分次可除模

对于Ｇ—分次环Ｒ，我们证明如下结论：（１）若Ｒ是分次正则环，则Ｒ上的任一分次左Ｒ—模都是分次可除模；（２）若Ｒ分次非退化且Ｍ是分次可除左Ｒ—模，则Ｍｅ是可除左Ｒｅ—模；（３）若Ｇ是有序群，Ｍ是可除左Ｒ—模，则Ｍ～和Ｍ～是分次可除左Ｒ—模，其中Ｍ为分次左Ｒ—模Ｎ的子模     

广义FP—内射模、广义平坦模与某些环

左（右）R－模A称为GFP－内射模，如果ExtR(M,A)=0对任－2－表现R－模M成立；左（右）R－模称为G－平坦的，如果Tor1^R(M,A)=0(Tor1^R(AM)=0)对于任一2－表现右（左）R－模M成立；环R称左（右）R－半遗传环，如果投射左（右）R－模的有限表现子模是投射的，环R称为左（右）G－正而环，如果自由左（右）R－模的有限表现子模为其直和项，研究了GFP－内射模和G－平坦模的一些性质，给出了它们的一些等价刻划，并利用它们刻划了凝聚环，G－半遗传环和G－正则环。     

Morita对偶和Smash积

设G是有限群,e为G的单位元,R=是有单位元的G-型分次环,T=R_e,R_U是极小内射余生成子.本文中,我们证明了R有左Morita对偶当且仅当Smash积R#G有左Morita对偶.设H是G的(正规)子群,若R有左Morita对偶,则R~((H))#H(R_((G/H))#(G/H))有左Morita对偶。当R是强分次环时,T有左Morita对偶当且仅当R有左Morita对偶当且仅当R#G有左Morita对偶.     

2型X—extending模与Osofsky—smith定理

设R是有单位元的环，X是所有半单左R一模及Singular左R－模构成的模类，M是循环的extending左R一模，本文证明了若M的所有循环子商都是2型X－extending模，则M具有有限一致维数，该结果推广了著名的Osofsky-Smith定理。     

关于严素模与严半素模

本文始终假定R是有单位元的结合环,M是左R—模,M~*=Hom_R(M,R)。设N是M的子模,如果对于任意x,y∈M,若(xM~*)yAN,就一定有x∈N或y∈N,则称N为M的严素子模。如果N=(0)是M的严素子模,则称M是严素模。易知,     

自由模的投射素子模

设R是整环,u是R的素元,F是有限生成自由R-模,M是F的投射子模.本文证明了:若F/M是投射R/(u)-模,或者M是(u)-准素子模,并且F/M是循环模,则当R/(u)既是GE环,又是PF环时,M是自由模.     

G-集分次模的分次自同态环

设G是任意群,本文给出了G-集G／H-分次模的分次自同态环的刻画．特别地,对我们证得N（H）／H-分次自同态环END（G／H,R）－gr（M）等于分次环ENDR（M）N（H）／H.     

分次Abel正则环的结构

首先给出了 gr-正则环为分次除环的两个充要条件 ,其次讨论了分次正则环r G(R)和分次 Jacobson根 JG(R)之间的关系 ,最后给出了分次 Abel正则环的结构定理 .     

关于环上的块循环矩阵环

定义了环R上的块循环矩阵环A，主要证明了下列结论：(1)若J是A的理想，d1，d2，…，dn是R的可逆元，则存在R的理想I使得J=I[σ1，σ2，…，σn]．(2)若d1，d2，…，dn是R的可逆元，则(i)R是单环当且仅当A是单环；(ii)R是局部环当且仅当A是局部环；(iii)J(A)=J(R)[σ1，σ2，…，σn]；(iv)R是半本原环当且仅当A是半本原环．(3)若d1，d2，…，dn都是R的幂零元，则J(A)=J(R) ( (i1,i2,…,im)∈r＼(0,0，…．0n)}RO2 2^1 O2 2^3…O2 2^3.(4)R是左Artin(Noether)环当且仅当A是左Artin(Noether)环．(5)若R有左Morita对偶(自对偶)，则A有左Morita对偶(自对偶)．     

Zip模的扩张（英文）

本文主要证明了:(1)如果右R-模MR是(α,δ)-compatible且(α,δ)-Armendariz,则右R[x;α,δ]-模M[x]是zip模当且仅当右R-模MR是zip模;(2)如果(S,)是可消无挠严格序幺半群且M_R是S-Armendariz模,则右[[R~S,]]-模[[M~S,]]_([[R~S,]]是zip模当且仅当右R-模M_R是zip模;(3)如果M_R是reduced且σ-compatible模,G为序群,则Malcev-Neumann环R*((G))上模M*((G))_(R*((G)))是zip模当且仅当右R-模M_R是zip模;因此一些文献中关于zip环与zip模的部分结论可以看作是本论文相关结论的推论.     

