系列平行图的边面染色

一个平面图G的边面色数xef(G)是指对G的边和面进行染色所用最少的颜色数目,并同时使得相邻或相关联的两个元素间染不同颜色.若G是一个系列平行图,也就是不含K_4的剖分作为子图的平面图,则有Xef(G)≤max{7,△(G) 1};同时如果G还是2-连通的且△(G)>6,则有Xef(G)=△.     

系列平行图的邻强边色数

本文研究了系列平行图的邻强边染色.从图的结构性质出发,利用双重归纳和换色的方法证明了对于△(G)=3,4的系列平行图满足邻强边染色猜想;对于△(G)≥5的系列平行图G, 有△(G)≤x'as(G)≤△(G) 1,且x'as(G)=△(G) 1当且仅当存在两个最大度点相邻,其中△(G)和x'as(G)分别表示图G的最大度和邻强边色数.     

广义图K(n,m)的全色数

1965年,M.Behzad和Vizing分别提出了著名的全着色猜想:即对于简单图G有:XT(G)≤△+2,其中△是图G的最大度.本文确定了完全图Kn的广义图K(n,m)的全色数,并利用它证明了Lm×Kn(m≥3)是第Ⅰ型的.     

大围长图的广义无圈染色

图的顶点染色称为是r-无圈的,如果它是正常染色,使得每一个圈C上顶点的颜色数至少为min{|C|,r}.图G的r-无圈染色数是图G的r-无圈染色中所用的最少的颜色数.我们证明了对于任意的r≥4,最大度为△、围长至少为2(r-1)△的图G的r-无圈染色数至多为6(r-1)△.     

关于图的L(3,2,1)-标号问题

图G的L( 2 ,1 )标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x) .使得若d(x ,y) =1 .则｜f(x) -f(y) ｜≥ 2 ;若d(x ,y) =2 ,则｜f(x) -f(y)｜≥ 1 .图G的L( 2 ,1 )标号数λ(G)是使得G有max{f(v) ∶v∈V(G) }=k的L( 2 ,1 )标号中的最小数k .本文将L( 2 ,1 ) 标号问题推广到更一般的情形即L( 3,2 ,1 ) 标号问题 .我们首先定义了图G的顶点 3 着色及图的 3 色数 χ3 (G)等有关概念 ,并推导出 3 色数 χ3 (G)的上界 ;然后根据 χ3 (G)与λ3 (G)的关系 ,得出了对一般图G ,有λ3 (G) ≤ 3maxH Gδ(H) (Δ2 -Δ 1 )这一一般关系式 ;最后证明了对一般平面图G ,有λ3 (G)≤ 1 5(Δ2 -Δ 1 ) ,并得出了其它几类平面图的λ3 (G)的上界 .     

具有较小直径的三类图的对极色数

对一个连通图G,令d(u,v)表示G中两个顶点间u和v之间的距离,d表示G的直径.G的一个对极染色指的是从G的顶点集到正整数集(颜色集)的一个映射c,使得对G的任意两个不同的顶点u和v满足d(u,v)+|c(u)-c(v)|≥d.由c映射到G的顶点的最大颜色称为c的值,记作ac(c),而对G的所有对极染色c,ac(c)的最小值称为G的对极色数,记作ac(G).本文确定了轮图、齿轮图以及双星图三类图的对极色数,这些图都具有较小的直径d.     

关于图的点可区别边染色猜想的一点注

图G的一个k-正常边染色f被称为点可区别的是指任意两点的点及其关联边所染色集合不同,所用最少颜色数被称为G的点可区别边色数,张忠辅教授提出一个猜想即对每一个正整数k≥3,总存在一个最大度为△(G)=k≥3的图G,图G一定有一个子图H,使得G的点可区别的边色数不超过子图的.本文证明了对于最大度△≤6时,猜想正确.     

最大度不小于5的外平面图的邻强边染色

图G(V,E)的一k-正常边染色叫做k-邻强边染色当且仅当对任意uv∈E(G)有,f[u]≠f[v],其中f[u]={f(uw)|uw∈E(G)},f(uw)表示边uw的染色.并且x'as(G)=min{k|存在k-图G的邻强边染色}叫做图G的图的邻强边色数.本文证明了对最大度不小于5的外平面图有△≤x'as(G)≤△ 1,且x'as(G)=△ 1当且仅当存在相邻的最大度点.     

△-匹配与边面全色数

设Ｇ为　（Ｇ）≥５的外平面图且　　（Ｇ）为Ｇ的边面全色数。本文证明了：且当且仅当Ｇ含有一个由内边组成且覆盖Ｇ的每一个最大度点的匹配。     

若干图的强染色

图 G(V,E)的一正常 k-染色 σ称为 G(V,E)的 - k-强染色当且仅当对任何两个不同顶点 u和 v,只要d(u,v)≤ 2 ,则 u、v染不同颜色 (这里 d(u,v)表示 u,v之间的距离 ) ,并称 xs(G) =min{ k|存在 G的 - k-强染色 }为 G的强色数 ,本文得到 θ-图 ,Cm,n图 ,Halin图的强色数 xs(G)     

关于图的均匀全色数分类

对一个正常的全染色满足各种颜色所染元素数(点或边)相差不超过1时,称为均匀全染色,其所用最少染色数称为均匀全色数.将图按均匀全色数分类,证明了简单图在若干情况下的均匀全色数定理,得到了一些联图的均匀全色数.     

