棱柱,问题即为求证二面角B-SC-G=180°.(图一)记所有棱长均为1,探讨如下:(图二)设顶点G、B在平面SCD上的射影分别为M、N,则M为△SCD的中心(如图二)易求得MG=36,SM=…     

弯头圓台的剪接与其計算的解析法

(一) 问题的提出在生产实际工作中有时会遇到将一张薄片材料卷接成圆台的问题,一个正圆台的剪接很简单,只要应用初等平面几何的知识,将圆台的侧面展开成扇形平面,进行剪裁焊接即可,但如果一个圆台是由一个正圆台和一个斜圆台连接成的,也就是圆台的中心轴在中途偏转一个角度而变成一个“弯头圆台”则其剪接起来就要求计算出最紧凑最节约材料的剪接方法。这里把个人研究的心得提出来和对这问题有兴趣的同志们商椎。 (二) 弯头圆台的构成一个正圆台,沿其与台底不平行的斜截面剖开,将其一部分绕中心轴旋转180°再将两部分沿斜截面接合,则得一弯头圆台。因为根据圆锥截线的性质不通过顶点而与圆锥一叶相截的平面,与这圆锥侧面的截线是一椭圆(图1),而根据椭圆的性质——对长轴或     

直三棱柱的侧截体的体积

与三棱柱各侧棱都相交的平面,是这三棱柱的侧截面．直三棱柱一底面与一侧截面间的几何体,是直三棱柱的侧截体,下面研究其体积．     

直三棱柱的侧截体的体积

与三棱柱各侧棱都相交的平面,是这三棱柱的侧截面.直三棱柱一底面与一侧截面间的几何体,是直三棱柱的侧截体,下面研究其体积.     

几何体表面最短程问题常见错误例析

几何体表面最短程问题的计算在生产实际中应用广泛 .储油罐由下而上环绕罐面建扶梯 ,从山下往山上建筑环形公路 ,确定卫星的运行轨道等都包含着几何体表面最短程问题 .求解空间几何体表面上两点的最短程问题 ,其一般思路是 :展开几何体的表面成平面 ,归结为求平面上两点间最短距离问题 .本文旨在剖析几何体表面最短程问题中的常见错误 .例 1　正三棱柱ABC -A1B1C1的各条棱长都等于 2 ,M为棱AA1的中点 ,N为底边BC的中点 ,问点M沿柱体表面到点N的最短路程是多少 ?错解 1　如图 1,将正三棱柱ABC -A1B1C1沿B1B剪开 ,把侧面展平 ,连MN …     

几何体的面积和体积

面积和体积是立体几何中的两类重要问题 ,其中体积的计算和应用是重点 .几何体的面积主要包括表面积和截面的面积 .其中截面面积的计算是数学竞赛中的一种常见题型 .处理截面问题一般分为三个步骤 :定位、定形、定量 .在掌握好求体积的基本方法的基础上 ,还应重视以下的常用方法和技巧 :1)转移法 ,即利用祖 日恒原理或等积变换把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积 ;2 )分割求和法 ;3)补形求差法 ;4 )交换底面求三棱锥 (或四面体 )的体积 .面积和体积最值问题也是一种常见题型 ,解决这类问题的基本方法有三种 :1)“选变量 ,寻定…     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

利用对称法求旋转体的表面积

对称是研究数学问题常用的思想方法 ,运用对称思想方法来研究旋转体的表面积问题 ,常可获得一些出人意料的、简捷明快的解法 .但有些问题的对称性并不那么直观 ,需要人为地添加构造 .例 1　如图 1 ,边长为 a的正六边形ABCDEF,以一边 AB所在的直线 l为轴旋转 ,求所得旋转体的表面积 .分析　如果按常规 ,需求两个圆锥侧面积、两个圆台侧面积及一个圆柱侧面积的和 ,过于复杂 .利用对称性 ,可以把圆台与圆锥的侧面组合成一个大圆锥的侧面 .再利用对称性 ,两个大圆锥的侧面积相等 ,其和是一个大圆锥侧面积的两倍 .这样 ,大大简化了计算 ,提高…     

一个趣题的简证

贵刊文[1]给出了这样一个趣题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个面粘起来,作者通过实践和证明都得到所得的几何体是斜三棱柱.……     

一个趣题的简证

贵刊文[1]给出了这样一个趣题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个面粘起来,作者通过实践和证明都得到所得的几何体是斜三棱柱.……     

"直四面体"中一组有趣的性质

波利亚说 :“类比是一个伟大的引路人 ,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题 .”把立体几何知识与相关的平面几何知识类比 ,是实现知识转移的有效方法 ,有利于化难为易 ,启迪思维 .下面利用直四面体中一组性质说明之 .图 1 -11　定义如果从三棱锥P -ABC的顶点P出发的三条棱两两互相垂直 ,那么称这个三棱锥为直四面体 .(如图 1 -1 )2　性质图 2 -1性质 1　在直四面体P-ABC中 ,记S△ABC 是底面△ABC的面积 ,S△ABP,S△BCP,S△CAP 分别为三个侧面三角形ABP ,BCP ,CAP的面积 ,(如图 2 - 1 )①设△ABO为△ABP在平…     

多面体与旋转体(选择题五道)

1.四个命题:长方体是①直棱柱,②正棱柱,③四棱柱,④平行六面体.其中真命题的个数是 (A)1(B)2(C)3(D)4 2.正方体月C,的全面积为S,又L,M,N分别是它的三条棱AB、AD、AA,的三个内点,过这三点的平面截去正方体的一角之后的多面体的全面积设作S。,则 (A)S>S。(B)S相似文献