给一道课本习题“换外衣”

人教版初一代数第一册(上)第一章第23页B组题第3题题1 3个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一个队都与其它所有的队各赛一场),总的比赛场数是多少?4个球队呢?5个球队呢?写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式.     

再谈足球与不等式

文[1]中提出一个有趣的问题：足球与不等式,现摘录如下：某学校进行足球冠军赛,比赛采用单循环制,即每个球队都和其余球队进行一场比赛．先规定好每场比赛中,胜队得2分,败队得0分,出现平局两队各得1分．比赛结果是有一队的得分最高,超过其他任何球队的分数,但它所赢得的场数却比其他任何球队都少．少     

漫画趣题

选自《超时空数学之旅》漫画趣题答案第一题有三种排法 :第一节第二节第三节第四节( 1 )数学语文外语体育( 2 )数学外语语文体育( 3 )外语数学语文体育第二题甲桶有水 5升 .第 1次倒水后 ,两桶中的水一样多 ,都是1 0× 12 =5(升 ) ;第 2次 ,从乙桶倒出的水是 5×13 升 ,这时甲桶内有水 5× ( 1 +13 )升 ;第 3次 ,甲桶倒入乙桶的水是 5× ( 1 +13 )× 14=5×43 ×14=5× 13 升 ,恰好等于第 2次乙桶倒入甲桶的水 .这说明 ,经过 2、3两次 ,两只桶里的水又一样多了 .这中间的规律是 :从第 2次起 ,乙桶倒入甲桶的水 ,总是和下一次从甲桶倒回乙桶…     

漫画趣题

漫画趣题答案第一题(1)至少要翻看标有a、9的两张卡片 .(2 )至少要翻看标有 f、4的两张卡片 .第二题3 5 3 5张邮票 .设胡子博士有m张邮票 ,则3 0 3 =m(1-15 -n7) ,即m =3 0 3× 3 52 8-5n.只有n =5时 ,m才是自然数 ,m =3 5 3 5 .第三题最少取 2 6个贝壳 .共有 4组不同取法 :(1)取 2 3个 7克的和 3个 3克的 ;(2 )取 2 2个 7克的、2个 5克的和 2个 3克的 ;(3 )取 2 1个 7克的、4个 5克的和 1个 3克的 ;(4 )取 2 0个 7克的和 6个 5克的 .第四题填 9.每个数字都等于它两边线条的和 .漫画趣题@李毓佩 @林航 @王皓…     

两类求和问题的组合模型

二项式定理的一个重要应用就是证明与组合数有关的恒等式 ,这种恒等式实际上就是某类数列之和 ,这启示我们可以通过构造组合模型计数的方法来求一类数列的和 .下面的例子在高中课本中都是用数学归纳法证明的 ,学生可能会问 :怎样由等式的左边导出它的右边呢 ?本文的方法正好给出了一种回答 .例 1　 1× 2× 3…ｋ 2× 3× 4… (ｋ 1) 3× 4× 5… (ｋ 2 ) …ｎ(ｎ 1) (ｎ 2 )… [ｎ (ｋ - 1) ] =1ｋ 1(ｎ ｋ) (ｎ ｋ - 1)… (ｎ 1)ｎ .证　考虑取自数集Ｓ ={1,2 ,3 ,… ,ｎ ｋ}且排尾取最大值的 (ｋ 1) -排列 .首先 ,全体 (ｋ…     

漫画趣题

漫画趣题答案第一题独眼海盗原有 84元 ,红鼻子警长原有 5 6元 .两人共用去 14 0 -4 2 =98(元 ) ,设独眼海盗原有x元 ,则23 x + 34(14 0 -x) =98,x =84(元 ) .第二题816小时 .他们“2小时打完稿件的 13 ” ,可知他们 3人打 1小时可打完稿件的 13 ÷ 2 =16.又由于甲、乙、丙的工作效率的比是 3∶2∶1,可得他们的工作效率为 16× 33 + 2 + 1=112 ,16× 23 + 2 + 1=118,　16× 13 + 2 + 1=13 6.假如甲、乙中途没有出去开会或办事 ,3个人共同打 ,只需 2÷ 13 =6(小时 )可打完 .甲、乙因事没打的工作量为 112 × 3 + 118× 2 =133 6,这部分工作量…     

轮换数的求和问题

我曾看过这样一篇文章 ,文中说一个两位数与它的倒转数的和都是 1 1的倍数 ,并且这个和除以 1 1的商 ,正好是这个两位数个位、十位上数字的和 .例如 :6 3+ 36 =( 6 + 3)× 1 1 .看完这篇文章后 ,我不禁想到这样一个问题 :既然两位数有上述规律 ,那三位、四位数是否也有类似规律可寻呢 ?那么就让我们一起来探讨一下吧 !如 :2 34+ 2 4 3+ 32 4 + 342 + 4 2 3+ 4 32 =1 998=2× ( 2 + 3+ 4 )× 1 1 1 ,348+ 384 + 4 38+ 4 83+ 834+ 84 3=3330=2× ( 3+ 4 + 8)× 1 1 1 .观察每个算式左边六个数 ,我发现每个加数都是相同数字组成的三位数在百位…     

