巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理 :“若实数ｘ1 、ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两个根 ,则有ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ” .其逆定理是 :“若实数ｘ1 、ｘ2 满足ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ,则ｘ1 、ｘ2是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根” .韦达定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛题中应用也较多 .现举例如下 :例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ +ｂ2 =1,且ｔ =ａｂ -ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是.(2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 )解　由ａ2 +…     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

求解含有绝对值的“三个二次”综合题的五个着眼点

中学数学中的“三个二次”是指二次函数、二次方程、二次不等式 .以二次函数为中心 ,用它的图象和性质串联另外两个“二次”以及其他知识组成的综合题是历年高考的重点 .含有绝对值的“三个二次”综合题乃重中之重 ,解答这类问题常从以下几个方面考虑 .1　运用公式 | |ａ| - |ｂ| |≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|例 1　函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 ) ,若函数ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ =ｘ和ｙ =-ｘ均无公共点 ,求证 :1) 4ａｃ -ｂ2 >1;2 )对一切实数ｘ ,恒有 |ａｘ2 +ｂｘ +ｃ| >14 |ａ| .分析 :1)略 .2 ) |ａｘ2 +ｂｘ …     

初三代数第二学期期中自测题

Ａ组一、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果ａ ,ｂ,ｃ为任意实数 ,那么下列函数中 ,是二次函数的是 (　 ) .Ａ .ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃＢ .ｙ=(ａ+ 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＣ .ｙ =(ａ2 + 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＤ .以上都是2 .如果反比例函数 ｙ =ｋｘ 的图象经过点 ( - 2 ,-1 ) ,那么ｋ的值为 (　 ) .Ａ .12 　　Ｂ . - 12 　　Ｃ .2　　Ｄ . - 23 .下列抛物线中 ,不与ｘ轴相交的是 (　 ) .Ａ .ｙ=2ｘ2 +ｘ - 1　　　　Ｂ .ｙ =2ｘ2 -ｘ - 1Ｃ .ｙ =- 2ｘ2 -ｘ + 1Ｄ .ｙ =- 2ｘ2 +ｘ - 14 .抛物线 ｙ=2 (ｘ - 1 ) (ｘ + 3 )的对称轴是 (　 ) .Ａ .…     

对一个函数图象结论的证明

文 [1 ]指出了函数ｙ=(ａｘ +ｃ) +ｂｘ +ｄ(ａｂ≠ 0 ,ｃ,ｄ∈Ｒ)的图象是双曲线并给出了证明 ,但由于证明过程中用到了行列式、函数极限等知识 ,不适合向中学生讲解 ,本文将给出一个更“基本”的证明 ,供同行们教学时参考 .证明　由ｙ=(ａｘ +ｃ) +ｂｘ +ｄ 可得ｙ=ａ(ｘ+ｄ) +ｂｘ+ｄ+(ｃ -ａｄ) ,它的图象可由函数ｙ =ａｘ+ｂｘ 的图象沿向量 (-ｄ ,ｃ-ａｄ)平移得到 ,设函数ｙ =ａｘ+ｂｘ 的图象为Ｃ ,将Ｃ绕原点Ｏ顺时针旋转θ(0 <θ<π2 )角得图象Ｃ′,设Ｃ′上任意一点为Ｐ(ｘ,ｙ) ,与它对应的Ｃ上的点为Ｐ′(ｘ′,ｙ′) ,由复数知…     

一元二次函数的最大(小)值问题

我们知道 ,一元二次函数 ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ在其定义域 (-∞ , ∞ )上 ,当ａ >0时 ,函数在ｘ =- ｂ2ａ处取得最小值4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ <0时 ,函数在ｘ =- ｂ2ａ处取得最大值4ａｃ-ｂ24ａ .　　下面我们讨论如果限定某个闭区间 [ｍ ,ｎ]而不是在 (-∞ , ∞ )上来求 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的最大 (小 )值的问题 .由二次函数 ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ (ａ≠ 0 )的图象可知 ,在任何闭区间上 ,函数既有最大值 ,也有最小值 ,且最大值或最小值只能在顶点处或闭区间的端点处取得 ,解题的关键在于考虑顶点的横坐标是否属于该区间 .例 1　 (北京高一 1 996年…     

