图类αK_(α,α)UβCP(b)中的一类特殊整谱图

图G是一个简单,图G的补图记为G,如果G的谱完全由整数组成,就称G是整谱图,鸡尾酒会图CP (n)=K_(2n)-nK_2(K_(2n)是完全图)和完全二部图K_(a,a)都是整谱图.u_1表示图类αK_(α,α)UβCP(b)的一个主特征值,本文确图了当u_1=2b 1时,图类αK_(α,α)UβCP(b)中的所有的整谱图.     

图类αK_a∪βCP(b)中的一类特殊整谱图

图G是一个简单图,图G的补图记为G,如果G的谱完全由整数组成,就称G是整谱图.鸡尾酒会图CP(n)=K_(2n)-nK2(K_(2n是完全图)和完全图K_a都是整谱图.μ_1表示图类αK_a∪βCP(b)的一个主特征值,确定了当μ_1=2a并且a-1>2b-2时,图类αK_a∪βCP(b)中的所有的整谱图.     

图类￣(αKa∪βCP(b))中的整谱图

设图G是一个简单图,图G的补图记为(G),如果G的谱都是整数,就称G是整谱图.鸡尾酒会图CP(n)=K2n-nK2(K2n是2n阶完全图)和完全图Ka都是整谱图[1].本文确定了图类￣αKa∪βCP(b)中的所有整谱图.     

图类■中的整谱图

设图G是一个简单图,图G的补图记为-G,如果G的谱都是整数,就称G是整谱图.鸡尾酒会图CP(n)=K2n-nK2(K2n是2n阶完全图)和完全图Ka都是整谱图[1].本文确定了图类■中的所有整谱图.     

图类aKa,a\βCP(b)中的整谱图

设图G是一个简单图,图G的补图记为G,如果G的谱都是整数.就称G是整谱图.鸡尾酒会图CP(n)=K2n-nK2(K2n是2n阶完全图)和完全二部图K…都是整谱图.确定了图类 aKa,a∪βCP中的所有的整谱图.     

图类^-αKα∪βCP（b）中的整谱图

设图G是一个简单图,图G的补图记为^-G,如果G的谱都是整数,就称G是整谱图．鸡尾酒会图CP（n）=K2n-nK2（K2n是2n阶完全图）和完全图Kα都是整谱图．本文确定了图类^-αKα∪βCP（b）中的所有整谱图．     

[αCP（a）∪βCP（b）]^-中的一类特殊整谱图

图G是一个简单，图G的补图记为G^-，如果G的谱完全由整数组成，就称G是整谱图，鸡尾酒会图G=CP（n）=K2n-nK2（K2n是完全图）.本文确定了当μ1^-=ab＋1时，图类[αCP（a）∪βCP（b）]^-中的所有整谱图.     

图类^－αKα,αUβCP（b）中的一类特殊整谱图

图G是一个简单，图G的补图记为^－G，如果G的谱完全由整数组成，就称G是整谱图，鸡尾酒会图CP（n）=K2n-nK2（K2n是完全图）和完全二部图Kα,α都是整谱图^[1]。^—μ1表示图类^－αKα,αUβCP（b）的一个主特征值，本文确图了当^-μ1=2b＋1时，图类中^－αKα,αUβCP（b）的所有的整谱图。     

偶图Kn,r-A(|A|≤3)的圈长分布唯一性

阶为n的图G的圈长分布是序列(c_1,c_2,…,c_n),其中c_i是图G中长为i的圈数。设A(?)E(K_(n,r))。本文得到如下结果：若|A|=2,且n≤r≤min{n 6,2n-5),则G=K_(n,r)-A是由它的圈长分布确定的；若|A|=3,且n≤r≤min{n 6,2n-7),则G=K_(n,r)-A也是由它的圈长分布确定的。     

“关于Γ-图的判定”中的猜测问题

本刊1988年第4期的“关于Г-图的判定”一文中有一个猜测: 猜测 G是Г-图当且仅当G中不含如下的子图为导出子图: (1) C_(2n 1),n≥2;(2)K_3·3K_2(i),0≤i≤3;(3)5K_3. 这个猜测的结论是不成立的.举例说明如下: 设G为图1或图2所示的图.它的所有导出子图中,没有C_(2n 1)(n≥2)或K_3·3K_2(i)和     

完全二部图K_(1,n),K_(2,n)和K_(3,n)的点强可区别全染色

设f是图G的一个正常全染色.对任意x∈V(G),令C(x)表示与点x相关联或相邻的元素的颜色以及点x的颜色所构成的集合.若对任意u,v∈V(G),u≠v,有C(u)≠C(v),则称.f是图G的一个点强可区别全染色,对一个图G进行点强可区别全染色所需的最少的颜色的数目称为G的点强可区别全色数,记为X_(vst)(G).讨论了完全二部图K_(1,n),K_(2,n)和L_(3,n)的点强可区别全色数,利用组合分析法,得到了当n≥3时,X_(vst)(K_(1,n)=n+1,当n≥4时,X_(vst)(K_(2,n)=n+2,当n≥5时,X_(vst)(K_(3,n))=n+2.     

