第35届IMO试题和解答

第３５届ＩＭＯ试题和解答１（法国）设ｍ和ｎ是正整数，ａ１，ａ２……，ａｍ是集合｛１，２，…，ｎ｝中的不同元素，每当，就有某个ｋ，１≤ｋ≤ｍ，使得求证．证明不妨设ａ１＞ａ２＞……＞ａｍ．关键在于证明，对任意ｉ，当≤ｉ≤ｍ时，有用反证法。若存在某个ｉ，１...     

对称本原有向图的广义本原指数集

本文证明了全体ｎ阶对称本原有向图的第ｋ个第一类（１≤ｋ＜ｎ－１）、第二类（１≤ｋ≤ｎ－１）和第三类（２≤ｋ≤ｎ－１）广义本原指数的指数集分别是｛１，２，…，ｎ－２＋ｋ｝和｛１，２，…，２（ｎ－ｋ）｝，其中「ａ］表不小于ａ的最小整数，［ｂ］表不大于ｂ的最大整数。     

关于Shannon－McMillan定理的若干研究

设｛Ｘｎ，ｎ≥１｝是字母集为Ｓ＝｛１，２，…，Ｎ｝上的任意信源，其分布为ｐ｛ｘ１，…，ｘｎ｝，（ｐｋ（１），ｐｋ（２），…，ｐｋ（Ｎ），ｋ＝１，２，…，是Ｓ上的一列分布　称为｛Ｘｋ，１≤ｋ≤ｎ｝相对于乘积分布　的熵密度偏差，本文利用这个概念研究任意信源的极限性质，其中包括在没有平稳性和遍历性假设情况下对ＳｈａｎｎｏｎＭｃＭｉｌｌａｎ定理的某些讨论．     

鞅差几何级数的重对数律

设｛Ｘｋ，Ｆｋ，ｋ≥０｝是（Ω，Ｆ，Ｐ）上的鞅差序列，在本文中我们讨论了以｛Ｘｋ｝为系数的幂级数Ｓ（β＝Σ∞ｋ＝０βｋＸｋ，当β↑１时的渐近行为，本文证明了：如果│Ｘｋ│≤ｃ，Ｅ（Ｘ＾２ｋ│Ｆｋ－１）＝１，则有下面的重对数律成立ｌｉｍβ↑１√１－β＾２／√２ｌｏｇｌｏｇ（１－β＾２）－１Ｓ（β）＝１ａ．ｓ。     

几何分布的统计特征

本文证明了如下命题（１）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝１｝及｛Ｘ（１）＝２｝独立，则Ｘ１服从几何分布；（２）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝１｝及｛Ｘ（１）＝３｝独立，则Ｘ１服从几何分布；（３）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝２｝及｛Ｘ（１）＝３｝独立，则Ｘ１服从几何分布；（４）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝１｝及｛Ｘ（１）＝４｝独立，则Ｘ１服从几何分布     

关于数列性质的探讨

一、等差数列根据等差数列的通项公式易得下面性质：性质１若数列｛ａｎ｝是等差数列，则ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝…＝ａｒ＋ａｎ－ｒ＋１＝…，即与两端等距离的两项之和均相等．性质２若数列｛ａｎ｝是等差数列，则当ｍ＋ｎ＝ｋ＋ｔ时（ｍ，ｎ，ｋ，ｔ∈Ｎ），有ａ...     

贪婪t－相交有限序列族

设Ｆ为有限序列族，对ａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）∈Ｆ，ａｉ为整数且０≤ａｉ≤ｓｉ（整数），记ｓ（ａ）＝｛ｊ｜１≤ｊ≤ｎ，ａｊ＞０｝，ｓ（Ｆ）＝｛ｓ（ａ）｜ａ∈Ｆ｝，及Ａ｛１，２，…，ｎ｝时Ｗ（Ａ）＝Пｉ∈Ａｓｉ．称Ｆ为贪婪ｔ－相交，如对任何ａ，ｂ∈Ｆ，至少有ｔ个ａｉ，ｂｉ＞０，且Ｗ（Ａ）≥Ｗ（（｛１，２，…，ｎ｝－Ａ）＋Ｂ）对任何Ａ∈Ｓ（Ｆ）及ＢＡ（｜Ｂ｜＝ｔ－１）成立．本文得到当ｓ１＞ｓ２＞…＞ｓｎ时的最大贪婪ｔ－相交有限序列族．     

