环的交换性定理

本文证明了: 定理1 设R是有左单位元e的结合环的而N为其诣零元集合,如果R中恒有。(i) x~(n(x))-x∈N x∈R此处n(x)是大于1的依赖于x的整数;(ii) x≡y(mod N)就导致x~i=y~i x~j=y~j i=i(x,y) j=j(x,y) (i,j)=1是与x,y有关的大于2的整数或者x,y与N中每一元都可交换。则R为交换环. 定理2 若R是kothe半单环,a,b∈R,存在k≥m=m(a,b)≥1;l≥n=n(a,b)》1使得[(ab)~m(ba)~n]∈Z(R)且R之特征为p(素数),则R为交换环。     

无序分拆数的递归公式

将一个自然数n表示为若干个自然数之和的形式 n=n_1 n_2 … n_r(n_r∈N,r=1,2,…)(1)那么{n_1,n_2,…,n_r}称为k的一个分拆,如果不计加数的顺序,就称为无序分拆,简称分拆. 对于无序分拆,常假定n_1≥n_2≥…≥n_r,即加数由大到小排列,在这条件下(1)的解数P(n)称为分拆数。分拆的种种问题,曾是堆垒数论的一个古老课题,近年又成为组合数学的一个“热门话题”,     

S-内射模及S-内射包络

设R是环.设S是一个左R-模簇,E是左R-模.若对任何N∈S,有Ext_R~1(N,E)=0,则E称为S-内射模.本文证明了若S是Baer模簇,则关于S-内射模的Baer准则成立;若S是完备模簇,则每个模有S-内射包络;若对任何单模N,Ext_R~1(N,E)=0,则E称为极大性内射模;若R是交换环,且对任何挠模N,Ext_R~1(N,E)=0,则E称为正则性内射模.作为应用,证明了每个模有极大性内射包络.也证明了交换环R是SM环当且仅当T/R的正则性内射包e(T/R)是∑-正则性内射模,其中T=T(R)表示R的完全分式环,当且仅当每一GV-无挠的正则性内射模是∑-正则性内射模.     

均衡二部图中点不交的4-圈和6-圈（英文）

设G=(V_1,V_2,E)是一个均衡二部图满足|V_1|=|V_2|=n.令δ_(1,1)(G)=min{d(x)+d(y)|x∈V_1,Y∈V_2}.Amar猜想对任意的s个整数(n_1,n_2,…,n_s),n=n_1+n_2+…+n_s,其中n_i≥2.若δ_(1,1)(G)≥n+s,则G含s个点不交的圈,其长分别为2n_1,2n_2,…,2n_s(见[Discrete Math.,1986,58(1):1-10]).本文证明了若一个点数为4k的均衡二部图G满足δ_(1,1)(G)≥2k+4(k≥3),则G含k-3个4-圈和2个6-圈使得所有这些圈都是点不交的.     

关于强P除环上方阵的酉相似理论的一点注记

在文[1]中定义了强p除环Ω,即满足如下条件(1)—(4)的除环Ω: (1)存在Ω的对合反自同构σ(即σ为反自同构,且σ(σ(α))=α Aα∈Ω) (2)Aα_i∈Ω,i=1,…,n(n∈N) sum from i=1 to n(α_iσ(α_i)=0 α_i=0,i=1,2,…,n)。 (3)命R={α∈Ω|σ(α)=α},则R含在Ω的中心中。 (4)Aα_i∈Ω,i=1,2,…,n(n∈N)方程x~2-sum from i-1 to n(α_iσ(α_i))=0在Ω中有且只有两解。 事实上,除了平凡的情况外,强p除环Ω就是R上的四元数除环。确切地说,我们有 定理1 设Ω为强p除环,则Ω为(1)R,(2)R+R_i或(3)R上的四元数除环。这里     

