关于3正则图的三匹配交猜想(Ⅰ)

Fan和Raspaud 1994年提出如下猜想任一无桥3正则图必有三个交为空集的完美匹配. 本文研究一类特殊的无桥3正则图G存在图G的一个完美匹配M1使得G-M1恰含有两个奇圈和若干偶圈. 在偶圈数≤2的情形以及在偶圈数≤4且G是圈4-边连通的情形,本文证明了一定存在图G的两个完美匹配M2和M3使得M1∩M2∩M3=φ.     

关于3正则图的三匹配交猜想(Ⅱ)

Fan和Raspaud 1994年提出如下猜想：任一无桥3正则图必有三个交为空集的完美匹配．本文证明了如下结果：若G是一个圈4-边连通的无桥3正则图，且存在G的一个完美匹配M1使得G—M1恰为4个奇圈的不交并，则存在图G的两个完美匹配M2和M3使得M1∩M2∩M3=Φ。     

关于3正则图的三匹配交猜想（I）

Fan和Raspaud1994年提出如下猜想：任一无桥3正则图必有三个交为空集的完美匹配。本研究一类特殊的无桥3正则图G：存在图的G的一个完美匹配M1使得G－M1恰含有两个奇圈和若干偶圈。在偶圈数≤2的情形以及在偶圈数≤4且G是圈4－边连通的情形，本证明了一定存在图G的两个完善匹配M2和M3使得M1∩M2∩M3＝φ。     

几类图的拉普拉斯特征值的前三项和的上界

设G是一个顶点集为V(G),边集为E(G))的简单图.S_k(G)表示图G的拉普拉斯特征值的前k项部分和.Brouwer et al.给出如下猜想:S_k(G)≤e(G)+((k+1)/2),1≤k≤n.证明了当k=3时,对边数不少于n~2/4-n/4的图及有完美匹配或有6-匹配的图,猜想是正确的.     

循环图C_(2n)(1,(2n+1)/3)的匹配可扩性

称图G是k-偶匹配可扩的,是指G的每一个基数不大于k(1≤k≤(|V(G)|-2)/2)的偶匹配M都可以扩充为G的一个完美匹配.根据循环图的性质研究了图C_(2n)(1,(2n+1)/3)的匹配可扩性,证明了对于任意的n(n≥4),C_(2n)(1,(2n+1)/3)是3-偶匹配可扩的.     

关于3-点临界图的一个猜想的证明

设γ(G) 是图G的点控制数. 如果对任意的v ∈ V (G), 都有γ(G?v) < γ(G) 成立, 那么称G为γ-点临界图. 本文主要给出Ananchuen 和Plummer 提出的一个猜想的证明, 得到了如下的结果:若G是无K_1,7的3-点临界图, 且阶数为不小于18的偶数, 则除几类特殊图外, G 均有完美匹配.     

关于分数k-因子临界图与分数k-可扩图的若干结果

一个简单图G, 如果对于V(G)的任意k元子集S, 子图G-S都包含分数完美匹配, 那么称G为分数k-因子临界图. 如果图G的每个k-匹配M都包含在一个分数完美匹配中, 那么称图G为分数k-可扩图. 给出一个图是分数k-因子临界图和分数k-可扩图的充分条件, 并给出一个图是分数k-因子临界图的充分必要条件.     

二部图上完美匹配的正交匹配分解

给定简单二部图G=（V，E），最大度是k（k≥3），G有一个完美匹配M={e1，e2，…，ek}。称边集E的划分{E1，E2，…，El}是G的一个关于肼的正交匹配分解，如果对每一个El是G的匹配并且包含且仅包含肼中的一条边。在本文中我们将证明对于简单二部图G，存在关于完美匹配肼的正交匹配分解，并给出了求这个分解的多项式时间算法。     

导出匹配可扩图的局部运算

称图G为导出匹配图可扩的（简称为IM－可扩的），如果图G的一每个导出匹配都包含在G的一个完美匹配中，本给出了导出匹配可扩图的一些局部运算。     

关于Sumner-Blitch猜想的一个注记

设G是一个图。G的最小度，连通度，控制数，独立控制数和独立数分别用δ，k，γ，i和α表示，图G是3－γ-临界的，如果γ=3，而且G增加任一条边所得的图的控制数为2.Sumner和Blitch猜想：任意连通的3－γ临界图满足i=3，本文证明了如果G是使α＝k 1≤δ的连通3－γ-临界图，那么Sumner-Blitch猜想成立。     

Exponentially many perfect matchings in cubic graphs

We show that every cubic bridgeless graph G has at least ²|V(G)|/3656 perfect matchings. This confirms an old conjecture of Lovász and Plummer.     

