函数f（x）与f^—1（x）图象的交点一定落在直线y=x上吗？

最近碰到这样一个题目 :已知函数 ｙ =ａｘ ｂ的图象与它的反函数的图象有一个交点Ｍ ( 1,2 ) ,则两个函数图象共有交点(　　 )(Ａ) 1个 .　　　　　 (Ｂ) 2个 .(Ｃ) 3个 .　　　　　 (Ｄ) 4个 .分析 :注意到“互为反函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称” ,则点Ｍ关于直线 ｙ =ｘ的对称点Ｍ′( 2 ,1)也一定是它们的交点 .于是我选了 (Ｂ) .但书后的答案是 (Ｃ) .经过一番思索 ,我终于明白了 (Ｃ)为什么是正确答案 .将点Ｍ ( 1,2 ) ,Ｍ′( 2 ,1)代入 ｙ =ａｘ ｂ中 ,可得2 =ａ ｂ ,1=2ａ ｂ ,解得 ａ =- 3,ｂ =7.∴函数 ｙ =ａｘ ｂ的解析式…     

一元二次函数的最大(小)值问题

我们知道 ,一元二次函数 ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ在其定义域 (-∞ , ∞ )上 ,当ａ >0时 ,函数在ｘ =- ｂ2ａ处取得最小值4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ <0时 ,函数在ｘ =- ｂ2ａ处取得最大值4ａｃ-ｂ24ａ .　　下面我们讨论如果限定某个闭区间 [ｍ ,ｎ]而不是在 (-∞ , ∞ )上来求 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的最大 (小 )值的问题 .由二次函数 ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ (ａ≠ 0 )的图象可知 ,在任何闭区间上 ,函数既有最大值 ,也有最小值 ,且最大值或最小值只能在顶点处或闭区间的端点处取得 ,解题的关键在于考虑顶点的横坐标是否属于该区间 .例 1　 (北京高一 1 996年…     

An Elementary Method on a Minimization Problem

一、ＴｈｅＰｒｏｂｌｅｍ .Ｌｅｔｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ ａｘ2 ｐｘ ｑ,ｗｈｅｒｅａ >0 ,ｂ2 - 4ａｃ≤ 0ａｎｄｐ2 - 4ａｑ≤ 0 .ＯｕｒＰｒｏｂｌｅｍｉｓ“Ｗｈｅｔｈｅｒｄｏｅｓｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)ｅｘｉｓ?Ｍｏｒｅｏｖｅｒ ,,ｉｆｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)ｅｘｉｓｔｓ,ｔｈｅｎｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)=?ａｎｄｉｎｔｈｉｓｃａｓｅｘ =?” .Ｎａｔｕｒａｌｌｙ ,ｗｅｋｎｏｗｔｈａｔｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)ｅｘｉｓｔｓｆｒｏｍｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ.Ａｌｓｏ,ｗｅｃａｎｇｉｖｅｔｈｅ…     

一个最大值题解“一病三治”

题目　已知ａ2 +ｂ2 =1,ｘ2 +ｙ2 =4,求ａｘ+ｂｙ的最大值 .病症　∵　ａ2 +ｘ2 ≥ 2ａｘ　 (当且仅当ａ=ｘ时取等号 ) ,ｂ2 +ｙ2 ≥ 2ｂｘ　 (当且仅当ｂ =ｘ时取等号 ) .∴　ａｘ +ｂｙ≤ 12 (ａ2 +ｘ2 +ｂ2 +ｙ2 )　 =12 [(ａ2 +ｂ2 ) + (ｘ2 +ｙ2 ) ]①答 :ａｘ +ｂｙ的最大值为 52 .诊断　①式中取等号的条件是ａ =ｘ ,ｂ =ｙ同时成立 ,即ａ2 +ｂ2 =ｘ2 +ｙ2 成立 .这与已知条件矛盾 .病因是忽略了均值不等式中取等号的条件 .处治一　∵　 (2ａ) 2 +ｘ2 ≥ 4ａｘ　 (当且仅当 2ａ =ｘ时取等号 ) ,　　 (2ｂ) 2 +ｙ2 ≥ 4ｂｙ　 (当且仅…     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