若干并图的优美标号

证明了,对任意大于1的自然数m,n,p,非连通图(■ V ■)∪K_(n,p)是优美图;当k≤p,m=kn+3或m=kn+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(n,p)是优美图;当p≥2,m=3k+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(3,p)是优美图;对任意正整数n,p,非连通图(P_1 V P_(2n+2))∪_(n,p)是优美图.     

偶图$K_{n,n+7}-A(|A|\leq3)$的圈长分布唯一性

阶为$n$的图$G$的圈长分布是序列($c_1,c_2,\ldots,c_n$), 其中$c_i$是图$G$中长为$i$的圈数.本文得到如下结果: 设$A\subseteq E(K_{n,n+7})$,在以下情况, 图 $G$ 由其圈长分布唯一确定.(1) $G=K_{n,n+7}$(n\geq10)$;(2) $G=K_{n,n+7}-A$ $(|A|=1,n\geq12)$;(3)$G=K_{n,n+7}-A$(|A|=2,n\geq14)$;(4)$G=K_{n,n+7}-A$ $(|A|=3     

完全多部图K_(1*r,3*(k-2))的m数

如果对一个图G的每个顶点v,任给一个k-列表L(v),使得G要么没有正常列表染色,要么至少有两种正常列表染色,则称图G具有M(k)性质.定义图G的m数为使得图G具有M(k)性质的最小整数k,记为m(G).已有研究表明,当k=3,4时,图K_(1*r,3*(k-2))具有M(k)性质,且当r≥2时,m(K_(1*r,3*(k-2)))=k.本文将上述结论推广到每一个k,证明了对任意r∈N~+,k≥3,图K_(1*r,3*(k-2))具有M(k)性质,且当k≥4,r≥(k-2)时,m(K_(1*r,3*(k-2)))=k.此外,得到图K_(1,3,3,3)的m数为4,该图是图K_(1*r,3*(k-2))中r=1,k=5时的特殊情况,同时也是现有研究中尚未解决的一个问题.     

K_(1,4)-受限图的最长路

图G中同构于K_(1,p)的子图叫G的p-爪(p≥3).如果G中任意一个p-爪中1度顶点之间边(在G中的边)的数目≥p-2,则称G为K(1,p-)-受限图,它是无爪图(p=3)时的推广.本文证明了:连通的K_(1,4-)受限图G,若|G|≥7,则G有Hamilton路或有长至少为2δ+2的路.     

直径为5,6的整树的一些新类

设 G 是图,P(G,x)是图 G 的特征多项式.1974年,F.Harary 和 A.J.Schwenk首先引入了整图的概念,即图 G 的特征方程 P(G,x)=0的所有解都是整数.1987年,我们解决了直径3的树 T(m,r)是否为整树的问题,这里 T(m,r)是由一条新边联结两个星图 K_(1,m)和 K_(1,r)的中心得到的图.这个问题是文献[2]中第23个问题的一部分.对于直径为4的情形,文献[2]给出了当且仅当 m 和 m+r 都是平方数时,S(r,m)     

基于拉普拉斯谱确定的两类树

设图G是简单连通图.如果任何一个与图G关于拉普拉斯矩阵同谱的图,都与图G同构,称图G可由其拉普拉斯谱确定.定义了树Y_n和树F(2,n,1)两类特殊结构的树.利用同谱图线图的特点,证明了树Y_n和树F(2,n,1)可由其拉普拉斯谱确定.     

关于q-树二次整子图和n阶加点q-树色多项式的注记

在这篇文章中我们成功地仅用色多项式表征了最小度不等于q-3的q-树的二次整子图和n阶加点q-树,即当图的最小度δ(G)≠q-3时,n阶图G具有色多项式P(G;λ)=λ(λ-1)…(λ-q+2)(λ-q+1)~3(λ-q)~(n-q-2), n≥q+2,当且仅当G是n阶q-树的二次整子图或n阶加点q-树.     

含偶圈图的Laplacian 谱刻画

设 H(K_{1,5},P_n,C_l)是由路 P_n的两个悬挂点分别粘上星图K_{1,5}的悬挂点和圈 C_l的点所得的单圈图. 若两个二部图是关于Laplacian 矩阵同谱的, 则它们的线图是邻接同谱的, 两个邻接同谱图含有相同数目的同长闭回路. 如果任何一个与图G关于Laplacian 同谱图都与图G 同构, 那么称图G可由其Laplacian 谱确定. 利用图与线图之间的关系证明了H(K_{1,5},P_n,C_4)、H(K_{1,5},P_n,C_6) 由它们的Laplacian谱确定.     

度条件下的二部图的定向图

二部图是具有二分类(X,Y)的简单偶图,其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连,若|X|=m,|Y|=n,则这样的图记为K_(m,n).该文研究了K_(n,n)的定向图.对于非负整数a和b,若存在满足每个顶点的入度或者是a或者是b的一个K_(n,n)的定向图,则存在非负整数s和t满足方程s+t=2n和as+bt=n~2.论文证明了如下结论:设s和t是任意两个非负整数,对于满足方程s+t=2n和as+bt=n~2的非负整数a和b,存在K_(n,n)的定向图使得每个顶点的入度或者是a或者是b,从而得到了上述必要条件为K_(n,n)是[a,b]_n可实现的充分条件.