关于扇和完全等二部图联图的均匀全色数

对于一个正常的全染色满足各种颜色所染元素(点和边)数量的和相差不超过1时,称为均匀全染色,其所用最少的染色数称为均匀全色数.本文得到了m+1阶扇Fm和完全等二部图Kn,n的联图Fm∨Kn,n的均匀全色数.     

Halin-图的邻强边染色

图G(V,E)的正常κ-边染色f叫做图G(V,E)的κ-邻强边染色当且仅当任意uv∈E(G)满足f[u]≠f[v],其中,f[u]={f(uw)|uw∈E(G)},称f是G的κ-临强边染色,简记为κ-ASEC.并且x′_as(G)=min{k|κ-ASEC of G}叫做G(V,E)的邻强边色数.本文研究了△(G)≥5的Halin-图的邻强边色数.     

图的邻点可区别全染色的渐近性质

图G的一个正常全染色被称为邻点可区别全染色,如果G中任意两个相邻点的色集合不同,其所用的最少颜色数称为邻点可区别全色数.张忠辅老师猜想:对于|V(G)|≥3的连通图G,其邻点可区别全色数最多不超过△(G)+3.用概率方法证明了对简单图G,△≥14,有χ_(at)(G)≤△+C,其中C≥10~(26)+1.     

完全图的广义Mycielski图的邻强边染色

对|V(G)|≥3的连通图G,若κ-正常边染色法满足相邻点的色集合不相同,则称该染色法为κ-邻强边染色,其最小的κ称为图G的邻强边色数。张忠辅等学者猜想:对|V(G)|≥3的连通图G,G≠C_5其邻强边色数至多为△(G)+2,利用组合分析的方法给出了完全图的广义Mycielski图的邻强边色数,从而验证了图的邻强边染色猜想对于此类图成立。     

若干图的点强全着色

图G(V,E)的一正常k-全着色σ称为G(V,E)的一个k-点强全着色,当且仅当v∈V(G),N[v]中的元素着不同颜色,其中N[v]={u|vu∈E(G)}∪{v}.并且vχsT(G)=min{k|存在G的一个k-点强全着色}称为G(V,E)的点强全色数.本文得到了一些特殊图的点强全色数χvTs(G),并提出猜想:对于简单图G,有k(G)≤χvTs(G)≤k(G)+1,这里k(G)表示图G中所有顶点间距离不超过2的点集的最大顶点数.     

最大度不小于3的图的星全色数的一个上界

对圈、扇和轮作了简单的剖分,得到了其剖分图的星全色数,并运用Lovasz局部引理证明了若G(V,E)是一个最大度为△≥3的简单无向图,则Χ_(st)(G)≤22Δ~2.     

外平面图的弱完备染色

假设G=（V,E,F）是一个平面图。如果e₁和e₂是G中两条相邻边且在关联的面的边界上连续出现,那么称e₁和e₂面相邻。图G的一个弱完备k-染色是指存在一个从V ∪ E ∪ F到k色集合{1, …, K}的映射,使得任意两个相邻点,两个相邻面,两条面相邻的边,以及V ∪ E ∪ F中任意两个相关联的元素都染不同的颜色。若图G有一个弱完备k-染色,则称G是弱完备k-可染的。平面图G的弱完备色数是指G是弱完备k-可染的正整数k的最小值,记成χ_vef（G）。2016年,Fabrici等人猜想：每个无环且无割边的连通平面图是弱完备7-可染的。证明外平面图满足猜想,即外平面图是弱完备7-可染的。     

星和轮的Mycielski图的[r,s,t]色数

给定非负整数r,s和t,若图G(V,E)有一个映射σ:V∪E→{0,1,…,k-1},k∈N,满足对V中相邻的点v_i,v_j有|σ(v_i)-σ(v_j)|≥r;对E中相邻的边e_i,e_j有|σ(e_i)-σ(e_j)|≥s;对V∪E中相关联的点v_i和边e_j有|σ(v_i)-σ(e_j)|≥t,则称σ为G的一个[r,s,t]-着色.使得图G存在使用了k种颜色的[r,s,t]-着色的最小整数k称为G的[r,s,t]-色数.研究星和轮的Mycielski图的[r,s,t]-着色,并给出其在一定条件下的[r,s,t]-色数.     

几类特殊Corona图的b-染色数与b-连续性研究

在一个图G的正常k染色中,如果每一个颜色类中都至少存在一个顶点,使得其在其它的k-1个颜色类中都至少有一个邻居,则称这样的正常k染色为b-染色.一个图G的b-染色数是最大的正整数k,使得用k种颜色能够对G进行b-染色,用b(G)来表示.如果对于任意的正整数k:χ(G)≤k≤b(G),用k种颜色可以对图G进行b-染色,则称图G是b-连续的.设G1与G2为任意图,称图G=G_1·G_2为图G_1与G_2的Corona图,其中G包含G_1的一个拷贝,包含G_2的|V(G_1)|个拷贝,且G_1的第i个顶点与G_2的第i个拷贝的所有顶点都邻接.研究了路图与路图、星形图以及轮图所构成的Corona图P_n·P_m、P_n·K_(1,m)以及P_n·W_(m+1)的m-度,b-染色数与b-连续性.