空间曲面的旋转——伸缩法画图

<正> 在工科“高等数学”教材中,二次曲面的形状一般都是用截痕法进行研究的,即用一系列平行平面截已知二次曲面所得的截线来确定二次曲面的形状,利用截痕法画二次曲面时,     

二次曲面作图的原理和技巧

在一般解析几何课本中讨论和绘制二次曲面的图形,都是采用“平行截线法”,即是用平行于坐标平面的平面去截二次曲面,得到平截线,这样的平截线是二次曲线,画出一些这样的二次曲线及二次曲面的轮廓线,即得所要求作的二次曲面的近似形象的方法。但是为什么和怎样把它们画成那个样子?其作图原理是什么? 解析几何课本中的二次曲面,如中学立体几何课本中的直观图一样,都是根据轴测投影的原理来画的。在学习数学中,经常要画直观图。我们知道,正确的直观图能明显地表示出空间形体的几何关系。通过直观图的直观作用,对原有空间形体产生了清楚的观念,这样有助于对图形性质的理解,从而使我们在进行定理论证或习题解答时的逻辑推理导向正确的途径。在数学教学工作中,也经常要画黑板图和直观挂图。成功     

平面与二次曲面相切的充要条件

针对平面与二次曲面相切的条件。根据二次曲面标准方程的五种分类．利用二次曲面上点的切平面的唯一性．给出任一平面与五类二次曲面相切的充要条件，得到一组相关推论，并给出一些应用实例．     

二次曲面方程分类与化简的新方法

通过对二次曲面方程配方变形,根据直线与二次曲面相交时参数t的几何意义,以及仿射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种新方法,从而解决了利用坐标系的平移、旋转、不变量对二次曲面方程进行分类、化简时运算复杂或者无法确定图形具体位置等问题.     

利用特征根研究二次曲面的切平面问题

利用特征根研究二次曲面的切平面问题,给出了平面为二次曲面的切平面的充要条件.     

二次曲面的几个性质

介绍了二次曲面的切线的几个性质 ,把二次曲线的类似性质推广到了二次曲面 .     

n维二次曲面的切超平面

利用特征根研究n维二次曲面的切超平面问题,给出平面为n维二次曲面的切超平面的充要条件.     

二次曲面图形的一种新作法

根据二次曲面方程的特征根与其图形主轴之间的关系可化简二次曲面的一般方程为标准方程。从而作出曲面的图形。     

二次曲面直纹性的工程应用

高等数学教材中关于二次曲面形状的讨论都采用截痕法.教学中引入直纹面概念,可为建筑施工专业的学生密切联系工程实际提供理论依据,收到较好的教学效果.     

实二次曲面依点的类型的重新组合

利用微分几何中对一般曲面上点的分类来研究实二次曲面依点的类型的又一重要新组合,从而对二次曲面的形状有进一步的认识.     

二次曲面的构造式方程

本文根据二次曲面的中心点坐标、主轴方向、半轴长这几个几何参数直接构造曲面方程,并称之为二次曲面的构造式方程．     

二次曲面和平面位置关系的判式

在解析几何中有二次曲线与直线位置关系的讨论、二次曲面与直线位置关系的讨论,而二次曲面与平面相关位置关系的探讨较少.本文给出二次曲面a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0(1)和平面Ax+By+Cz+D=0(2)的相对位置的判别式Δ=a11a12a13a14Aa21a22a23a24Ba31a32a33a34Ca41a42a43a44DA B C D0(aij=aji).(3)并证明了:若Δ>0,则二次曲面(1)与平面(2)相交;若Δ=0,则(1)和(2)相切;若Δ<0,则(1)和(2)相离.     

二次曲面的截面面积公式

一般二次曲面被任一平面所截得的截痕一定是椭圆．通过构造Lagrange函数求条件极值的方法。可得有心二次柱面被过原点平面所截得的椭圆面积公式．据此并结合空间解析几何理论,将一般二次曲面的平面截痕视作其射影柱面与该平面的截痕,进而可得一般二次曲面被任一平面截得的平面域的面积公式．     

二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法

关于泊松方程第一边值问题,目前大部分研究仅给出了球域、圆域等情况的格林函数解法,而对其他类型的区域讨论甚少.该文从二次曲面成像公式出发,用电像法统一研究椭球面、双曲面、抛物面、球面等二次曲面区域内的泊松方程第一边值问题,旨在给出其各自的格林函数解及相应的第一积分表示式.研究发现,在近轴情况下,二次曲面区域内泊松方程第一边值问题的格林函数解及第一积分表示式有统一形式,该文最终给出了这种统一形式并分别对这几种二次曲面域进行了讨论.     

有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法

通过有心二次曲线的性质,说明了文[1]中一些错误的结论.运用有心二次曲线切线的性质,以及有心二次曲面切面的性质,得到了有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法.     

塞瓦定理在空间的推广

将塞瓦定理推广到三维空间得到结论：P是不在四面体的面所在平面上的一点．且P点不在过棱且平行于对棱的平面上,则四面体的各棱中点,过各棱与点P的平面与对棱所在直线的交点,及过各顶点与点P的直线与四面体对面所在平面的交点和四面体在这个面上的顶点的连线中点．这24个点在同一个二次曲面上．当点P在四面体内或四面体的三面角的对顶角区域内时,24点二次曲面为椭圆面;当点P在四面体的面分空间所成的其它区域内时,24点二次曲面为双曲面或二阶锥面．     

正投影法在解析几何教学中的应用

本文探讨了正投影与面积、外积、仿射对应等概念之间的联系,运用正投影思想研究了双曲抛物面的直母线的几何性质,得到了判别二次曲面与平面截交线类型的统一方法,从而说明在解析几何教学中融入正投影法的重要性.     

二次曲面理论的一个应用

本文使用二次曲面的化简理论 ,对于给定的三根螺旋 ,求出由它们确定的单叶双曲面     

单叶双曲面和双曲抛物面直母线的几何作图

在二次曲面中,唯有单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面。这两种直纹面都有两族直母线(u族和v族),两族直母线有很多有益的性质,掌握这些有益的性质并运用这些性质便可在两个曲面上将这些直母线一条一条地作出来,这     

复射影空间的常数量曲率复超曲面

M是复射影空间CP~(m+1)内具常数量曲率的非全测地复m维超曲面,则M的第二基本形式长度平方S>1/3(m+2)+1/36(m-1)。又如果M是完备连通的,则S不落在区间[m,m+m(42-m)/35m+18]内(2≤m≤41),当S=m时,M是复二次曲面Q~m。