数学期望在投资决策中的应用

随机变量的数学期望是随机变量的重要特征数之一 .由概率知识可知 ,随机变量的数学期望表示了随机变量在随机试验中取值的平均值 ,所以又常被称为随机变量的平均数、均值 .关于离散型随机变量有如下事实 :若随机变量ξ的概率分布列为ξ x1x2 … xn …p p1p2 …pn …则称Eξ =x1p1+x2 p2 +… +xnpn+…为 ξ的数学期望或平均数、均值 .同时若 η =aξ +b ,其中a ,b为常数 ,则 η也是随机变量 ,且Eη =aEξ+b .下面举例说明数学期望在投资决策中的应用 .1　商品流通问题例 1　春节期间 ,某鲜花店某种鲜花的进货价为每束 2 .5元 ,销售价为每束…     

构造随机分布列巧证一类分式不等式

设ξ是一取有限个值x1,x2,x3,…,xn的离散型随机变量,其概率分布列为P(ξ=xi)=pi(i=1,2,...,n).则 E(ξ2)-E2(ξ)=D(ξ)=∑ni=1[xi-E(ξ)]2·pi≥0,故E(ξ2)≥E2(ξ),当且仅当x1=x2=...=xn=E(ξ)时,不等式中等号成立.     

索伯列夫空间的有限元迫近

记I_1=(-∞,ξ_1),I_2=(ξ_1,ξ_2),…,I_n=(ξ_(n-1),ξ_n),I_(n 1)=(ξ_n, ∞)。定义H~(m 1)(R,ξ_1,…,ξ_n)={u|u∈H~m(R),在I_i上u∈H~(m 1)(I_i),i=1,…,n 1}。 设μ(x)∈H~m(R),λ(x)∈L~∞(R)。并且满足:1.他们的支集都是R中的有界集合;2·∫_Rμ(x)dx=∫_Kλ(x)dx=1;3.μ(x)满足m-1收敛准则条件,即存在常数b_0=1,b_1,…,     

构造分布列 妙解数学题

<正>本刊2016年3月(上)曾刊文"利用数学期望的性质解题",利用数学期望的性质:Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)²解决了一类求最值和求三角函数值问题。事实上,在证明一些等式或不等式问题时,若能根据题目的结构特征,巧妙地构造离散型随机变量ξ的分布列,则亦可另辟蹊径.一、证明等式     

利用函数的幂级数展开式证明一个猜想

函数f(x)=1(1-x)m在x0=0处的泰勒级数的柯西型余项在n→∞时趋于0,所以∑∞n=0cmn n-1xn=1(1-x)m.从而在独立重复试验中,某事件发生的概率是P,则第m次事件发生所需的试验次数ξ的数学期望为mp.     

构造分布列 巧解竞赛题

<正>Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差,由关系式Dξ=Eξ²-(Eξ)2-(Eξ)²及Dξ≥0,知Eξ2及Dξ≥0,知Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)².构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ2.构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)²(当且仅当x_1=x_2=…=x_n=Eξ时取等号),可以别具一格地求解一类形式优美、内涵丰富的分式竞赛题.     

学习理论中基于负相关序列的样本误差估计

给定数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),考虑一般的损失函数ψ(y-f(x))下,当ψ(z)连续及ξ1=ψ(y1-f(x1)),ξ2=ψ(y2-f(x2)),…,ξm=ψ(ym-f(xm))是一个负相关序列时,本文研究了样本误差估计问题.     

一个概率猜想的证明

文[1]对几何分布做了如下探索:题目在独立重复试验中,某事件发生的概率是p1)求第2次事件发生所需要的试验次数ξ的分布列、数学期望;2)求第3次事件发生所需要的试验次数ξ的分布列、数学期望;3)求第m次事件发生所需要的试验次数ξ的分布列、数学期望.上述问题中,求随机变量ξ的     

一道分式不等式的概率证明及推广

设 xi ∈ ( 0 ,1 ) ,i =1 ,… ,n,且∑ni=1xi =a,∑ni=1x2i =b,求证∑ni=1x3i1 - xi≥ a2 ab - nbn - a ,( 1 )文 [1 ]～ [3]给出了 ( 1 )式不同的初等证明 ,文 [4 ]利用柯西不等式将 ( 1 )式加强为　　　 ∑ni=1x3i1 - xi ≥ b2a - b ( 2 )本文利用概率方法对 ( 2 )式作指数推广 .为此 ,作为引理 ,给出概率的 Jensen不等式 .引理　设随机变量ξ取值于区间 ( a,b) ,-∞≤ a≤ b≤ ∞ ,g是 ( a,b)上连续的凸函数 ,则当 Eξ,Ε[g(ξ) ]存在时 ,有g( Eξ)≤ E[g(ξ) ].证明　任取 x0 ∈ ( a,b) ,设曲线 y =g( x)在点 x0 的切线斜率为 k( x…     

具有共振的边值问题解的存在性

利用Mawhin的重合度理论,研究具有共振的n-阶m-点边值问题x~((n))(t)=f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t)),t∈(0,1)x(0)=x(η),x′(0)=x″(0)=…=x~((n-2))(0)=0,x~((n-1))(1)=α_ix~((n-1))(ξ_i)解的存在性,其中n≥2,m≥3,f:[0,1]×R~n→R将有界集映为有界集,且当x(t)∈C~(n-1)[0,1]时,f(t,x(t),x′(t),…,x~((n-1))(t))∈L~1[0,1],0<ξ_1<ξ_2<…<ξ_(m-2)<1,0<η<1,α_i∈R.在这里并不要求f具有连续性.     

