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众所周知,实数分为有理数和无理数,无理数又分为代数数和超越数。这是实数的一种划分法。实数集还可以分成代数数集和超越数集。如果一个实数是整系数的某个代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a(n-1)x+a~m=0的根,那么这个数叫做代数数。反之,不是任何整系数代数方程的根的实数称为超越数。因为全体有理数n/m是一次代数方程mx-n=0的根,所以有理数集是代数数集一个子数,因此超越数都是无理数。证明一个数a是无理数,统编高中《代数》课本用了反证法,但用反证法需要一定的技巧,学生往往不会使用。本文打算介绍证明代数数中无理数的一种一般方法、供教师们参考。这种方法要用到下列定理。这个定理在一般代数课本中都有、我们就不作证明了。定理:整系数代数方程a_0x~n+a_1~(n-1)+…+a(n-1)x+a_n=0有有理数根m/n(m、n互质)的必要条件是m是a_n的约数、r是a_0的约数。我们先举例说明如何用这个定理证明代数数中的无理数、然后总结这种方法的一般步骤。 相似文献
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《数学通报》数学问题1845和1990是同一道题:已知a>0,b>0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值.
文[1]对此题有如下两个猜测推广:
推广1若a>0,b>0,m/a十n/b=1(其中m,n为正常数),则a+b-√a2+b2的最大值为2m+2n-2√2mn. 相似文献
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《中学生数学》2004年3月上(高中版第3期)给出了~3(1/2)是无理数的证明,但过程繁琐.现给出它的简捷证法. 证明用反证法:假设~3(1/2)是有理数,则可设~3(1/2)=m/n(m∈Z,n∈N )且m,n互质. ∴3=m2/n2(?)m2=3n2, ∴m必为3的倍数,可设m=3k(k∈Z), 相似文献
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刘志伟 《纯粹数学与应用数学》2007,23(1):28-30,44
设a、b、c是互素的正整数.本文证明了:当a b2l-1=c2,b≡5(mod 12),c是适合c≡-1(mod b2l)的奇素数,其中l是正整数时,方程ax by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(1,2l-1,2). 相似文献
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广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=p~n的解数 总被引:2,自引:0,他引:2
设a是正整数,D=3a2+1,P=4a2+1,其中p是素数.本文证明了:如果a不是4的倍数,则除了当(D,p)=(4,5)时方程x2+Dm=pn恰有3组正整数解(x,m,n)=(1,1,1),(3,2,2),(11,1,3)以外,该方程恰有2组正整数解(x,m,n)=(a,1,1)和(8a3+3a,1,3). 相似文献
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学生 有理数和无理数有什么区别 ?老师 主要区别有两点 :1.把有理数和无理数都写成小数形式时 ,有理数能写成有限小数或循环小数 ,比如 4 =4 .0 ;45=0 .8;110 =0 .1;13=0 .333…而无理数只能写成无限不循环小数 ,比如 2 =1.4 14 2… ,根据这一点 ,人们把无理数定义为无限不循环小数 .2 .所有的有理数都可以写成两个整数之比 ,而无理数却不能写成两个整数之比 .根据这一点 ,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子 ,把有理数改叫“比数” ,把无理数改叫“非比数” .本来嘛 ,无理数并不是不讲道理 ,只是人们最初对它太不理解罢了 .学生 无限小… 相似文献
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在指导初三学生复习实数部分时:我补充布置了如下一题(在课外读物上常见到): “设军、y是有理数,且(x一,叼丁,忿‘任一4,丁求x,y的值.’ 经老师指导、可得如下解法. 价原等式化成征:梦a+卜了石二。,.’. a.“b护扁、若b砖。,’一则、。沙二了蔽,此式左边是有理数.因而与J不是无理数相矛盾, 定,2.0,由已知得a,。.、b、c、d都是有理数.Jb、护一d、J‘、,产.二2矛‘、J‘、 二’+Zy:一Zxy护厄‘去6一4挤了由无理数相等的条件可得方程组 了xZ十Zy,二6 t Zxy=4‘解之得到写=2,y=卜、或x‘一2,,y,一1、 .实践表明,这道题极不处于学生“能力的… 相似文献
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在中学数学七年级教材中 ,讲到同底数幂除法时 ,通常用 ( 1)am÷am =am -m =a0 (a≠ 0 )规定了a0 =1,把指数n由正整数推广到非负整数 ;(2 )规定a-p =1 ap(a≠ 0 ,p∈Z) ,把指数从非负整数推广到了所有整数 ,得到了整数指数幂的概念 ;在八年级教材实数的运算这一节中 ,又作了如下规定 :(3 )am n =nam(a≥ 0 ,m∈Z ,n∈Z )把指数推广到任意有理数 ;更在高一年级指数函数一节中 ,通过把无理数看成是有理数列的极限 ,把a(a>0 )的无理指数幂看成是以a为底的 ,以这一列有理数为指数而成的新的数列的极限 ,从而得到实数指数幂的概念 .学生在学习… 相似文献
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在2011年2月号问题中有一个编号为1990的问题,如下:
已知a>0,b>0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值.
在2011年第三期上,王勇老师用增量法进行了巧妙的解答,其中主要利用的是三角替换,三角恒等式,基本不等式等知识,是从代数的角度对该问题进行的解答. 相似文献
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等差数列的通项a.和前n项和S.都可以看作为n的函数,下面就从函数的图象出发,谈一谈如何利用数形结合的思想来处理等差数列的有关问题.(1)等差数列的通项公式表明点(n,an)(n=1,2,…)共线于y=dx+a1-d上.例1设2和3是某等差数列中的两项,试证明此数列中的任何一项都不是有理数.此题的常规解法是用反证法证明,但着手较难,其过程也不自然,数形结合方法却一目了然.把xR换成nN,y换成an,则有理数,即这个数列的任何一项都是无理数.例2已知等差数列的第P项为q,第q项为P(P>q),求它的第户十q项和第户一q项.解设A(p,q… 相似文献
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一类指数丢番图方程的解 总被引:1,自引:0,他引:1
设m为正整数,且a=8m~3+3m,b=3m~2+1,c=4m~2+1.本文同时使用两个代数数的对数线性型下界估计,两个有理数方幂之差的P-adic赋值的下界估计的一些结果,以及二次域的类数与本原素因子的深刻结论,证明了,当m为任意正整数时,指数丢番图方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,1,3). 相似文献
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本文用初等方法证明均值不等式的拓广,并用它解决一些函数的最值问题. 定理 设x,y∈R+,a,b为正有理数,则 aabb(x+y)a+b≥(a+b)a+bxayb ①当且仅当x/a=y/b时,①式取等号. 证明 (1)当a,b为正整数时,由算术——几何平均值不等式,有 (x+y)a+b 相似文献
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《数学的实践与认识》2013,(9)
设a,b,c是满足a=m2-n2-n2,b=2mn,c=m2,b=2mn,c=m2+n2+n2的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程c2的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程cx+bx+by=ay=az的正整数解(x,y,z).证明(m,n)≡(0,1),(0,5),(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(4,5),(5,6),(6,7)或(7,0)(mod8)时,方程无解.上述结果部分地解决了有关本原商高数的一个新猜想. 相似文献