分次环的分次Excellent扩张

本文引进了分次环的分次Excellent扩张概念,设S=⊕_(g∈G)S_g是R=⊕_(g∈G)R_g的分次Excellent扩张,证明了S是分次右V-环当且仅当R是分次右V-环,S是分次PS-环当且仅当R是分次PS-环,S是分次Von Neumann正则环当且仅当R是分次Von Neumann正则环。     

关于左A—内射环

本文主要证明了：（1）适合右零化子升链条件的左A－内射环为QF环。（2）适合左零化子升链条件的左f-内射环为QF环。（3）若对环R的任意左理想A，B和右理想I满足r(A∩B）=r(A) r(B),rι(I)=I，则R为半完全环且有本质左基座，特别地，右CF的左A－内射环（或E(RR)为投射左R－模）为QF环。     

由子模格决定的准素模

本文主要给出以下定理C。设Ri(i=1,2)是MLPI环（即Ri是有位单元的结合环，且每个极大左理想必是主理想），元素Pi∈Ri使得RiPi是Ri的极大左理想，Mi是Pi－准素的Ri－模。则我们有以下定理C 设M1的终Goldie维数（＝min{P^n1M1的Goldie维数|n=0,1,2,…|}）≤3，如果有子模格同构f:L(M1)^~-L(M2)。则有逆向全射系{R1/R1P1^n(n∈N)；θ}与{R2／R2P2^n2(n∈N)；θ′n}之间的同构{ψn:R1/R1P^n1→R2/P2^2(n∈N),其中θn和θ′n(n∈N)是自然满同态，ψn(n∈N)是环同构。若令R^*1,R^*2分别是以上两逆向全射系的逆向极限环。则有环同构ψ：R^*1^~-R^*2和M1到M2的ψ－线性同的φ，φ诱导出f:fR1x=R2φ（x），任意x∈M1。易见：（1）当P1＝0＝P2，且M1是有限维向量空间时，由定理C即得射影几何的基本定理；（2）当R1＝Z＝R2，且P1和P2为素数时，由定理C即得Pi＝P2，从百得Baer关于交换p－群的相应结果。     

投射可迁环上矩阵环的若当同态

设R′是一个环,Mn′（R′）是R′上的n′×n′矩阵环.如果环R有不变基数性质并且每个有限生成的投射左R-模是自由模,则R是一个投射自由环.如果环R≌Mr（S）,其中S是一个投射自由环,则R是一个投射可迁环.当R是一个投射可迁环时,给出了从Mn′（R′）到Mn（R）（n′≥n≥2）的若当同态的代数公式.     

强分次环与非分次模范畴

设R是强群G-分次环,日是G的指数有限的子群.本文讨论强分次环R上一般非分次模的一些性质.首先证明一个与非分次R-模和R(H)-子模有关的Maschke-type定理,然后证明从模范畴R(H)-mod到R-mod的函子HomR(H)(R,-)与R(?)R(H)-是一对自然同构的函子以及等价条件.     

Gorenstein平坦模与Frobenius扩张

设R■A是环的Frobenius扩张,其中A是右凝聚环,M是任意左A-模.首先证明了_AM是Gorenstein平坦模当且仅当M作为左R-模也是Gorenstein平坦模.其次,证明了Nakayama和Tsuzuku关于平坦维数沿着Frobenius扩张的传递性定理的"Gorenstein版本":若_AM具有有限Gorenstein平坦维数,则Gfd_A(M)=Gfd_R(M).此外,证明了若R■S是可分Frobenius扩张,则任意A-模(不一定具有有限Gorenstein平坦维数),其Gorenstein平坦维数沿着该环扩张是不变的.     

群分次环与群分次模的基座

将关于交叉积的基座的主要结果推广到了群分次环上，得到了群分次环的基座的一些具体刻划，特别地，证明了对有限群G和强G－分次环R，有Soc(RR) Soc(ReRe)R soc^ ｜G｜（RR）。     

分次Armendariz环与P.P.环

引进分次Armendariz环的概念,讨论了分次环R= n∈2Rn及由它导出的非分次环R,R0,及R[x]之间关于Armendariz环性质的关系,并推广了[8]的结论,得到在R= n∈ZRn是Z-型正分次环的前提下,若R是分次Armendariz,分次正规环,则R是P．P环（Bear环）当且仅当R是分次P．P．环（分环Baer环）。     

强Prüfer环的同调刻画

设R是环,R的小finitistic维数定义为fPD(R)=sup{pd_RM|M∈FPR}.本文证明了:若R是连通的强Prüfer环,则fPD(R)≤1.也证明了若R是强Prufer环,M∈FPR,且M是Q-挠模,则pd_RM≤1.     

S-内射模及S-内射包络

设R是环.设S是一个左R-模簇,E是左R-模.若对任何N∈S,有Ext_R~1(N,E)=0,则E称为S-内射模.本文证明了若S是Baer模簇,则关于S-内射模的Baer准则成立;若S是完备模簇,则每个模有S-内射包络;若对任何单模N,Ext_R~1(N,E)=0,则E称为极大性内射模;若R是交换环,且对任何挠模N,Ext_R~1(N,E)=0,则E称为正则性内射模.作为应用,证明了每个模有极大性内射包络.也证明了交换环R是SM环当且仅当T/R的正则性内射包e(T/R)是∑-正则性内射模,其中T=T(R)表示R的完全分式环,当且仅当每一GV-无挠的正则性内射模是∑-正则性内射模.