应用微分中值定理证题时的确定区间法

应用 Rolle中值定理、L agrange中值定理、Cauchy中值定理证题时的一般步骤是 :(1 )设出辅助函数 ;(2 )确定区间 ;(3 )验证定理条件 ;(4)应用定理结论 .介绍构造辅助函数的文章较多 ,确定区间的文章少见 ,本文重点介绍确定区间 .一、Rolle中值定理例 1　设 f (x)在 [0 ,1 ]上可导 ,且满足关系式 f (1 ) -2∫120xf (x) dx =0 .证明 :在 (0 ,1 )内至少存在一点 ξ,使得 f′ (ξ) =-f (ξ)ξ .分析　从结论 f′(ξ) =-f (ξ)ξ f (ξ) ξf′(ξ) =0 ,易猜出辅助函数为 F(x) =xf (x) ,即是被积函数 .余下的问题是在什么区间上应用 Rolle中…     

变形的非线性Schrdinger方程的反散射解法的Zakhallov-Shabat方程

c_(a)(0)和r(ξ,0)为常量.对(2)中的ξ取ξ_m,ξ-i∈,-in+∈,其中ξ_m为第一象限的常数,ξ,η为正实数,∈为无限小正量,就得到决定ψ_1,ψ_2的完备方程组. MNLS方程(1)的解可以表为(7)式中(8)(9)这里R_1为(3)中的R的上分量,R_2为R的下分量,R_1(0,x)=R_1(ξ,x)|t=0,R_2(0,x)=[dR_2(ξ,x)/dξ]ξ=0。当r(ξ’)=r(iη’)=0时,即无反射的情况,方程(2)已由我们最近用亚纯变换矩阵方法首次导出,它的多孤子解的显式也得出了.     

一类二阶m-点边值问题变号解的存在性

利用锥理论和不动点指数理论,研究了一类二阶m-点边值问题{u'(x)+f(u(x))=0,0≤x≤1,u(0)=0,u(1)-0,u(1)=m-2∑i-1 a_iu(ξ_i)其中ξ_i∈(0,1),0ξ_1ξ_2…ξ_(m-2)1,a_i∈[0,∞),0∑_(i=1)~(m-2)a_i1,f∈C(R,R)变号解的存在性.     

E-紧框架小波来自MRA的特征刻画

设E=■或■,■(x)∈L~2(R~2)且■_(jk)(x)=2■(E~jx-k),其中j∈Z,k∈Z~2.若{■_(jk)|jJ∈Z,k∈Z~2}构成L~2(R~2)的紧框架,则称■(x)为E-紧框架小波.本文给出E-紧框架小波是MRA E-紧框架小波的一个充要条件,即E紧框架小波■来自多尺度分析当且仅当线性空间F_■(ξ)的维数为0或1,其中F_■(ξ)=■(ξ)|j■1},■_j(ξ)={■((E~T)~j(ξ+2kπ))}_(k∈EZ~2,j■1。     

关于积分中值定理的中间值

我们知道有下面的 Riemann积分中值定理(见 [1 ,P.1 0 6]) :如 f(x)在 [a,b]上连续 ,那么存在ξ∈ [a,b],使∫baf (x) dx =f(ξ) (b - a) (1 )1 982年 ,Jacobson[2 ]研究了中间点ξ的渐近性质 .他证明了定理 A　如 f(t)在 [a,x]上连续 ,在 a点可微且 f′(a)≠ 0 ,ξx 由 (1 )式所确定 ,那么limx→ aξx - ax - a=12 .1 997年 ,Zhang[3]推广了定理 A,他得到定理 B　设 f (t)在 [a,x]上连续 ,且在 a点 k次可微 ,满足 f( i) (a) =0 ,(i =1 ,2 ,...,k - 1 ) ,f( k) (a)≠ 0 .如ξx由 (1 )式所确定 ,那么 limx→ aξx - ax - a= 1k k 1 .本文…     

对“关于一类 Siegel E-函数的丢番图不等式”一文的注记

<正> 我们在文章(1]中建立了含有一类 Siegel E-函数的丢番图不等式,给出了表达式x′_1x′_2…x′_k‖x_1f_1(α)+…+x_kf_k(α)‖与y‖yf_1(α)‖…‖yf_k(α)‖的下界估计.这里,对实数ξ,‖ξ‖=(?)|ξ-n|,ξ′=max(1,|ξ|),f_i(z)是[1]中定义的一类 Siegel E-函数,x_1,…,x_k 和 y 是有理整数,y>0,α为满足一定条件的有理数.在下界估计中,依赖于α,f_i(z)以及 f_i(z)所满足微分方程组的有关常数没有     

巧构分布列求最小值

Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(ξ-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号.构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式可以巧求下面一类题型的最小值     

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

一类混合模型的似然比检验

考虑一类混合模型g(x)=(1-ξ1-ξ2)f(x,θ'0) ξ1f(x,θ'1) ξ2f(x,θ'2),其中ξ1，ξ2属于区域Ω：0≤ξ1，ξ2，ξ1 ξ2≤1，f为一给定的概率密度函数，θ'i(i=0，1，2)为m维常数向量，本文讨论了该模型的似然比统计量的极限分布．     

极差的概率分布和它在质量控制中的应用

<正> 设随机变量 ξ 的分布函数和分布密度为 F(x) 和 f(x),ξ_1,ξ_2,…,ξ_n 为其子样,将子样按大小顺序排列成为