二次六项式分解的又一结果

文 [1 ]用微积分方法 ,[2 ]用配方法 ,给出了二次六项式Ｐ(ｘ ,ｙ) =ａｘ2 ｂｘｙ ｃｙ2 ｄｘ ｅｙ ｆ(ａ ≠ 0 ) (1 )分解为二个一次三项式之积的一个相同结果 .本文用待定系数法又得到一个新的结果 ,现叙述如下 :在复数域上设Ｐ(ｘ ,ｙ) =ａ(ｘ ｂ1 ｙ ｃ1 ) (ｘ ｂ2 ｙ ｃ2 )将上式右边展开可得Ｐ(ｘ ,ｙ) =ａｘ2 ａ(ｂ1 ｂ2 )ｘｙ ａｂ1 ｂ2 ｙ2 ａ(ｃ1 ｃ2 )ｘ ａ(ｂ2 ｃ1 ｂ1 ｃ2 )ｙ ａｃ1 ｃ2 (2 )比较 (1 )式与 (2 )式右边同类项系数便有ｂ1 ｂ2 =ｂａ 　①ｂ1 ｂ2 =ｃａ　②　ｃ1 ｃ2 =ｄａ　③ｃ1 ｃ2 =ｆａ 　④及…     

初二代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 :(每小题 2分 ,共 3 0分 )1 .下列因式分解正确的是 (　 ) .Ａ .ａｍ ａｎ -ｂｍ -ｂｎ=(ａ-ｂ) (ｍ -ｎ)Ｂ .ｍ2 4ｍｎ-ｎ2 4=(ｍ -ｎ 2 ) (ｍ -ｎ -2 )Ｃ . 2ａ2 4ａｂ 2ｂ2 -8ｃ2 =(2ａ 2ｂ 4ｃ) (2ａ 2ｂ -4ｃ)Ｄ .ｘ3 ｃｘ2 ｂｘ2 ｂｃｘ=ｘ(ｘ ｂ) (ｘ ｃ)2 .当ｘ-ｙ =1时 ,ｘ4-ｘｙ3 -ｘ3 ｙ -3ｘ2 ｙ 3ｘｙ2 ｙ4的值为 (　 ) .Ａ . -1　　Ｂ . 0　　Ｃ . 2　　Ｄ . 13 .若ｘ2 ｍｘ ｎ =(ｘ -1 ) (ｘ 2 ) ,则ｍ ,ｎ的值是 (　 ) .Ａ .ｍ =1 ,ｎ =2　　Ｂ .ｍ =1 ,ｎ =-2Ｃ .ｍ =-1 ,ｎ =2Ｄ .ｍ =-1 ,ｎ =-24.使分式 ｘ 22ｘ-6有意义的ｘ的取值是 (　 ) .Ａ .ｘ=3　Ｂ .ｘ=-2　Ｃ .ｘ≠ 3　Ｄ .ｘ≠ -25 .若ｘｎ-ｙｎ 可分解为 (ｘ ｙ) (ｘ -ｙ) (ｘ2 ｘｙ ｙ2 ) (ｘ2 -ｘｙ ｙ2 ) ,则ｎ的值是 (　 ) ...     

求解含有绝对值的“三个二次”综合题的五个着眼点

中学数学中的“三个二次”是指二次函数、二次方程、二次不等式 .以二次函数为中心 ,用它的图象和性质串联另外两个“二次”以及其他知识组成的综合题是历年高考的重点 .含有绝对值的“三个二次”综合题乃重中之重 ,解答这类问题常从以下几个方面考虑 .1　运用公式 | |ａ| - |ｂ| |≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|例 1　函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 ) ,若函数ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ =ｘ和ｙ =-ｘ均无公共点 ,求证 :1) 4ａｃ -ｂ2 >1;2 )对一切实数ｘ ,恒有 |ａｘ2 +ｂｘ +ｃ| >14 |ａ| .分析 :1)略 .2 ) |ａｘ2 +ｂｘ …     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

n元一次不定方程解法新论

文 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]都研究了ｎ元一次不定方程的通解问题 ,受 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]的启发 ,笔者提出更为简捷有效的解法 .ｎ元一次不定方程ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ ,其中ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,Ａ都是整数 ,当 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ)｜Ａ时 ,ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ必有整数解 .在有整数解的前提下 ,不妨设 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ) =1 (下同 ) .1　二元一次不定方程二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｚ ,(ａ,ｂ) =1下同 )的所有整数解为ｘ=ｘ0 +ｂｔｙ=ｙ0 -ａｔ(ｔ∈Ｚ)其中ｘ0 ,ｙ0 是ａｘ+ｂｙ =ｃ的一个特…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

