“导数视角下”对圆锥曲线光学性质的探究

<正>圆锥曲线是高中数学的重要组成部分,它在生产生活中具有广泛的应用.我们知道,以抛物线为母线绕其对称轴旋转180°形成一个抛物面,在其焦点上放置一个点光源,其发出的光线经抛物面反射镜反射后将沿着平行于对称轴的方向射出,车灯和手电筒都是利用抛物线的这一光学性质设计的.人民教育出版社B版高中教材选修2-1的"数学文化阅读与欣赏"中就介绍了椭圆、双曲线和抛物线的光学性质,但是没有给出证     

对抛物线性质探究的一次成功体验

一只很小的灯泡所发的光会分散的射向各方,但将其置于圆柱形手电筒内,经过适当调节,就能射出一束比较强的平行光线,这是因为光线经抛物面反射后汇聚成了一束平行光线.从这一现象我们可以归纳出一个重要性质：从焦点发出的光线,经抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线对称轴.     

与光学性质相结合的解析几何题

在解析几何中有不少与物理中的光学知识相结合的问题,本文举一例,抛砖引玉．例题抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛物线y~2=2px(p＞0),一光源在点M((41)/4,4)处,由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P,     

抛物线光学性质的三种证法

本文介绍抛物线的一个光学性质的3种证法.设F是抛物线的焦点,M是抛物线上任意一点(如图1),MT是抛物线在点M处的切线,MN是法线,ME是平行于抛物线的轴的直线,那么法线MN必平分∠FME,即φ1=φ2.图1证法1取坐标系如图1,这时抛物线方程y2=2px.设点M的坐标为(x0,y0),则法线MN的方程是     

抛物线的三条性质及其在作图中的应用

抛物面反射聚光是太阳能聚光的主要形式,在太阳能利用工程中具有十分重要的意义.在研究抛物线反射性质的过程中,发现了抛物线的一些性质,根据这些性质作图,使作抛物线、作抛物线上点的切线和法线变得十分便捷.1抛物线的性质及其证明性质1连接抛物线上除顶点外的任意点与抛     

关于抛物线平行弦的一个有用性质

本文给出关于抛物线平行弦的一个有用性质,并用其解决几个代数问题,以飨读者． 性质 抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行（或重合）于该抛物线对称轴．     

小球何时能坠到杯底

这是一个有趣、颇具启发性的话题.一次自己在教学中这么问学生:“一个半球面状的酒杯,内部半径为R,放入一个半径不大于R的球,毫无疑问,球可坠到杯底.但若取一个内部为某圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)施转面的酒杯,杯口足够大,小球何以能坠底?”,学生们议论纷纷,但一时无以对答,我又具体给出小球半径若等于圆锥面焦点到相应顶点的距离时小球能坠底吗?经计算、考虑后,有的同学说能,有的说不能.我请了几位同学说一说理由,说不能的同学举了抛物面的例子,如旋成抛物面的抛物线方程为y2=2px(p>0),若小球能坠入杯底,相应小球被抛物线的面截成的…     

抛物线的一个性质及应用

性质已知抛物线y=ax2(a≠0)内有一定点F(0,1/4a),直线l过点M(0,-1/4a)且与x轴平行.当动点P在该抛物线上运动时,点P到直线l的距离PP'等于点P到点F的距离.     

由抛物线的阿基米德定理引出的几个命题

定义［１］：过抛物线弦的两端的切线与弦所围成的三角形称为阿基米德三角形,弦叫做阿基米德三角形的底边阿基米德定理［１］：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴,与底边平行的中位线是抛物线的一条切线,切点是底边上的中线与这条切线的交点．本刊１９９７年...     

抛物线与双曲线的光学性质及其综合应用

1　抛物线与双曲线的光学性质注意到 ,抛物线与双曲线的光学性质分别都是由两个部分组成的 ,其详细表述如下 .抛物线的光学性质 :从抛物线的焦点发出的光线 ,经过抛物线反射后 ,反射光线都平行于抛物线的轴 ;反之 ,沿着平行于抛物线的轴的方向向抛物线发出的光线 ,经过抛物线反射后 ,反射光线都聚交于抛物线的焦点上 .双曲线的光学性质 :从双曲线的一个焦点发出的光线 ,经过双曲线反射后 ,反射光线是散开的 ,它们就好像是从另一个焦点 (称为虚焦点 )发出的一样 ;反之 ,向双曲线的一个焦点 (也称为虚焦点 )发出的光线 ,经过双曲线反射后 ,反…     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…     

