利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

课例点评:多面体的体积

目的要求 :1通过复习 ,使学生进一步熟悉求多面体体积的常用思路与方法 ,培养学生分析问题和解决问题的能力 .2进行辨证唯物主义思想教育和数学审美教育 ,提高学生良好情感 .重点 :多面体体积的计算 .难点 :底面及高的确定 .图 1教学方法 :学生主动探索与教师启发相结合 .教学过程 :1　例题分析例题　已知正四面体 ABCD的棱长为 a,求其体积 .分析　由于 V三棱锥 =13Sh,S为底面积 ,h为底面上的高 ,如何确定底面和高 ?(学生思考 )思路 1　 (直接法 )如图 1,选 BCD为底面 ,A到底面 BCD的垂线 AO为高 (从学生熟悉的简单的多面体入手 ,和…     

构造法巧解一题 (一个问题的巧解与反思)

<正>题目（武汉市2008年2月调研题）在三棱锥A—BCD中,三组对棱棱长分别相等且依次为5、34^1/2、41^1/2,求三棱锥A—BCD的体积和外接球的半径.解析联想到长方休的相对两个面的四条对角线相等,且不共面的四个顶点可构成三棱锥的四个顶点.如图,构造长方体,长、宽、高分别为a,b,c.取BC=     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

特殊四面体的性质

三条棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的几何体 ,它具有自己的一些独特性质 .本文介绍该特殊几何体中棱长与高的关系 ;侧面面积与底面面积的关系 ;侧面面积、底面面积以及侧面与底面的夹角之间的关系 ;棱与底面所成三个夹角之间的关系 ;给出该特殊几何体的外接球、内切球的半径公式 .四面体P ABC的三条棱PA ,PB ,PC两两互相垂直 .记PA =a ,PB =b ,PC =c.顶点P到平面ABC的距离为h .△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC的面积分别为S1,S2 ,S3和S ,该特殊几何体具有如下性质 .性质 1　h- 2 =a- 2 +b- 2 +c- 2 .图 1　性质 1图证　如图 …     

对棱相等三棱锥例说

在三棱锥中 ,如果三组对棱分别相等 ,我们通常把这样的三棱锥称为对棱相等三棱锥 .在长方体中以不相邻四个顶点为顶点所成的三棱锥就是一个对棱相等三棱锥 .受此启发 ,我们常构造长方体来解答与对棱相等三棱锥有关的问题 .例 1　如图 1 ,三棱锥 A - BCD中 ,AB=CD =a,AC =BD =b,AD =BC =c,求异面直线 AB与 CD所成角的大小 .解　如图 2 ,构造长方体 ,使三棱锥 A -BCD的对棱分别为长方体相对面的对角线 .∵　 A′ B′∥ CD,∴　 AB与 A′ B′所成角即为 AB与 CD所成角 .图 1　　　　　　图 2设长方体的三条棱 AC′、AB′、AA…     

关于三棱锥顶点在底面上射影的位置

在解决三棱锥的问题时,常常要作三棱锥的高。只要抓住了其垂足在底面上的位置,问题就较易解决。因此掌握在各种条件下的三棱锥顶点在底面上射影的位置是解决有关三棱锥问题的关键。现分以下几种情形讨论: 一、(如图):三棱锥P-ABC,当三条侧棱PA=PB=PC时,则顶点P在底面上射影点O为△ABC的外心。     

楔形体积公式

底面是矩形,顶部为平行底面的一条线段,四个侧面中两个是梯形,两个是三角形,这样的多面体好像木工用的楔,故称此种几何体为楔形.对于任一楔形,有如下命题:若楔形的底面矩形的边长分别为a,b,顶部棱长为l,顶棱到底面的距离为h,则楔形的体积为V=16hb(2a+l).图1楔形证如图1,在楔形EF—ABCD中,底面边长AB=a,AD=b,顶棱EF=l,顶棱到底面ABCD的距离为h,通过割补法易得棱柱PDA-FCB,棱柱PDA-EMN.因为V棱柱PDA-FCB=12S矩形ABCD·h=12abh;而VE-PDA=13VPDA-EMN=13·12SAMND·h=16bh·(l-a),所以V楔形EF-ABCD=VPDA-FCB+VE-P…     

反例·证明·怪论

有如下一道立体几何判断题 :底面是正三角形 ,相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥吗 ?甲同学给出了否定的回答 ,并构造了如下“反例” :图 1　甲同学所举反例示意图如图 1 ,Ｐ -ＢＣＥ为正三棱锥 ,在ＰＥ上取一点Ａ ,使ＡＢ =ＢＥ ,连ＡＢ ,ＡＣ .推知ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ ,即△ＡＢＣ为正三角形 ,从而三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正三角形 ,相邻两侧面所成的二面角都相等 ,而非正三棱锥 .图 2　乙同学证明用图但 ,乙同学不同意甲的判断 ,并给出了如下“证明” :如图 2 ,设三棱锥Ｐ -ＡＢＣ满足所设条件 .作ＡＨ⊥面ＰＢＣ ,垂足为Ｈ ,…     

善分割 速解题

巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解 ,同样适当地分割图形 ,也可使某些立几问题趋于简单 ,从而为问题的顺利解决提供了方便 .【例 1】　如图 ,三棱锥P -ABC中 ,已知PA⊥BC ,PA=BC =l,PA、BC的公垂线段DE =h .求三棱锥P-ABC的体积 .( 87年高考理 )分析 :直接考虑会因条件用不上感到束手无策 .如考虑过DE、BC的平面分割三棱锥P -ABC为两个三棱锥P -BCD和A-BCD .则问题简捷解出 .解 :∵PA⊥BC ,PA⊥DE ,∴PA⊥面BCD .∴VP-BCD =13 ·S△BDC·PD= 13 ·12 ·l·h·PD VA-BCD =13 ·S△BCD·AD= 13 ·12 ·l·h…     