关于判别式的其它两种用法

对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0 ,其判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ ,我们常用判断式来判断一元二次方程解的个数 .其实 ,判别式在求分式函数的解析式、求分式函数的值域中也有着重要的作用 .下面通过实例来说明 .1　判别式在求分式函数解析式中的应用例 1　已知函数ｙ =ｍｘ2 4 3ｘ ｎｘ2 1(其中ｍ ,ｎ为实数 )有最大值 7,最小值 - 1,求函数ｙ的解析式 .　分析 :此题主要是确定ｍ ,ｎ的取值 ,如果直接将ｙ用 7,- 1代替 ,只能得到含未知量ｍ ,ｎ ,ｘ的一个方程组 ,显然由两个方程是不能得出ｍ ,ｎ的确切值的 .我们要设法找到 ｙ与ｍ ,ｎ的直…     

一次函数的最大值和最小值

一次函数ｙ =ａｘ ｂ是一个最简单的初等函数 ,假如ａ≠ 0 ,它在坐标平面上表示一条与ｘ轴不平行的直线 ,因此它在整个实轴上既无最大值 ,也无最小值 .但是 ,在任意有限区间 [α ,β]上 ,它总有最大值和最小值 .当ａ >0时 ,ｙ是严格单调递增的 ;当ａ <0时 ,ｙ是严格单调递减的 .因此 ,当ａ≠ 0时 ,ｙ的最大值和最小值总是在区间 [α ,β]的某一个端点处取到 .假如ａ =0 ,那么ｙ =常数ｂ ,ｙ在整个实轴上处处取到最大值和最小值 .我们以 ｆ(ｘ)表示ａｘ ｂ ,以 ｍａｘα≤ｘ≤βｆ(ｘ)和ｍｉｎα≤ｘ≤βｆ(ｘ)分别表示 ｆ(ｘ)在 [α ,β]…     

巧用数学思想 探求三角最值

本文通过一道三角函数例题 ,说明函数最值的一些通常求法 .例　求函数ｙ =ｓｉｎｘ2 ｃｏｓｘ的最值 .思路 :本题可从化归思想出发 ,设法把函数变成ａｓｉｎ(ωｘ φ) =ｂ型 ;或借助万能公式 ,把函数转化成只含正切的函数 ;或寻求函数的几何背景 ,用数形结合的办法求出函数的最值 .解法 1　应用有界性将原函数变形 ,得2 ｙ ｙｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ,即ｓｉｎｘ -ｙｃｏｓｘ =2 ｙ ,∴ ｙ2 1ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙ ,其中 φ =ａｒｃｔｇｙ .∴ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙｙ2 1,则 2ｙｙ2 1≤ 1.解之得- 33≤ｙ≤ 33,∴ ｙｍａｘ=33,ｙｍ…     

对"椭圆和双曲线第二定义"教材处理的几点建议

人民教育出版社出版的高中数学高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 ) (以下简称课本 )第 78页 ,是这样引入椭圆第二定义的 :图 2 -18“例 3　点Ｍ(ｘ ,ｙ)与定点Ｆ(ｃ,ｏ)的距离和它到定直线Ｌ:ｘ =ａ2ｃ 的距离的比是常数ｃａ(ａ >ｃ>0 ) .求点Ｍ的轨迹 (图 2 -1 8) .解　设ｄ是点Ｍ到直线Ｌ的距离 .根据题意 ,所求轨迹就是集合Ｐ =Ｍ ＭＦｄ =ｃａ ,由此得 (ｘ-ｃ) 2 +ｙ2ａ2ｃ -ｘ=ｃａ 将上式化简 ,得 :(ａ2 -ｃ2 )ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 (ａ2 -ｃ2 ) ,设ａ2 -ｃ2 =ｂ2 (ｂ>0 ) ,就可化成ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 .这是椭圆的标准方程 ,所…     

构造函数f(x)=sum from i=1 to n()(a_ix-b_i)~2证明不等式

函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 =(ａ1ｘ -ｂ1) 2 + (ａ2 ｘ -ｂ2 ) 2 +… + (ａｎｘ -ｂｎ) 2 是关于ｘ的二次函数且具有特点 :①二次项系数大于 0 ;②函数值 ｆ(ｘ)≥ 0 .则有其判别式Δ≤0 .某些不等式证明题 ,若能根据已知条件和结论的特点 ,巧构函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 ,从而利用 ｆ(ｘ)≥ 0 ,Δ≤ 0可轻松获解 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ且ａ + 2ｂ + 3ｃ=6 ,求证 :ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 ≥ 6 .证　构造函数 ｆ(ｘ) =(ａｘ - 1 ) 2 + ( 2·ｂｘ - 2 ) 2 + ( 3ｃｘ - 3) 2 =(ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 )·ｘ2 - 1 2ｘ + 6…     

反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…