一类线性errors－in－variables模型的参数强相合估计及其a．s．收敛速度

本文讨论了如下一类线性ｅｒｒｏｒｓ－ｉｎ－ｖａｒｉａｂｌｅｓ模型——多元线性结构关系模型β′ｘｋ＋α＝０，ξｋ＝ｘｋ＋εｋ．｛ｋ＝１，２，…，ｎ．其中，｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝为一组ｉ．ｉ．ｄ．的ｍ维随机向量，｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝是ｉ．ｉ．ｄ．的随机误差，Ｅ（ε１）＝０，Ｖａｒ（ε１）＝σ２Ｉｍ．且｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝与｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝相互独立．在一些条件下，我们证明了估计量β，α，σ２的强相合性、唯一性，并给出了估计量的收敛速度为ｏ（ｎ－１－１ｑ），这里ｑ∈［１，２）．对于Ｅ（ｘ１）ｕ１和Ｖａｒ（ｘ１）Ｖｘ的估计也得出了同样的结果     

子集的交叉t－相交定理

设Ｘ为一个ｎ元集合，Ｃｎｋ为Ｘ的所有ｋ元子集全体，若Ａ∈Ａ，Ｂ∈Ｂ有｜Ａ∩Ｂ｜≥ｔ，则称（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族．本文得到最大交叉ｔ－相交子集族和最大非空交叉２－相交子集族．证明如下两个结论．（１）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族，且ａ≤ｂ及ａ＋ｂ≤ｎ＋ｔ－１，则｜Ａ＋Ｂ｜≤ｍａｘ｛（ｂｎ），（ａｎ）｝，且当（Ａ；Ｂ）＝（φ，Ｃｎｂ）或（Ｃｎａ，φ）时达到上界．（２）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉２－相交子集族，且ａ＜ｂ，ａ＋ｂ≤ｎ－１及（ｎ，ａ，ｂ）≠（２ｉ，ｉ－１，ｉ）（ｉ为任意正整数），又Ａ，Ｂ均非空，则｜Ａ＋Ｂ｜≤１＋（ｂｎ）－（ｂ（ｎ－ａ））－ａ（（ｂ－１）（ｎ－ａ））且当（Ａ，Ｂ）＝（｛Ａ｝，Ｃｎｂ－｛Ｂ｜｜Ｂ｜＝ｂ，｜Ａ∩Ｂ｜≤１｝）时达到上界．     

限距组合问题再探

限距组合问题再探李康海（浙江省永康一中３２１３００）陈皓（湖北省邮电学校４３００７０）从集合｛１，２，３，…，ｎ｝中选出ｋ个数ｊ１，ｊ２，…，ｊｋ，使之满足：（１）１＜ｊ１＜ｊ２＜…＜ｊｋ≤ｎ；（２）ｊｉ＋１－ｊｉ≥ｍ（ｉ＝１，２，…，ｋ－１）．称数...     

高阶等比数列的划分

文［１］研究了（一阶）等比数列的高阶等差划分的问题,证明了等比数列的均匀划分仍为等比数列,一阶等差划分为３阶等比数列,并猜想ｋ阶等差划分为２ｋ＋１阶等比数列．本文证明：定理　ｓ阶等比数列的ｔ阶等差划分数列为ｓｔ＋ｓ＋ｔ阶等比数列．为了阅读方便,我们先简述一下有关概念．设｛ａｎ｝＝｛ａ（０）ｎ｝为任一数列（ａｎ≠０）．记ａ（１）ｎ＝ａ（０）ｎａ（０）ｎ＋１,…,ａ（ｓ）ｎ＝ａ（ｓ－１）ｎ＋１ａ（ｓ－１）ｎ,则｛ａ（ｓ）ｎ｝称为｛ａｎ｝的ｓ阶商数列．若ａ（ｓ）ｎ＝ｑ（非１常数）,对ｎ∈Ｎ均成立,则｛…     

关于一类和式的估值

设｛ａｎ｝为递增的正项等差数列：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，ｎ∈Ｎ，其中ｄ，ａ１＞０，本文讨论和式ｎｋ＝１１ａｋ＝１ａ１＋１ａ２＋…＋１ａｎ的估值，并解决文［１］中遗留的问题．定理１设ｄ≤２ａ１，则对任意ｎ∈Ｎ有ｍｎ≤ｎｋ＝１１ａｋ＜Ｍｎ①其中Ｍｎ...     

