一类非线性Schr(o)dinger方程的高精度守恒数值格式

1 引言 本文讨论下面非线性Schr(o)dinger方程(NLS)方程的初边值问题: i(e)u/(e)t (e)2u/(e)x2 2|u2|u=0, (1) u(xl,t)=u(xr,t)=0, t＞0, (2) u(x,0)=u0(x), xl≤x≤xr, (3) 其中u(x,t)是复值函数,u0(x)为已知的复值函数,i2=-1.该问题有着如下的电荷与能量守恒关系: Q=∫xrxl|u(x,t)|2dx=‖u‖2=Q0, (4) E=∫xrxl(|(e)u/(e)x|2-|u|4)dx=E0, (5) 其中Q0,E0为常数,并且称公式(4),(5)分别为电荷和能量守恒.由(4),(5)式可以证明[3] ‖u‖L∞≤C, (6) 其中C为一般正常数.     

半无穷直线上的非线性薛定谔方程

本文研究非线性薛定鄂方程的初始值和边界值问题 iut=uxx-g|u|p-1u,0<x,t<∞, 这里g>0,p>3,u(x,0)=h(x).假设h(x)∈H(+),Q(t),R(t)∈C(+).对于二类不同的边界值(狄里克莱型u(0,t)=Q(t)和鲁宾型ux(0,t)+u(0,t)=R(t),这里是实数)本文证明古典解u∈C1(L2)∩L2(H2)的存在性,唯一性和全局性.     

一类奇异半线性反应扩散方程初值问题解的存在性

本文获得了如下的奇异半线性反应扩散方程初值问题{(e)u/(e)t-(1/tσ)△u=up+f(x),t＞0,x∈Rnlim t→0+ u (t,x)=0, x∈Rn广义解(mild solution)在L∞ loe[(0,∞);L∞(Rn)]中的存在性.其中σ＞0,0＜p＜1,f(x)非负且f(x)∈L∞(Rn).     

多维拟线性退化抛物方程Cauchy问题解的唯一性和稳定性

本文证明了拟线性退化抛物方程 (e)u/(e)t=n∑i=1 (e)/(e)xi(aij(u)(e)u/(e)xi)+n∑i=1 (e)bi(u)/(e)xi -c(u), u(x,0)=u0(x),aij(u)ξiξj≥0,(A)ξ∈Rn 的Cauchy问题BV解的唯一性和稳定性.     

拟线性抛物方程组第一边界问题的有限差分法 ——Ⅲ.稳定性

讨论如下拟线性抛物组第一边值问题的显式、弱隐式和强隐式差分解u_t=(-1)^M+1A(x,t,u,…,u_x^M-1)u_x^2M+f(x,t,u,…,u_x^2M-1(x,t)∈Q_T={O<x<l,0<t≤T.}，u_x^k(0，t)=u_x^k(l，t)=0 (k=0，1，…，M -1)，0<t≤T，u(x，0)=φ(x)，0≤x≤l，其中u，φ和f是m维向量值函数，A是m×m正定矩阵，u_t=∂u/∂t，u_x^k=∂^ku/∂x^k.在以下意义下证明了该问题的一般有限差分格式的稳定性：即离散向量解在W₂^(2M，M)(Q_T)中的离散范数是连续地依赖于初始数据的H^M离散范数，以及矩阵A与自由项f的相应的离散范数.     

一类新的增广Lagrange式

1979年,Pillo和Grippo在他们的论文[1]中,研究了等式约束问题min{f(x)|g(x)=0},提出了如下的增广Lagrange式 S_0(x,λ;c)=f(x)+〈λ,g(x)〉+c‖g(x)‖~2+‖M(x)(f(x)+ +g(x)~Tλ)‖~2并得到了局部、全局最优性结果。     

一类三维微分系统正值解的结构(英文)

研究三维微分系统:u′1=a1(t)|u2|λ1sgn u2,u′2=a2(t)|u3|λ2sgn u3,u′3=-a3(t)|u1|λ3sgn u1.假设λi(i=1,2,3)是正的常数,ai(t)(i=1,2,3)在区间[0,∞)上是正的连续函数,根据u的分量ui的特殊渐近条件定义了正值解的几种类型。系统满足条件∫0∞ai(t)dt=∞,i=1,2.     

拟线性抛物方程组第一边界问题的有限差分法

本文利用有限差分法来作出拟线性抛物方程组u_t=(-1)^M+1A(x,t,u…,u_x^M-1)u_x^2M+F(x,t,u,…,u_x^2M-1) (1)具有齐次边界条件u_xk(0,t)=u_xk(l,t)=0 (k=0,1,…,M-1) (2)与初始条件u(x,0)=φ(x) (3)在矩形区域Q_T={0≤x≤l,0≤t≤T}上的解,其中u=(u₁,…,u_m),φ(x)与F为m维向量值函数,A为m×m正定矩阵。证明了问题(1),(2)与(3)的一类相当广泛的有限差分格式的解的收敛性。所得向量值极限函数u(x,t)∈W₂^2M,1(Q_T)是问题(1),(2),(3)的唯一广义整体解。     

Schrdinger方程解的收敛性

考虑L~2(R~n)上乘子变换其中t>0,m(ξ)=exp(4π~2iξ~2)。周知,u(x,t)=T_t(f)(x)是Schrdinger方程始值问题的广义解。当t→* 0时‖u(x,t)-f(x)‖L~2→0。L. Carleson研究     

三阶微分方程组边值问题常号解的存在性

利用Krasnoselskii不动点定理,结合Leray-Schauder度,研究下列三阶微分方程组边值问题{ui″′(t)=fi(t,u1(t),u2(t),u3(t)), t∈[0,1],/ui′(0)=ui″(0)=ui(1)=0, i=1,2,3. 在某些条件下,常号解的存在性和多解性.     

