一个非线性方程的小素数解

证明了整系数素变数方程a_1p_1+a_2p_2~2+a_3p_3~2+a_4p_4~2=b当整数a_1,…,a_4,b满足一定条件时有素数解,并给出了此方程有素数解时小素数解的上界.     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了:(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

不定方程x4-y4=n整数解求法探讨

求方程 x4- y4=n　 ( n∈ N)的整数解 ,至今还没见到一般方法 ,本文将给出这类不定方程一种解法 .文中字母 P表示质数集 ,符号 ( a,b)( a、b∈ Z)表示不定方程　　 x4- y4=n　 ( n∈ N) ( 1 )的整数解 .定理 1　若 n∈ P,则方程 ( 1 )没有整数解 .证明　假定方程 ( 1 )有整数解 ( a,b) ,定有　 a2 b2 =n,　 a2 - b2 =1 ,∵　 a、b∈ Z,| a| >| b| ,只有　　　 (± 1 ) 2 - 0 2 =1 ,∴　 a =± 1 ,　 b =0 ,　 a2 b2 =1 ,与 a2 b2 =n是质数相矛盾 ,故方程 ( 1 )没有整数解 .由费马定理知 ,有定理 2　当 n =m4( n∈ N)时 ,则方程 ( 1…     

竞赛中的质数题

<正>质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(也称素数);如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数,那么叫a做b被整除,记作b|a,b就叫做a的约数;当几个正整数有公有的约数,叫做这几个正整数的公约数,公约数中最大的一个公约数,称为这几个正整数的最大公约数;正整数a、b的最大公约数可以记作(a、b);当(a、b)=1时,则称这两个正整     

均值不等式及其应用

<正>均值不等式是中学数学中的一个常见不等式,有很重要的地位,也经常被叫做均值定理,在不等式证明及求最值方面应用非常广泛.1均值不等式如果a,b都是正数,那么■,当且仅当a=b时,等号成立.对任意两个正实数a,b,数■叫做a,b的算术平均值,数■叫做a,b的几何平均值.因此把这一常见不等式叫均值不等式.     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2的应用

定理如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取=),这个定理适用的范围:a,b∈R~+;我们称(a+b)/2为a,b的算术平均数,称(ab)~(1/2)为a,b的几何平均数,即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均     

基本不等式应用

<正>基本不等式如果a,b都是非负数,那么(a+b)/2≥(ab)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s²/4;(2)若ab=p(积为定值),则当a=b时,和a+b取得最小值     

关于丢番图方程ax2+by2=cz2+dw2的整数解

数论中作为勾股定理的推广曾讨论过方程x2 +y2 =z2 +w2 ( 1 )的整数解 (如文 [1 ]、[2 ]) ,文 [2 ]得到了方程 ( 1 )满足 ( x,y,z,w) =1的全部整数解的一组公式 ,但表达式不够简洁。本文将其推广 ,考虑更一般的这类四元二次丢番都方程ax2 +by2 =cz2 +dw2 ( 2 )其中 a,b,c,d均为正整数 ,( a,b,c,d) =1。当知道它的一组不全为零的整数解时 ,来导出它满足 ( x,y,z,w) =1的全部整数解的公式。按所设 ,显然 z,w不会全为 0 ,不妨设 w≠ 0 ,从而方程 ( 2 )可变为a( xw) 2 +b( yw) 2 -c( zw) 2 =d令 X=x/ w,Y=y/ w,Z=z/ w,得a X2 +b Y2 -c Z2 =d …     

一次同余方程的求解技巧

1　引言一次同余方程形如ax≡ b( mod m) ( 1 )其中 a,b,m都是整数 ,m≠ 0 ,m|a。一次同余方程 ( 1 )有解的充要条件是( a,m) |b ( 2 )当条件 ( 2 )满足时 ,一次同余方程 ( 1 )一共有 ( a,m)个解。并且 ,如果 x0 是 ( 1 )的某一特解 ,则 ( 1 )的全部解是 [1]x =x0 +m( a,m) t( mod m) , ( 3 )其中 t=0 ,1 ,… ,( a,m) -1。因此 ,当一次同余方程有解并且有不只一个解时 ,关键是求出它的一个特解。设 ( a,m) =g,a=a1g,b=b1g,m=m1g则必有 ( a1,m1) =1。此时可以取一次同余方程a1x≡ b1( mod m1) ( 4)的唯一解做 ( 1 )的一个特解 [1]。问题是 ,…     