漫画趣题

~~漫画趣题答案第一题第 3只杯子 .第二题Ｆ赛了 3局 .可用画图的方法来思考 .先标出Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ ,再从Ａ开始联线 .第三题最少需要 4种颜色 .因为在 2× 2的棋盘上 ,任何两格都可以由国王的一步走动而连接起来 ,4种颜色所以够用 .如果把 2× 2棋盘并列起来 ,用Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示 4种不同颜色 ,会有下面所示排列 :Ａ　Ｂ　Ａ　Ｂ　……Ｃ　Ｄ　Ｃ　Ｄ　……Ａ　Ｂ　Ａ　Ｂ　……Ｃ　Ｄ　Ｃ　Ｄ　……第四题最少有 2 6张 .如果 4个人没背下来的单词互不相同 ,那么最多有 ( 10 0 - 89) +( 10 0 - 82 ) +( 10 0 - 78) +( 10 0 -77)…     

关于连乘积末尾零的个数

1×2×3×…×100积的末尾有多少零呢? 我们知道,一个2和一个5相乘,积的末尾有一个0;两个2与两个5相乘,积的末尾有两个0,…要确定连乘积末尾零的个数,就得搞清连乘积中因子2与因子5的个数.当因子2与因子5的个数不等时,多余的因子就不会使积的末尾的零增加.在1×2×3×…×100的积中,显然2的个数多于5的个数,因此,求其连乘积末尾零的个数,实际上就是求1到100这一百个连续自然数中含5的总个数. 在连续自然数中.从1数起,每5个数.恰有一个数至少含有一个5;每5~2个数,恰有一个数至少含有两个5……因此,我们只要用100除以5,就能得到至     

说说平方数

<正>说起平方数(也叫正方形数),同学们都很熟悉,如1,4,9,16,…都是平方数.那么,平方数都有哪些性质呢?下面就归纳总结一下,供同学们赏析.(一)任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和.如4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15等.那么,什么是三角形数呢?可以表示为1+2+3+…+n(n为正整数)的形式的数称为三角形数,如1,3,6,10,15,…都是三角形数,     

转变观念拓广思路证题

证明与自然数有关的等式或不等式 ,一般用数学归纳法 ,但用此法证有时会碰壁或运算繁杂或效果欠佳 .若转变观念 ,跳出定势思维的束缚 ,采取求异思维 (即发散思维 ) ,积极探索别的证题途径 ,往往会得到新颖、简捷的证明 .1　构造数列例 1　求证 1· 2 · 3 2 · 3·4 … ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) =14ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) (ｎ 3) (高中代数课本下册Ｐ1 32 ) .分析　课本上用数学归纳法证 .是否有其它证法呢 ?观察此数列有 3个特点 :(1 )共有ｎ项 ,各项的因数个数相同 ;(2 )各项的第一、第二、第三个因数分别组成公差相同的等差数列 ;(3)从第 2项起 …     

“握手问题”的举一反三

<正>问题(苏科版七年级数学上册,第92页,第11题)3个朋友在一起,每两个人握一次手,他们一共握了几次手?4个朋友在一起呢?n个朋友在一起呢?解法一3个人(假设为甲、乙、丙)在一起,则甲要跟乙和丙握一次手,共握手2次,乙只需要跟丙握手1次,所以,握手次数一共是2+1=3次;     

用递推公式求一个不定方程的正整数解

“二十名选手进行象棋循环赛,每两个都要互相比赛一场,问共需赛多少场?” 这是我校举行象棋比赛时碰到的实际问题。这个问题对未学过排列组合的人来说,并非是轻而易举的。当时,我试验让一学生解此题,多数人用“凑”的办法花了许多时间才得到     

争鸣

问题　　 问题 72 　两名战士在一次射击比赛中 ,战士甲得 1分、2分、3分的概率分别为 0 .4 ,0 .1,0 .5 ;战士乙得 1分、2分、3分的概率分别为 0 .1,0 .6 ,0 .3,那么两名战士得胜希望大的是 .解 1　甲的期望Eξ1=1× 0 .4 + 2× 0 .3+ 3× 0 .5=2 .5 ,乙的期望Eξ2 =1× 0 .2 + 2× 0 .6 + 3× 0 .3=2 .2 ,所以甲胜的希望大 .解 2　记事件A ,B ,C分别为在这次射击比赛中 ,“甲胜”、“乙胜”、“甲乙得分相等” ,事件A1,A2 ,A3 分别为“甲得 2分 ,乙得 1分”、“甲得 3分 ,乙得 1分”、“甲得 3分 ,乙得 2分” ,显然P(A) =P(A1) +P(A2…     