一元二次方程求根公式的推导

初三代数课本中介绍了一种一元二次方程求根公式的推导方法 ,笔者想在这里给同学们介绍另外几种方法 .一、印度方法此法起始于印度 ,通常认为是斯利德哈拉(Ｓｒｉｄｈａｒａ,印度人 ,生卒年不详 )在公元 1 0 2 5年之前作出的 .具体做法是 :解　对于方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,移项 ,得ａｘ2 +ｂｘ =-ｃ,两边同乘以 4ａ ,然后再加上ｂ2 ,得4ａ2 ｘ2 +4ａｂｘ +ｂ2 =ｂ2 -4ａｃ,左端化为完全平方式 ,得( 2ａｘ +ｂ) 2 =ｂ2 -4ａｃ,当ｂ2 -4ａｃ≥ 0时 ,开方得2ａｘ +ｂ=±ｂ2 -4ａｃ,所以得ｘ =-ｂ±ｂ2 -4ａｃ2ａ .印度方法十分简捷 ,…     

三次函数图象对称性的探讨

1 .问题的提出一次函数 ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的有关性质早已被大家熟知 ,它的图象是一条直线 ,此图象既是中心对称图形又是轴对称图形 .图形上任意一点都是它的中心对称点 ,平面上与此直线垂直的任意一条直线都是它的对称轴 .而二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象是一条抛物线 ,图象关于直线ｘ =-ｂ2ａ对称 ,因此 ,二次函数图象是轴对称图形 ,但它不是中心对称图形 .这里 ,我们自然会想到三次函数 ｙ =ａｘ3+ｂｘ2 +ｃｘ +ｄ(ａ≠ 0 )的图形是否具有对称性 ,如果有的话 ,图形究竟是成中心对称还是成轴对称 ?2 .考察几个特殊情形…     

不等式a~3/x~2+b~3/y~2≥(a+b)~3/(x+y)~2的另证

文 [1 ]中谭志中和单老师为解决一类电场问题提出了一个不等式 ,即对于任意的ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,有不等式ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 成立 .(其中等号成立当且仅当ａｙ =ｂｘ ａｘ=ｂｙ) .文中为证明上述不等式 ,构造了恒等式 ,即 :ｆ (ｘ ,ｙ) =ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 =(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 +(ａｙ -ｂｘ)ｘｙ(ｘ + ｙ)ａｘ+ ｂｙ+ ａ +ｂｘ + ｙ .构造虽然巧妙 ,但一时不易让人接受 ,下面给出此不等式的另一种证法 .证　由于ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ+ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 (ｘ2 + ｙ2 + 2ｘｙ)·ａ3ｘ2 + ｂ3…     

一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论

.定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列 {ａｎ}满足递推关系ａｎ 1=ｂａｎ ｃａｎ -1,ａ1=0 ,ａ2 =1 ,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .证　 1 )当ｎ =2时 ,由题意知ａ1=0 ,ａ2=1 ,ａ3 =ｂａ2 ｃａ1=ｂ .从而方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ-ａｎｃ =0即为ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0 .显然方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0的根ｘ0 也是ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 .所以 ,当ｎ =2时命题成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ 2 )时命题成立 .即方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的…     

巧换元解不等式

在高三复习阶段 ,我遇到了这样一道题目 :设ａ ,ｂ,ｃ为三角形的三边 ,求证 :ａｂ +ｃ-ａ+ ｂａ +ｃ-ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ≥ 3.解答如下 :证明　令ｂ +ｃ -ａ =ｘ ,ａ +ｃ -ｂ =ｙ ,ａ+ｂ -ｃ =ｚ .则ａ =ｙ +ｚ2 ,　ｂ =ｘ +ｚ2 ,　ｃ =ｘ + ｙ2 .∴　 ａｂ +ｃ -ａ+ ｂａ +ｃ -ｂ+ ｃａ +ｂ -ｃ　 =ｙ +ｚ2ｘ + ｘ +ｚ2ｙ + ｘ + ｙ2ｚ　 =12 (ｙｘ+ ｚｘ+ ｘｙ+ ｚｙ+ ｘｚ+ ｙｚ)　≥ 12 ·66ｙｘ·ｚｘ·ｘｙ·ｚｙ·ｘｚ·ｙｚ　 =3.(证毕 )总结　对于给出的条件或待求的结论比较繁琐时 ,可首先考虑将其中的一个整体进行换元 ,从而达到解…     

