MPSD迭代法和Jacobi迭代法的敛散关系

本文证明了当Jacobi迭代矩阵B非负时,解线性方程组Ax=b(A为不可约矩阵)的MPSD迭代法(0＜wi＜τ≤1,i=1,2)和Jacobi迭代法同时敛散,给出了其谱半径ρ(Sτ,w1,w2)和ρ(B)之间的关系.     

GPSD迭代法和Jacobi迭代法的敛散关系

证明了当Jacobi迭代矩阵B非负时,解线性方程组Ax=b(A为不可约矩阵)的GPSD迭代法(0＜ωi＜Ti≤1,i=1,2,…,n)和Jacobi迭代法同时敛散,给出了其谱半径p(ST,Ω)和ρ(B)之间的关系.     

Jacobi和Gauss-Seidel迭代法收敛性的判定

§1 引言 解线代数方程组 AX=b 的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是Jacobi迭代矩阵B=D(-1)(E F)的谱半径ρ(B)小于1,但验证这一充要条件需要求阵B的特征值,使用很不方便。因此促使人们去寻找使用方便、计算简单判定两迭代法收敛的充分条件。如大家所熟知,两迭代法收敛的一充分条件是:     

关于ρ(L_(r,w))、ρ(J_w)的最小值

本文证明了当线性方程组系数矩阵 A之 Jacobi迭代矩阵 B=L+ U≥ 0 ,ρ( B) <1时 Gauss-Seidel法之迭代矩阵 G=L1,1的谱半径 ρ( G) =ρ( L1,1)是 ρ( Lr,w) ( 0≤ r≤w≤ 1 ,w>0 )中的最小值 ,即此时 Gauss-Seidel迭代是 AOR法中收敛最快的迭代法 .并且对 JOR法 (谱半径为 ρ( Jw) )和 SAOR法也作了相应的论述 .     

一类可逆的对角占优矩阵与Jacobi迭代法

<正> 用Jacobi 迭代法解线性方程组AX=b(其中A∈R~(n×n)、b∈R~n.X∈R~n)时,一般假定A 为可逆阵且a_(ii)≠0(i=1,2,…n)。文[1]指出.如果矩阵A 为严格对角占优阵,则Ja obi 迭代过程是收敛的。‘严格对角占优’这个条件是比较强的,它限制了Jacobi 迭代法的应用范围。实际     

相容次序矩阵PSD迭代法的收敛性

本文是在求解大型线性方程组Ax=b的系数矩阵A为(1,1)相容次序矩阵且其Jacobi迭代矩阵的特征值均为纯虚数或零的条件下,得到PSD迭代法收敛的充分必要性定理,并在特殊情况下得到了相应的最优参数.     

Jacobi和Gauss-Seidel迭代收敛的新判别准则

设线代数方程组 Ax=bA=D-E-F,其中D、E、F分别为A的对角、严格下三角、严格上三角矩阵。此时Jacobi迭代阵和Gauss—Seidel迭代阵分别为 B=D~(-1)(E+F)=L+U, B’=(D-E)~(-1) F=(I-L)~(-1)U     

关于USSOR迭代法收敛的充要条件和最佳松弛因子

本文在线性方程组系数矩阵A为相容次序矩阵及A的Jacobi迭代矩阵的特征值μj均为实数的条件下,得出了USSOR迭代法收敛的充分必要性定理.并给出了USSOR迭代矩阵之谱半径ρ(ψω,-ω)的表达式及ρ(ψω,-ω)的最佳松弛因子.     

GAOR迭代法的收敛性

当A为实对称矩阵时,[1]中在D_i选取较特殊的条件下,证明了GAOR迭代法收敛的充要条件为A是正定矩阵. 设A为Hermite矩阵,进一步讨论GAOR迭代法收敛的充要条件. 以下记 B=D_1~(-1)(C_L+C_U).     

预条件同时置换(PSD)迭代法的收敛性分析

1引言求解线性方程组Ax=6,(1.1)其中A∈R~(n×n)非奇异阵且对角元非零,x,b∈R~n,x未知,b已知.不失一般性,我们假设A=I-L-U,(1.2)其中L,U分别为A的严格下和上三角矩阵,相应的Jacobi迭代矩阵为B=L U.(1.3)若Q是非奇异阵且Q~(-1)易计算,于是(1.1)可以变成     

关于矩阵A~(-1)B的简捷计算

在高等代数或线性代数中,经常遇到矩阵A~(-1)B的计算。例如: (1)解矩阵方程AX=B(A可逆)则X=A~(-1)B; (2)在基变换中,从基ε_1,ε_2,……,ε_k到ε′_1,ε′_2,……,ε′_k的过渡矩阵P=A~(-1)B;(A,B分别是以ε_1,ε_2……,ε_n和ε′_1,ε′_2,……,ε′_n的坐标为列的方阵); (3)向量α在上述两组基下坐标的换算也用A~(-1)B(或~(-1)A);     

Ostrowski-Reich定理在AOR方法中的推广

其中D=diag(α_(11),α_(22),…,α_(nn)),C_L和C_U分别是严格下和上三角矩阵。若D是非奇异的,则Jacobi矩阵为 B=D~(-1)(C_L C_U)=L U,其中L=D~(-1)C_L,U=D~(-1)C_U。SOR方法(见[1,2,3])定义为     