一题多解的又一例证

椭圆x23 +y2 =1上的哪个点离直线x +y-4=0最远 ?哪点离它最近 ?该题是有关椭圆与直线位置关系的一个常见题目 ,不难求解 .但仔细分析会发现该题有多种解法 ,现列举五种如下 :首先画出图形 :[法一 ]　设点M(x ,y)是椭圆上的任一点 ,则它到直线x+y - 4=0的距离为 :d=｜x+y- 4｜2= 22 ｜x+y - 4｜ ,而点M(x ,y)在椭圆上 ,所以 :y=± 13 3-x2故 :d=22 ｜x± 13 3-x2 - 4｜ .令e=x± 13 3-x2 ,整理得 :4x2 - 6ex+ 3(e2 - 1 ) =0 .因其判别式必大于零 ,即 :( - 6e) 2 + 4 × 4× 3(e2 - 1 ) ≥ 0 ,解之得 :- 2 ≤e≤ 2 .很明显当e=2时 ,d最小 ;当…     

对一道题目的探究

初二、初三年级的同学都解过这道题 ,但这道题究竟是两解 ,还是多解 ?在许多同学心中至今还是个谜 .下面笔者与大家共同对这道题作一研究 .题目　若一元二次方程的两根之比是2∶3 ,其判别式的值等于 4,求这个方程 .分析　一般同学们的解法是先将方程的两根分别设为 2k、3k .利用韦达定理作一个一元二次方程 .利用已知条件Δ =4,建立关于k的方程 ,从而求解 .解法一　设所求方程的两根为 2k、3k .故所求方程为x2 -(2k + 3k)x + 2k·3k =0 ,即　x2 -5kx + 6k2 =0 .因为　Δ =4,所以　 2 5k2 -4× 6k2 =4,即　k2 =4,所以　k =± 2 .所以所求的方…     

课外练习

初一年级1 .图中每个三角形的顶点都放有数字 ,请仔细观察 ,在Ｂ中三角形内填上适当的数 .(江苏省兴化市周庄高级中学 ( 2 2 5 71 1 )　张乃贵　段　萍 )2 .若Ａ =1 0 0 3× 1 0 0 4×…× 2 0 0 4,　Ｂ =1× 3× 5×…× 2 0 0 3.求 ＡＢ的值 . ( (北京 )　含　笑 )3.设有一个边长为 1的等边三角形 ,记作Ａ1(如图 1 ) ,将Ａ1 的每条边三等分 ,在中间的线段上向形外作等边三角形 ,去掉中间的线段后所得到的图形记作Ａ2 (如图 2 ) ,将Ａ2 的每条边三等分 ,并重复上述过程 ,所得到的图形记作Ａ3 (如图 3) ;依上述规则可得图形Ａ4 ,那么 ,Ａ4 …     

积的幻方

第七届新西兰达尼丁——中国上海初中数学友谊通讯赛(98年底)第八题,是一道3×3的“魔方”填数题,它给出了九个数据:1/4,1/2,1,2,4,8,16,32,64,填入方格中,使得所有行、列及对角线上各数的乘积相等,问图1中“×”格中的数应是几?     

“开放型题”及其思维对策

89年全国高考(理工类)数学试题第23题是:“是否存在常数a、b、c使得等式1·2~2+2·3~2+…+n(n+1)~2=n(n+1)/12(an~2+bn+c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论.”     

三道“通讯杯”赛题的图象解法

图象法素有直观、简明之称 ,我们可从三道“通讯杯”赛题的解法中体验利用图象数形结合的解题魅力 .第 4题　奇函数 ｆ(ｘ)在区间 ( -∞ ,0 )上单调递减 ,ｆ( 2 ) =0 ,则不等式 (ｘ - 1 )·ｆ(ｘ + 1 ) >0的解集为 (　　 )(Ａ) ( - 2 ,- 1 )∪ ( 1 ,2 ) .(Ｂ) ( - 3,1 )∪ ( 2 ,+∞ ) .(Ｃ) ( - 3,- 1 ) .(Ｄ) ( - 2 ,0 )∪ ( 2 ,+∞ ) .解　依题意 ,可画出符合条件的函数ｆ(ｘ) 的一个图象 (图 1 ) ;将 ｆ(ｘ)的图象向图 1　第 4题解答用图　　　　图 2　第 4题图解答用图左平移一个单位得到 ｆ(ｘ + 1 )的图象 (图2 ) .不等式 (ｘ - 1 ) …