借“1／x＋a＋1／x＋b=1／x”发挥

题中方程的实数解 ,众所周知 ,仅当 ab>0时 ,x=± ab.如果 a,b∈ N ,a≠ b,且只需解这方程的正整数解 ,那么必须满足 ab=k2 ( k∈N) .本文仅借方程的构形 ,发挥它正整数解的功能 ,来揭示“一个单位分数表示为两个不同单位分数的和”的实质 . (注 1)由上得 :1k=1k a 1k b ( 1)令 k2 ( =ab) =pe11 · pe22 … peii … pett.( pi 为素数 ) .不难推出 ( 1)的不同表示法的种数 =d( k2 ) -12 .(其中 d( k2 ) =( e1 1) ( e2 1)… ( ei 1)… ( et 1) ) .令 ( 1)中 a=k2 ,b=1.经移项整理得1k( k 1) =1k-1k 1( 2 )由 ( 2 )可求出 ( n-1)个形如它左…     

关于三项纯指数Diophantine方程ax+by=cz

设a、b、c是互素的正整数.本文证明了:当a b2l-1=c2,b≡5(mod 12),c是适合c≡-1(mod b2l)的奇素数,其中l是正整数时,方程ax by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(1,2l-1,2).     

Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和x~2+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,a,b,c是满足a~2+b~2=c~r的互素正整数.证明了:当r(?)5(mod8),c>10~(12)r~4且b是奇素数的方幂时,方程x~2+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(a,2,r).     

均值不等式的拓展、应用及思考

<正>本文以均值不等式为载体,展示其丰富多彩的拓展及广泛应用,在帮助大家提升解题能力的同时,也希望对大家深刻认识教材,理解教材有所启迪!均值不等式如果a、b都是正数,那么a+b/2≥(ab)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立     

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

关于线性丢番图方程的Frobenius问题

本文考虑线性丢番图方程a_1x_1+…+a_kx_k=b的非负整数解的存在性问题.为解答Frobenius开问题,对于k2,给出整数G(a_1,…,a_k)的表示形式,该整数是使得b≥G a(_1,…,a_k)时,上述丢番图方程总存在非负整数解的最小整数.     

综合题新编选登

题156已知方程组x2 y2=a,xcosy=b,其中a,b,x,y∈R(a,b为参数),且x>0.1)试问:当且仅当参数a,b满足什么条件时,该方程组有唯一解?2)在平面坐标系内,设以满足1)的参数a,b构成点P(a,b),且动点P(a,b)的轨迹图形为F.试问:是否存在整数k,使得F上存在两个点关于直线y=kx 3对称?解1)先假设方程组有唯一解,因为x>0,所以x=a-y2,这个函数显然是关于y的偶函数,由此可知,如果(x0,y0)是方程组的解,那么(x0,-y0)也是方程组的解.因为方程组有唯一解,所以y0=-y0,即y0=0,于是有a>0,b>0,且a=b2,x=a,y=0.反之,当a>0,b>0,且a=b2时,方程组成为x2 y2=b2,xcosy=b,得…     

勾股数,有理代换及其它

方程x~2+y~2=z~2 (1)的每一正整数解(a,b,c)(即x=a,y=6,z=c)称为勾股数 勾股数有无穷多组。不难证明，如果（a,b,     

与Euler函数φ(n)有关的非线性方程的正整数解

在Euler函数φ(n)的性质的基础上,利用整数分解的方法证明了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c~2(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1)当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)时无正整数解,并证明了当a,b为任意的一奇一偶,c为任意的奇数,且满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b时,方程无正整数解.     

巧用均值定理求最值

<正>两个正数的均值定理是高中数学的必修内容,在不等式证明和代数式求最值中经常用到,因此要求同学们熟练掌握.首先,两个正数的均值定理是指:如果a、b∈(0,+∞),那么a+b/2≥ab^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab^(1/2)),其次,由均值定理可得:两个正数的积为常数时,当它们相等时和取得最小值;两个正数的和为常数时,当它们相等时积取得最大值.下面举例说明如何应用均值定理求代数式的最值(最大值或最小值).