块循环矩阵方程组的新算法

1　基本概念形如 A=a1 a2 … a Na N a1 … a N- 1?彙?廰2 a3 … a1的矩阵称为由 a1 ,a2 ,… ,a N 生成的循环矩阵 .力学和工程中的轴对称结构的计算产生上述循环矩阵 [2 - 3] .以循环矩阵A为系数矩阵的方程组 ,称为循环矩阵方程组 .已有的求解循环矩阵方程组的办法主要是各种迭代法 ,如递推法及 SOR,SSOR,SAOR超松弛迭代法[2 - 6] 等 .定义 1　形如A =A1 A2 … ANAN A1… AN- 1?彙?廇2 A3… A1　 (Ai,i =1 ,2 ,… ,N为 m阶矩阵 )的矩阵称为由 A1 ,A2 ,… ,AN 生成的块循环矩阵 .定义 2　系数矩阵 A为块循环矩阵的方程组AX …     

关于H-矩阵的H-预处理子（英文）

设A为一实对称正定的严格对角占优矩阵.设A=D-B为A的Jacobi分裂.为了求解线性方程组Ax=b,在新提出的预处理子的基础上,我们采用预处理共轭梯度方法(PCG)来求解该问题.新提出的预处理子Pv=D+νvv~T,其中v=|B|e,e=(1,...,1)~T,ν=v~TBv/||v||_2~4,且ν使||cvv~T-B||_F达到极小.我们得到了预处理矩阵P_v~(-1)A特征值的上下界,它的界比JIN提出的预处理子的界简单紧凑.数值结果表明我们的预处理子的有效性.     

矩阵方程A1X1B1＋A2X2B2＋…＋AlXlBl=C的中心对称解及其最佳逼近

设矩阵X=(xij)∈R ,如果xij=xn+1-i,n+1-j(i,j=1,2,…,n),则称X是中心对称矩阵.该文构造了一种迭代法求矩阵方程A1X1B1+A2X2B2+…+AlXlBl=C的中心对称解组(其中[X1,X2,…,Xl]是实矩阵组).当矩阵方程相容时,对任意初始的中心对称矩阵组[X1(0),X2(0),…,Xl(0)],在没有舍入误差的情况下,经过有限步迭代,得到它的一个中心对称解组,并且,通过选择一种特殊的中心对称矩阵组,得到它的最小范数中心对称解组.另外,给定中心对称矩阵组[X1,X2,…,X1],通过求矩阵方程A1X1B1+A2X2B2+…+AlXlBl=C(其中G=C-A1X1B1-A2X2B2-…-AlXlBl)的中心对称解组,得到它的最佳逼近中心对称解组.实例表明这种方法是有效的.     

矩阵线性组合幂性及三次幂等性的研究

1引言及引理 幂等矩阵和三次幂等矩阵的线性组合在矩阵理论和统计学中具有重要的应用[1,2],In表示C上的n×n单位矩阵,r=rank(A)表示A∈ Cn×n的秩.设c1,c2∈C是非零复数,A,B∈Cn×n是非零的复矩阵,且A≠±B,P是A和B的线性组合,即P=c1A+c2B.文献[3-5]中给出了:(1)A和B均是幂等矩阵;(2)A是幂等矩阵且B是三次幂等矩阵,线性组合P是一个幂等矩阵的充要条件.文献[6]中给出了当A和B是可交换的三次幂等矩阵时,线性组合P是一个三次幂等矩阵的充要条件.文献[7]中给出了:当A分别为幂等矩阵和三次幂等矩阵,B是任意n×n阶复矩阵,且满足AB=BA时,线性组合P分别为幂等矩阵和三次幂等矩阵的充要条件.本文主要考虑的是当A分别为幂等矩阵和三次幂等矩阵,B是任意n×n阶复矩阵,且满足AB=BA,线性组合P分别为三次幂等矩阵和幂等矩阵的充要条件,补充了文献[7]的内容.     

关于PSD迭代法收敛的充分必要性定理

本文在线性方程组系数矩阵A为相容次序矩阵及A的Jacobi迭代矩阵的特征值μ_j均为实数且μ_j~2<1的条件下,得出了PSD迭代法收敛的充分必要性定理,并由此而得到了一个易于判别的PSD法收敛性定理。     

关于矩阵特征多项式的一个性质

大家都知道,如果两个矩阵A和B相似,那么它们有相同的特征多项式。 即:A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P~(-1)AP=B。 那么它们的特征多项式f_A(λ)和f_B(λ)相同:对于等式P~(-1)AP=B进行变形     

水平线性互补问题投影迭代法和模系矩阵分裂迭代法的等价性

水平线性互补问题(HLCP)是著名线性互补问题(LCP)的重要推广形式之一,投影迭代法和模系矩阵分裂迭代法是最近提出的求解HLCP两类非常有效的热点方法.本文研究表明,尽管这两类方法导出原理不同,但在一定条件下是等价的.特别地,当模系矩阵分裂迭代法中参数矩阵Ω取为特定的正对角矩阵时,投影Jacobi法、投影Gauss-Seidel法和投影SOR法分别等价于模系Jacobi迭代法、加速的模系Gauss-Seidel迭代法和加速的模系SOR迭代法.此外,对一般的正对角矩阵Ω,本文也研究了两类方法的等价性.最后,通过数值算例验证了本文的理论结果.     

一类线性隐式A稳定的单步法

1.引言 对于Stiff方程组初值问题的数值解法,Dahlquist在[1]中引进了 A稳定的概念,并且证明了显式的线性多步法(包括显式的Runge-Kutta方法)不可能是A稳定的.现在已经有许许多多隐式A稳定或Stiff稳定的方法,但绝大多数在数值解的过程中必须解由于隐式方法所产生的非线性方程组,而非线性方程组的求解过程往往又要采用Newton-Raphson迭代方法,因此需要计算方程y’=f(x,y)的右函数f(x,y)的Jacobi矩阵以及与此有关的逆矩阵.本文的主要思想是:既然在数值解过程中要计算f(x,y)的Jacobi矩阵,那么不妨在数值公式中明显的出现f(x,y)的一阶偏导数.我们将A稳定公式