课本上一道切线问题的推广

人教版《解析几何》第126页第19题:从抛物线的焦点向它的任意一条切线引垂线,求证这条垂线和准线的交点,在过切点且平行于对称轴的直线上.我们将它翻译成符号语言和图形语言,如图(1).直线l是过抛物线y2=2px(p>0)上一点P的切线,过该抛物线焦点F的直线FN⊥l于点N,与抛物线的准线交于点M.求证:直线MP平行于x轴.原题证明比较简单,这里略去.经过笔者研究发现,这里“FN⊥l于点N”的条件是“虚晃一枪”,实质上,点N是“抛物线两条切线(切线l与过顶点的切线——y轴)的交点”,利用一般化和类比的方法,原题可以推广为更一般、更广泛的形式.推广1如…     

作圆锥曲线的切线使平行于已知直线

近年来(数学通报)多次发表文章论圆锥曲线切线的几何作图法,但都是过已知点作其切线,本文拟谈一下如何作抛物线、椭圆及双曲线的切线使平行于已知直线的问题.先看以下定理.定理1　抛物线的焦点在其切线上的射影的轨迹是过抛物线的顶点而垂直于抛物线的对称轴的直线.(证略)定理2　椭圆的焦点在其切线上的射影的轨迹是以椭圆的长轴为直径的圆.(证略)定理3　双曲线的焦点在其切线上的射影的轨迹是以双曲线的实轴为直径的圆.(证略)由定理1、2、3可知,为了要作抛物线、椭圆及双曲线的切线,只要先确定一焦点F在所求切线上的射影N,然后过N作FN的…     

抛物线切线的一个性质

<正>性质已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为k的动直线l与抛物线C交于不同两点M、N,过M、N做抛物线的切线,则切线交点的轨迹为一条平行于x轴的射线.(特别地:当直线斜率不存在时,轨迹为x轴的负半轴).证明设M(x1,y1),N(x2,y2),     

用抛物线的对称性解题

抛物线y=αx2十bx c(α≠0)是一个轴对称图形,它的对称轴过抛物线的顶点且平行于y轴.充分利用它的对称性,可以优化解题过程.本文试总结它的一些基本运用,供参考.     

抛物线上的两点弦方程及应用

<正>解决圆锥曲线的综合问题一般有两种方法:设点法与设线法．在解决与抛物线有关的问题时,由于抛物线的方程结构特征,设点法被经常用到．本文介绍与设点法有关的抛物线上的两点弦方程,并给出其应用,旨在为解决与抛物线有关的多个动点问题提供一种行之有效的方法．1抛物线上的两点弦方程已知A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)为抛物线y_2=2px(p>0)上两点,则直线AB的方程为2px-(y_1+y_2)y+y_1y_2=0,一般我们称此方程为抛物线上的两点弦方程．下面推导该方程:     

对一道题目错解的辨析

在一次测验中 ,我们出了如下一道选择题 .题目　抛物线ｘ2 =- 2 ｐｙ ( ｐ >0 )上的点与直线 3ｘ 4 ｙ - 8=0的最短距离为 1 ,则ｐ的值为 (　　 )(Ａ) 83.　　　　 (Ｂ) 8.(Ｃ) 83或1 0 49. (Ｄ) 8或569.许多同学都选择了 (Ｃ) ,其解答思路有如下两种 .解法 1　设抛物线上任一点Ｍ (ｘ ,- ｘ22 ｐ)到直线的距离为ｄ ,则ｄ =15| 3ｘ - 2ｘ2ｐ - 8|=15| 2ｐ(ｘ - 34ｐ) 2 - 98ｐ 8| ( 1 )∴当ｘ =34ｐ时 ,ｄｍｉｎ=15| - 98ｐ 8| =1 ( 2 )解得 ｐ =83或 ｐ =1 0 49.故选 (Ｃ) .解法 2　设与直线 3ｘ 4 ｙ - 8=0平行且与抛物线相切的直…     

一道联考试题的解法分析及探究

一、题目展示如图1,已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆T过点M(2,1),离心率为槡32,抛物线C的顶点在原点,对称轴为x轴且过点M.(1)当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于OM时,求直线l0的方程;(2)若斜率为-1的直     

一次小小的成功探索

在网上看到2004年北京一道高考题: 过抛物线y2=2Px(P>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2). (Ⅰ)求该抛物线上纵坐标为P/2的点到其焦点F的距离; (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,求y1+y2/y0的值,并证明直线AB的斜率为非零常数。     

三角形的几个结论在空间中的类比

本文介绍抛物线的一个光学性质的3种证法． 设F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点（如图1），MT是抛物线在点M处的切线，MN是法线，ME是平行于抛物线的轴的直线，那么法线MN必平分∠FME，即φ1=φ2．