一类数列通项问题的求解

一、问题的提出已知两等差数列｛５ｎ＋２｝和｛４ｍ＋１｝（ｍ，ｎ∈Ｎ）试求两数列中相同项组成的新数列的通项公式．在教学中发现，一些学生通过分析，采用归纳猜想的方法取有限项，猜出新数列仍是一等差数列，且它的公差是两已知数列公差的最小公倍数而得解．但问题是，新旧数列公差倍数关系这个结论只是猜想，缺乏必要的理论依据，这里，我们试用二元一次不定方程式求解公式先来探讨这一问题的一般情形．二、结论的导出设两等差数列为｛ａｍ＋ｂ｝和｛ｃｎ＋ｄ｝（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈ｚ）公差分别ａ和ｃ，其相同项组成的新数列为｛Ｘｎ｝…     

任意m值随机变量序列与独立序列的比较及其极限性质

设｛Ｘｎ，ｎ≥１｝是在Ｓ＝｛１，２，…，ｍ｝中取值的随机变量序列，其联合分布为ｐ（ｘ１，…，ｘｎ），（ｐ１１，ｐ１２，…，ｐ１ｍ）（ｉ＝１，２，…）是Ｓ上的一列分布，ｋ∈Ｓ，Ｓｎ（ｋ，ω）是ｋ在序列Ｘ１（ω），Ｘｎ（ω）中出现的次数。ψｎ（ω）＝∑＾ｎｉ＝１ｌｏｇｐｉｘｉ－ｌｏｇｐ（Ｘ１，…，Ｘｎ）称为（Ｘｉ，１≤ｉ≤ｎ）相对于乘积分布∏＾ｎｉ＝１ｐｉｘｉ的对数似然比，Ｓｎ（ｋ，ω）－∑＾ｎｉ＝１     

三论限距组合

三论限距组合巫平（徐州市华东输油管理局中学２２１００８）自集合｛１，２，３，…，ｎ｝中选出ｋ个数ｊ１，ｊ２，…，ｊｋ，使之满足：①１≤ｊ１＜ｊ２＜ｊ３＜…＜ｊｋ≤ｎ；②ｊｉ＋１－ｊｉ≥ｍ（ｉ＝１，２，…，ｋ－１）．称数组（ｊ１，ｊ２，…，ｊｋ）为从ｎ...     

几例等差数列问题的巧证

几例等差数列问题的巧证蒋会乾（河南省浚县一中４５６２５０）定理如果数列｛ａ。｝，｛ｂＦ｝为等差数列，则：（１）数列｛ａ。士ｂ．｝也为等差数列；（２）｛ｃａ。｝也为等差数列．证明略．利用这个定理可以巧妙地证明一些等差数列问题，举例如下．例１已知ａ’，ｂ...     

多个尺度函数产生的多分辨率分析

本文考虑一般细分方程ψｉ（ｘ）＝Σ１≤ｊ≤ＮΣｋ∈Ｚｃｉｊ（ｋ）ψｊ（２ｘ－ｋ），解的存在性，正则性和稳定性，及｛ψｉ｝１≤ｉ≤Ｎ产生Ｌ＾ｐ多分辨率分析的条件。     

一维齐次Cantron集的Hausdorff维数

设｛ｎｋ，ｋ１｝为一正整数序列，｛ｃｋ，ｋ１｝为一正实数序列，满足ｎｋ２，０＜ｃｋ＜１，ｎｋｃｋ１．设Ｅ为由｛ｎｋ，ｋ１｝，｛ｃｋ，ｋ１｝定义的齐次Ｃａｎｔｏｒ集．本文证明集Ｅ的Ｈａｕｓｄｏｒｆ维数为ｄｉｍＨＥ＝ｌｉｍｋ→∞ｌｏｇｎ１ｎ２…ｎｋ－ｌｏｇｃ１ｃ２…ｃｋ     

数学奥林匹克讲与练(12)

例题讲解８９．求证：可以用互不相似的三角形来覆盖全平面．证明　将平面划分为边长为１的正方形方格,并从某个正方形开始依顺时针方向给所有正方形编号（图１（ａ））,得到正方形序列｛Ｑｋ：ｋ≥１｝,它们覆盖全平面．１７１８１９２０２１１６５６７２２１５４１８２３１４３２９２４１３１２１１１０２５２８２７２６（ａ）（ｂ）　　　　　　　　　　（ｃ）图１取定实数列：ａ１＝１３,ａ２＝２３,ａ３＝２５,ａ４＝３５,…,ａ２ｋ－１＝ｋ２ｋ＋１,ａ２ｋ＝ｋ＋１２ｋ＋１,…,易见０＜ａ１＜ａ３＜…＜ａ２ｋ－１＜１２＜…     

一个二维整数瓶颈问题及其算法

本文讨论了数学模型：ｍａｘ｛ｆ（ｘ）│ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ（１≤ｊ≤ｎ）〔ｃ１ｊｘ１ｊ＋ｃ２ｊｘ２ｊ〕，ｘ∈Ｄ｝，其中Ｄ＝｛ｘ│ｘ＝｛ｘｉｊ｝，ｎΣ（ｊ＝１）ｘｉｊ＝ａ，ｉ＝１，２，ｘｉｊ≥０且为整数｝，并给出了一个拟多项式算法。