磁流体方程组弱解在负指标Besov空间中基于旋度和电流的正则性标准

本文研究了不可压磁流体方程组弱解的正则性准则,设(u(t,x),6(t,x))是不可压磁流体方程组在(O,T)上的光滑解,如果旋度和电流密度满足(▽× u,▽× b) ∈ L 2-a/2 (O, T;B-aa∞, ∞(R3)) ηL1-a/2(O,T;B-∞1,-a∞(R3)),0＜α＜1,则光滑解(u(t,x),b(t,x))可以连续延拓到(O,T'),T'＞T.而且这个条件可以保证满足能量不等式的弱解是(O,T)上的光滑解.     

有非负Ricci曲率的度量测度空间上调和函数的边界问题

设(X,d,μ)是满足非负Ricci曲率条件的度量测度空间.本文研究了(开)上半空间X×R+上调和函数的边界问题.我们得到了:若u(x,t)是定义在上半空间X×R+上的调和函数,且满足Carleson测度条件sup xB rB∫rB0fB(xB,xB)|t▽u(x,t)|²dμ(x)dt/t≤C<∞,其中▽=(▽_x,■t)表示全梯度且B(xB,rB)表示以xB为球心、rB为半径的(开)球,则它的迹u(x,0)=f(x)是有界平均振动(BMO)函数.反之,迹满足BMO条件的所有调和函数满足以上Carleson测度条件.     

一类奇异抛物方程的超过程解法

对于如下一类奇异非线性抛物型方程：ｔｕ（ｔ,ｘ）＝Δｕ（ｔ,ｘ）－ｕβ（ｔ,ｘ）,ｘ∈Ｂ（０,ａ）,ｕ（０,ｘ）＝０,ｕ（ｔ,ｘ）｜ｘ｜→ａ－→∞,ｔ＞０,这里,１≤β≤２,Ｂ（ｏ,ａ）表示以ｏ为中心,以ａ为半径的Ｒｄ中的闭球,利用超过程的理论,给出了它的概率解法,从而推广了文［１］相应的结论     

一类乘积核的本征值分布

本文讨论了一类形如 G( x,y) =m1( x) K( x,y) m2 ( y)的乘积核所诱导的积分算子的本征值的分布问题 ,其中 K ( x,y)∈ CΩ×Ω 是正定的 .当 m1( x) ,m2 ( x)∈ CΩ 并且 m1( x) m2 ( x) 0时 ,我们证明了TG∶ L2 ( Ω)→L2 ( Ω)是迹算子 ,其本征值非负并得到了一个迹公式∑n∈ Nλn( TG) =∫Ωm1( x) K ( x,x) m2 ( x) dx.对于 m1( x) ,m2 ( x)∈ L∞( Ω)的情形 ,我们证明了一个稍弱的结果 .∑n∈ N|λn( TG) | ‖ m1. m2 ‖L∞∫ΩK( x,x) dx.     

奇异半线性反应扩散方程初值问题的一些注记

考虑下述奇异半线性反应扩散方程初值问题(()-1-t△u=ut+f(x),t＞0,x∈RN lim u(t,x)=0,x∈RN t→0=)其中r＞0,△=∑( )/( )x2i,f(x)非负且f(x)∈L∞(RN).首先利用增算子不动点定理,重新证明了IVP在(0,+∞)上至少存在一个非负解,并给出了IVP解的迭代逼近序列.其次获得了一个有关IVP(1)正解的无限增长性的结果.最后,证明了当r＞1时,去掉条件1/r-1≥n/2,IVP的正解u(t)同样会产生爆破.研究结果表明情形limut→+∞(t,x)=+∞不会出现.     

具临界指数和临界非线性边界条件的拟线性椭圆型方程Neumann问题

本文给出ＲＮ（Ｎ３）中有界光滑区域Ω上的拟线性椭圆型方程：－∑Ｎｉ＝１ｘｉ·｜Ｄｕ｜ｐ－２ｕｘｉ＝λ｜ｕ｜ｐ－２ｕ＋ａ（ｘ）｜ｕ｜ｐ－２ｕ＋ｆ（ｘ，ｕ），ｘ∈Ω（λ＞０，ｐ＝Ｎｐ／（Ｎ－ｐ），２ｐ＜Ｎ）在边界条件：－｜Ｄｕ｜ｐ－２Ｄνｕ｜Ω＝ψ（ｘ）｜ｕ｜ｑ－２ｕ（ｑ＝（Ｎ－１）ｐ／（Ｎ－ｐ））下的多解性结果．     

分数次积分算子的双权弱型赋范不等式

证明了若权函数(u,v)满足下列A_p型条件:对δ＞0及任意的方体Q, |Q|~(pα/n)‖u‖L(log L)~(2p-1+δ),Q(1/|Q|∫_Qv(x))-(p′/pdx)~(p/p′)≤K＜∞,则分数次积分算子I_α,0＜α＜n,是从L~p(v)到L~(p,∞)(u)的有界算子,1＜p＜∞．     

具有Caratheodory函数的四阶边值问题

利用上下解方法和Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理,讨论了一类具有Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数的四阶边值问题,给出了解存在的充要条件。     

廣義Stieltjes-Post反演公式及漸近積分

<正> 在作者之一的文章[1]中,曾定義過一種含有参數的正規變換函數類。對於以這類中的函數為核所構成的積分變換,即存在有一種廣義的Stieltjes-Post-Widder反演公式。在本文的第一節中,我們將對正規變換函數定義中的第二條件予以减弱,也就是把核函數的範圍加以放寬,而仍保持廣義反演公式的有效.在本文的第二節中,主要是改善先前一篇短文[2]中的結果,我們將在較廣泛的條件下,重新建立某一漸近積分定理.