方程ax~2 b|x| c=0根的讨论

众所周知 ,对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0(ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ) ,当Δ =ｂ2 - 4ａｃ≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ=0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1　在实数集内根的情况结论 1　对方程ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ =0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ) (Ⅰ )当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0- ｂ2ａ>0ａｃ>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0ａｃ<0 (2 )时 …     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

初三代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .若关于ｘ的方程 (ｍ -2 ) 2 ｘ2 +(2ｍ +1 )ｘ +1 =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是 (　 ) .Ａ .ｍ≤ 34　　　　　　Ｂ .ｍ <34Ｃ .ｍ≥ 34且ｍ≠ 2　Ｄ .ｍ >34且ｍ≠ 22 .在一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )中 ,若ａ与ｃ异号 ,则方程 (　 ) .Ａ .有两个相等的实数根Ｂ .有两个不相等的实数根Ｃ .没有实数根Ｄ .根的情况无法确定3 .若解分式方程 2ｘｘ +1 -ｍ +1ｘ2 +ｘ=ｘ +1ｘ 产生增根 ,则ｍ的值是 (　 ) .Ａ . -1或 -2　Ｂ . -1或 2Ｃ . 1或 2　Ｄ .1或 -24.用换元法解方…     

一元二次方程根的判别式应用举例

初中数学中一元二次方程根的判别式的应用相当广泛 ,为使同学们在复习中系统地掌握其应用 ,现将它们归纳如下 ,供同学们参考 .应用一 :不解方程 ,判断方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 ( 3ｘ - 5) (ｘ - 3 ) =1 0的根的情况 .解 :整理原方程 ,得　　　 3ｘ2 - 1 4ｘ + 5=0 .∵△ =( - 1 4 ) 2 - 4× 3× 5>0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ时 ,方程一定要化为一般形式ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) .应用二 :确定方程 (组 )中未知字母的取值或取值范围例 2　ｍ取何值时 ,方程 ( 2ｘ - 2 ) (ｘ - 2 ) =ｍ无…     

数学“尾巴”不可丢

在数学学习中 ,我们可以发现 ,有很多的数学概念、公式、定理等都有一定附加条件 ,而为了叙述的方便 ,往往以括号的形式给出 .我们经常形象地称之为“尾巴” .例如 ,双曲线的定义 :平面内与两个定点Ｆ1、Ｆ2 的距离的差的绝对值是常数 (小于 |Ｆ1Ｆ2 |)的点的轨迹叫双曲线 ;二次函数的定义 :形如ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的函数叫二次函数 ;反三角函数的定义 :函数ｙ=ｓｉｎｘ(ｘ∈ [-π2 ,π2 ])的反函数叫反正弦函数 ;等比数列的求和公式 :Ｓｎ =ａ1( 1 -ｑｎ)1 -ｑ (ｑ≠ 1 ) ;反正弦函数的性质 :ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) =ｘ　 (ｘ∈…     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

二次六项式分解的又一结果

文 [1 ]用微积分方法 ,[2 ]用配方法 ,给出了二次六项式Ｐ(ｘ ,ｙ) =ａｘ2 ｂｘｙ ｃｙ2 ｄｘ ｅｙ ｆ(ａ ≠ 0 ) (1 )分解为二个一次三项式之积的一个相同结果 .本文用待定系数法又得到一个新的结果 ,现叙述如下 :在复数域上设Ｐ(ｘ ,ｙ) =ａ(ｘ ｂ1 ｙ ｃ1 ) (ｘ ｂ2 ｙ ｃ2 )将上式右边展开可得Ｐ(ｘ ,ｙ) =ａｘ2 ａ(ｂ1 ｂ2 )ｘｙ ａｂ1 ｂ2 ｙ2 ａ(ｃ1 ｃ2 )ｘ ａ(ｂ2 ｃ1 ｂ1 ｃ2 )ｙ ａｃ1 ｃ2 (2 )比较 (1 )式与 (2 )式右边同类项系数便有ｂ1 ｂ2 =ｂａ 　①ｂ1 ｂ2 =ｃａ　②　ｃ1 ｃ2 =ｄａ　③ｃ1 ｃ2 =ｆａ 　④及…