双曲锥（台）体的体积推导

文 [1]推导了椭球体、抛物锥体的体积公式 ,作为对文 [1]的补充 ,也为同学们提供“研究性学习”的素材 ,本文推导双曲锥 (台 )体的体积 .1　双曲锥体的体积双曲锥体是指双曲线的一段 (其中一个端点为实顶点 )及其两端点向实轴所引垂线段绕实轴旋转一周所得几何体 .图 1如图 1,双曲锥体的底面圆心为D ,半径是R ,BAC是双曲锥体一个轴截面的曲边界 ,记BAC所在双曲线的实半轴长为a ,虚半轴长为b ,A是实顶点 ,OP ,OQ是相应渐近线 .作AE⊥OA并交OQ于E ,则OA =a ,AE =b .作EF⊥底面于F ,用平行于底面的平面截台体 ,与OD ,EF ,AC ,OQ…     

一道数学竞赛题的引申及推广

<正>题目(第22届全苏奥林匹克数学竞赛题)如图1,BD、CE是锐角△ABC的两条高,过顶点B、C分别作ED的垂线BF、CG.求证:EF=DG.证明∵∠BDC=∠BED=90°,∴B、C、D、E四点共圆,∴∠BEF=∠BCD,易知Rt△BFE∽Rt△BDC,于是(EF)/(CD)=(BE)/(BC),     

例说正四面体的伴随正方体

<正>1.正四面体伴随正方体的由来人教版高二(下)教材第52页有这样一道习题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几.     

一个趣题的实践与证明

题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个侧面粘起来,所得几何体可能是什么?如图(一),将正四棱锥S-ABCD的侧面SCD与正三棱锥V-EFG的侧面VEF粘合在一起,为了验证平面SBC与平面GVE是否叠合成一个平面,用硬纸片制作这样的正三棱锥和正四棱锥,实践验证平面SBC与平面GVE,平面SAD与平面GVF恰好分别叠合成一个平面,这样所得的几何体应该是斜三棱柱,问题即为求证二面角B-SC-G=180°.(图一)记所有棱长均为1,探讨如下:(图二)设顶点G、B在平面SCD上的射影分别为M、N,则M为△SCD的中心(如图二)易求得MG=36,SM=…     

关于一个体积问题的再探讨

问题　已知直三棱柱ＡＢＣＡ1Ｂ1Ｃ1,用一个平面去截它 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3 .若底面面积为Ｓ .求 :介于截面与下底面之间的几何体的体积Ｖ(如图 1) .本刊文 [1]给出了该问题的七种不同的“割补”解法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再给出其一种解法 ,并由此对所求体积作一番实质性探讨 ,希望以此开阔同学们的眼界 .图 1　题目图　　　图 2　解答用图解　如图 2 ,延长ＣＣ2 ,并在其上截取Ｃ2 Ｄ =ｈ2 ,ＤＥ =ｈ1.连ＢＣ2 ,Ｂ2 Ｄ ,ＡＤ ,Ａ2 Ｅ ,ＡＢ2 ,ＡＣ2 ,Ａ2 Ｄ ,Ｂ2 Ｅ .则ＶＣ2 ＡＢＣ=13Ｓｈ3 ;…     

例谈三棱锥外接球问题的求解策略

<正>三棱锥的外接球是其球面经过三棱锥的四个顶点的球,如何解决三棱锥的外接球问题?本文介绍三种基本方法.1定义法例1(2020年广东省高考二模试题)如图1,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=2a,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成A_1DE,连接A_1C.若当三棱锥A_1-CDE的体积取得最大值时,     

一个平几命题的空间推广

文 [1]给出了如下一个命题 :定理 1　设 M为△ ABC边 BC上一点 ,且BMMC=λ,任作一直线分别交 AB、AC、AM于点P、Q、N,如图 1,则AMAN=ABAP λ .ACAQ1 λ .图 1　　　　　　　　　图 2不难发现该命题可推广到空间去 ,我们有 :定理 2　设 M为三棱锥 ABCD底面 BCD内一点 ,连 BM、CM     

等积转化在求棱锥体积中的妙用

所谓等积转化,即将欲求棱锥转化为与其等体积的新棱锥求解;“等积法”对求棱锥体积既具有灵活性,又具有规律性;本文介绍四种技巧;１　顶点替换法;三棱锥顶点相互替换后而等积;利用该特性是求三棱锥体积的常用方法;例１　已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是面积为２３的菱形,侧面ＰＡＤ是等边三角形且与底面垂直,Ｅ为侧棱ＰＣ的中点（如图）;求三棱锥Ｃ－ＡＤＥ的体积;ＢＣＥＰＤＦＡ解　过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＤ于Ｆ,则ＰＦ⊥底面ＡＢＣＤ;由题意可求得ＰＦ＝３,∴ＶＣ－ＡＤＥ＝ＶＥ－ＡＣＤ＝１３·Ｓ△ＡＣＤ·１２ＰＦ＝１３·３·…     

新题征展(108)

A 题组新编 　　1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=_____;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是_____.(用文字描述轨迹的形状,下同)……     

对一道2020年高考立体几何题的变式探究

2020年高考全国Ⅰ卷理科第18题是:如图1,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO±一点,PO=√6/6DO.(Ⅰ)证明:PA⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角BrPC-E的余弦值.