由子模格决定的准素模

本文主要给出以下定理C。设Ri(i=1,2)是MLPI环（即Ri是有位单元的结合环，且每个极大左理想必是主理想），元素Pi∈Ri使得RiPi是Ri的极大左理想，Mi是Pi－准素的Ri－模。则我们有以下定理C 设M1的终Goldie维数（＝min{P^n1M1的Goldie维数|n=0,1,2,…|}）≤3，如果有子模格同构f:L(M1)^~-L(M2)。则有逆向全射系{R1/R1P1^n(n∈N)；θ}与{R2／R2P2^n2(n∈N)；θ′n}之间的同构{ψn:R1/R1P^n1→R2/P2^2(n∈N),其中θn和θ′n(n∈N)是自然满同态，ψn(n∈N)是环同构。若令R^*1,R^*2分别是以上两逆向全射系的逆向极限环。则有环同构ψ：R^*1^~-R^*2和M1到M2的ψ－线性同的φ，φ诱导出f:fR1x=R2φ（x），任意x∈M1。易见：（1）当P1＝0＝P2，且M1是有限维向量空间时，由定理C即得射影几何的基本定理；（2）当R1＝Z＝R2，且P1和P2为素数时，由定理C即得Pi＝P2，从百得Baer关于交换p－群的相应结果。     

一个猜想不等式的加细与推广

文 [1 ]提出如下猜想　设 x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,x1+ x2 +… + xn =1 ,n≥ 3,n∈ N,则　 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( n - 1n) n. ( 1 )戴承鸿、刘兵华在文 [2 ]中证明了上述猜想不等式成立 .本文给出该不等式的一个加细及推广形式 .定理　设 x1+ x2 +… + xn=k,n≥ 3,n∈ N;若 k≤ 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,则　 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( nk - kn) n ( ∏ni=1nxik) 1n-13≥ ( nk - kn) n ( 2 )若 k≥ n - 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ ( 0 ,1 ) ,则∏ni=1( 1xi- xi)≤ ( nk - kn) n .　　 ( ∏ni=1n - nxin - k) 13 -1n ≤ ( nk - kn) n. ( 3)为证定理 ,先…     

一个不等式的再改进及证明

文[1]给出了如下定理及其证明:定理设a1,a2,…,an∈R ,且a1 a2 … an=s,k∈N,k≥2,则有a1ks-a1 a2ks-a2 … anks-an≥sk-1(n-1)nk-2.其中当且仅当a1=a2=…=an时,不等式的等号成立.文[2]指出了定理在k∈R且k>1时是成立的,并且给出了证明.笔者认为在k≥1或k≤0时,定理是成立的,下     

Znám-Newman结果的改进

本文主要结果如下:设正整数n_0是覆盖函数σ(x)=1周期。如果正整数d不整除n_0但整除某些n_i(1∈i∈r),则n_1…n_r中至少有(d/(d,n_)个是d的倍数,这儿记号(m,n)表示m和n的最大公因数。σ(x)≡1时它改进了著名的Znam—Newman结果,这个改进比Berger、Fellyenbaum和Fraenkel他们的结果要好。     

半质环的两个交换性结果

定理1 设R是半质环,m,n是固定正整数,且n>1.如果R满足条件(x^my)ⁿ-x^my∈Z(R),?x,y∈R,则R是交换环.定理2 设R是半质环,m,n,s,t是固定正整数,且(m+n)t=s+1,mt>1.如果R满足条件[x^m,yⁿ]^t-[x,y^s]∈Z(R),?x,y∈R,则R是交换环.     

一类弱整体维数为2的局部环上的Bass-Quillen问题Ⅱ

设R是U2环,即(R,m)是局部GCD整环,且存在u∈m-m2,使得R/(u)是赋值环,且Ru是Bézout整环.本文证明了若R是带有正规元素为u的U2环,且dim(R/(u))=1,则每个有限生成投射R[X1,...,Xn]模是自由模.由此得到了若R是广义伞环,则每个有限生成投射R[X1,...,Xn]模是自由模.     