树的Hk-cordial性

如果可以给图G的边用集合（±1,±2,.. ,±k）中的元素标号,使得对G每个顶点u,其标号,即所有与其相邻的边的标号之和,都落在集合（±1,±2,.. ,±k）中,且Ie（i）-e（-i）I≤1和lu（i）-u（-i）1≤1,其中t心）和e（i）（1≤i≤k）分别是标号为i的顶点数和边数,那么就称该图G为Hk-cordial的．本文证明了除了尥以外,每棵树都是H3-cordial的．     

A note on Berge-Fulkerson coloring

The Berge-Fulkerson Conjecture states that every cubic bridgeless graph has six perfect matchings such that every edge of the graph is contained in exactly two of these perfect matchings. In this paper, a useful technical lemma is proved that a cubic graphGadmits a Berge-Fulkerson coloring if and only if the graphGcontains a pair of edge-disjoint matchingsM₁andM₂ such that (i) M₁∪M₂induces a 2-regular subgraph ofG and (ii) the suppressed graph, the graph obtained fromG?M_iby suppressing all degree-2-vertices, is 3-edge-colorable for eachi=1,2. This lemma is further applied in the verification of Berge-Fulkerson Conjecture for some families of non-3-edge-colorable cubic graphs (such as, Goldberg snarks, flower snarks).     

二分（0，mf—m＋1）-图的正交（0，f）-因子分解

设G=（X,Y,E（G））是一个二分图,分别用V（G）=X∪Y和E（G）表示G的顶点集和边集．设f是定义在V（G）上的整数值函数且对任意x∈V（G）有f（x）≥k．设H1,H2,…,Hk是G的k个顶点不相交的子图,且｜E（Hi）｜=m,1≤i≤k．本文证明了每个二分（0,mf—m＋1）．图G有一个（0,f）-因子分解正交于Hi（i=1,2,…,k）     

图的{P4}——分解

一个图G的路分解是指一路集合使得G的每条边恰好出现在其中一条路上．记Pl长度为l-1的路，如果G能够分解成若干个Pl，则称G存在{Pl}——分解，关于图的给定长路分解问题主要结果有：（i）连通图G存在{P3}-分解当且仅当G有偶数条边（见[1]）；（ii）连通图G存在{P3，P4}-分解当且仅当G不是C3和奇树，这里C3的长度为3的圈而奇树是所有顶点皆度数为奇数的树（见[3]）．本文讨论了3正则图的{P4}--分解情况，并构造证明了边数为3k（k∈Z且k≥2）的完全图Kn和完全二部图Kr,s存在{P4}-分解.     

INDEPENDENT-SET-DELETABLE FACTOR-CRITICAL POWER GRAPHS

It is said that a graph G is independent-set-deletable factor-critical (in short, ID-factor-critical), if, for every independent set 7 which has the same parity as |V(G)|, G-I has a perfect matching. A graph G is strongly IM-extendable, if for every spanning supergraph H of G, every induced matching of H is included in a perfect matching of H. The k-th power of G, denoted by Gk, is the graph with vertex set V(G) in which two vertices are adjacent if and only if they have distance at most k in G. ID-factor-criticality and IM-extendability of power graphs are discussed in this article. The author shows that, if G is a connected graph, then G3 and T(G) (the total graph of G) are ID-factor-critical, and G4 (when |V(G)| is even) is strongly IM-extendable; if G is 2-connected, then D2 is ID-factor-critical.     

退化图中的子图计数问题研究

令G表示n个顶点的图,如果G的每个子图中都包含一个度至多为k的顶点,则称G为k-退化图.令N(G,F)表示G中F子图的个数.主要研究了k-退化图中完全子图和完全二部子图的计数问题,给出了计数的上界以及相应的极图.首先,证明了Ν(G,K_t)≤(n-k)(k t-1)+(k t).其次,如果s,t≥1,n≥k+1且s+t≤k,我们证明了Ν(G,K_s,t)≤{(k s)(n-s s)-1/2(k s)(k-s s),t=s,(k s)(n-s t)+(k t)(n-t s)-(k t)(k-t s),t≠s.此外,还研究了在最大匹配和最小点覆盖为给定值的情况下,图G中的最大边数.记v(G),K(G)分别为图G的最大匹配数和最小点覆盖.证明了当v(G)≤k,K(G)=k+r且n≥2k+2r²+r+1时,有e(G)≤(k+r+1 2)+(k-r)(n-k-r-1).     

On Perfect Matching Coverings and Even Subgraph Coverings

A perfect matching covering of a graph G is a set of perfect matchings of G such that every edge of G is contained in at least one member of it. Berge conjectured that every bridgeless cubic graph admits a perfect matching covering of order at most 5 (we call such a collection of perfect matchings a Berge covering of G). A cubic graph G is called a Kotzig graph if G has a 3‐edge‐coloring such that each pair of colors forms a hamiltonian circuit (introduced by R. Häggkvist, K. Markström, J Combin Theory Ser B 96 (2006), 183–206). In this article, we prove that if there is a vertex w of a cubic graph G such that , the graph obtained from by suppressing all degree two vertices is a Kotzig graph, then G has a Berge covering. We also obtain some results concerning the so‐called 5‐even subgraph double cover conjecture.     

关于分数可消去图的若干结果

令G=(V(G),E(G))是一个图,并令9和f是两个定义在V(G)上的整数值函数且对所有的x∈V(G)有g(x)≤f(z)成立．若对G的每一条边e都存在G的一个分数(g,f)-因子G_h使得h(e)=0,其中h是G_h的示性函数,则称G是一个分数(g,f)-消去图,若在G中删去E′■E(G),|E′|=k后,所得图有分数完美匹配,则称G是分数k-边-可消去的。本文给出了图是1-可消去,2-可消去和k-边-可消去的与韧度和孤立韧度相关的充分条件。证明了这些结果在一定意义上是最好可能的．