交换拟环上的Hamilton-Cayler定理

在本文中我们把交换环上的著名的Hamilton-Cayler定理推广到交换拟环上,得到如下:定理 设N是交换拟环,a∈M_n(N),如果λp(λ)是a的特征多项式,则 αap(a)=0,此处0≠α是N中任意元。     

Kthe半单纯环的几个交换性条件

(一)设R是结合环,y∈R,存在大于1的整数n=n(x,y),使得 (xy)~n=x~ny~n,(xy)~(n 1)=x~(n 1)y~(n 1) (1) Kaya[1]证明,若R是Jacobson半单纯环,则R是交换环。尔后,Felzenszwalb[2]证明,若R是带有单位元1的Kthe半单纯环,则R是交换环。本节证明条件(1)可以改为更一般的形式,并且有单位元的假定可以去掉。     

一个含参数根式不等式链

文[1]给出了如下含参数根式不等式:定理1设ai∈R ,i=1,2,…,n,且∑ni=1ai=k,λ>0,μ≥0,则λk μ (n-1)μ0,μ≥0,则λk μn2≤n∑i=1λkai2 μ<λk μ (     

使用二项式定理的两点注意

二项式定理(a b)~n=C_N~0a~n C_n~1a~(n-1) b … C_n~nb~n有着广泛的应用,但使用它应注意两点: 1.n∈N时公式才成立,才有通项。 2.若公式变形为,则此式成立的条件是n∈N且n≥r-1。解题时若不注意以上两点而盲目使用二项式定理,就会发生错误。     

矩阵环的半交换子环

称环R是半交换的,如果对任意a∈R,rR(a)是R的理想．若n≥2,则任意具有单位元的环R上的n阶上三角矩阵环不是半交换环．我们证明了reduced环上的上三角矩阵环的一类特殊子环是半交换环．     

半质环的若干交换性条件

设R表示结合环(可以没有单位元)，Z(R)为环R的中心，对任意x·y∈R，[x，y]=xy-yx，郭元春证明了满足(xy)^2-xy^2x∈Z(R)的半质环是交换环，魏宗宣用类似的方法证明了满足(xy)^2-yx^2y∈Z(R)的半质环是交换环，我们推广上述结果，证明了下面的定理。     

连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 [a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 [a,a+l]上的l凹函数,也是[a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈[a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈[a+l,a…     

关于一个不等式命题

本刊文 [1 ]给出了如下命题 :设 a、b、c∈ R ,n∈ N,则　 anb c bnc a cna b≥ (a b c) n-12 .3n-2 . (1 )但是 ,原文中对此命题的证明是不正确的 .这里 ,我们简捷地证明一个较上述命题更为深刻的结论 .定理　设 a、b、c∈ R ,n≥ 1 ,则　　　 anb c bnc a cna b　　≥     

再探三角形的一种边角关系

以下用a ,b ,c分别表示△ABC中角A ,B ,C的对边 ,文 [1 ]已证得 .定理 1　若an,bn,cn(n =1 ,2 ,3,4 )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .定理 2　若an,bn,cn(n∈Z)成等差数列 ,则B≤ 6 0°.实际上 ,还可将定理 2推广为 :定理 3　若an,bn,cn(n <0 )成等差数列 ,则B≤ 6 0°.证　因为a ,b ,c∈R+,an+cn2 =bn,所以bn≥ancn .又n <0 ,所以b2 ≤ac ,得(a -c) 2 ≥ 0≥b2 -ac,a2 +c2 -b2 ≥ac ,cosB =a2 +c2 -b22ac ≥12 ,B≤ 6 0° .猜想 1　若an,bn,cn(n≤ 4 ,n∈R )成等差数列 ,则B≤ 6 0° .下面是对猜想 1的研究 :由an+cn=2bn,可不妨设an≥bn≥…