小议变上限的定积分

设函数f(x)在[a，b]上可积，则对任何x∈[a，b]，定积分∫a^x f(t)dt定义了区间[a，b]上的一个关于x的函数F(x)，称为“变上限的定积分”，即F(x)=∫a^x f(t)dt，且若函数f(x)在[a，b]上连续，则d/dx∫a^xf(t)dt=f(x)，x∈[a，b]，它表明变上限的定积分，在被积函数连续时，是被积函数的原函数。     

关于一个积分不等式的证明

分别利用定积分的定义、Cauchy中值定理、积分变限函数、参数法以及二重积分等证明积分不等式∫01f2(x)dx≥∫01f(x)dx2,其中f(x)在闭区间[0,1]上连续.同时归纳出证明积分不等式的几种典型方法.     

关于广义积分定义的一个注记

广义积分作为定积分的推广 ,在高等数学中有着较为广泛的应用 .但许多高等数学方面的教材(甚至有些数学分析教材 )对于广义积分定义的处理还有失严谨 .如文献 [1 ],[2 ],[3 ]在给出函数f( x)在无穷区间 [a,+∞ )上的广义积分的定义时 ,都是采用如下的叙述方式 :定义 1　设函数 f( x)在区间 [a,+∞ )上连续 ,取 b>a,如果极限 limb→ +∞∫baf ( x) dx存在 ,则称此极限为函数 f ( x)在无穷区间 [a,+∞ )上的广义积分 ,记作∫+∞a f ( x) dx ,即∫+∞a f ( x) dx =limb→ +∞∫baf ( x) dx.这时也称广义积分∫+∞a f ( x) dx收敛 ;如果上述极限…     

定积分的简化计算

通过改变被积函数形式实现定积分计算简化。即通过变量代换，将对被积函数为f（x）的定积分转化为对被积函数为f（x）＋f（a＋b-x）的定积分,从而使得一些定积分的计算过程得以简化，黄给出几种推广形式．     

定积分的计算问题

计算定积分最基本的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式:设函数f(x)在[a,b ]上连续,且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则     

利用二重积分证明积分不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题 ,会给解题带来方便 .本文通过几个范例说明利用二重积分证明积分不等式的方法 .例 1　设函数 f (x)与 g(x)在 [a,b]上连续 ,证明 Cauchy-Schwarz积分不等式(∫baf (x) g(x) dx) 2≤∫baf 2 (x) dx∫bag2 (x) dx　　证明　记积分区域 D =[a,b]× [a,b],利用定积分与积分变量符号无关的性质等 ,有(∫baf (x) g(x) dx) 2 =∫baf (x) g(x) dx∫baf (y) g(y) dy = Df (x) g(x) f (y) g(y) dxdy≤ D12 [f2 (x) g2 (y) f2 (y) g2 (x) ]dxdy=12 ∫baf 2 (x) dx∫bag2 (y) dy 12 ∫baf …     

用定积分形式定义的不定积分

设f(x)有界且有原函数,把f(x)按照一定条件先限制再延拓到(-∞,+∞),得F(x).令x为自变量,s为参数,则形式定积分∫sxF(t)dt就是f(x)的不定积分.因此,不定积分可以看成另一种形式的定积分.是上限与下限都不定的定积分.     

常义和广义下f(x)的可积,绝对可积与平方可积关系的探讨

<正> 一、引言学习过数学分析的读者部知道,在常义积分(定积分)中,若函数f(x)可积,则可利用定积分存在的充要条件证明|f(x)|他可积,但反之不然。而在广义积分中情况恰恰相反,即若|f(x)|可积,则可利用广义积分存在的充要条件—柯西收敛准则证明f(x)也可积,反之也不然。关于这两个命题,在一般数学分析参考书中都给予严格证明,这里不再赘述。关于这两个命题之逆不真,只需多举一个例子:在常义积分下, f(x)=1 x为有理数f(x)=-1 x为无理数显然由于ωi≡2知∫_0~1 f(x)dx不可积,但|f(x)|≡1 显然∫_0~1 f(x)dx可积。在广义积分下,∫_1~(+∞) sinx/x dx 由荻利克勒判别法知它是收敛的,但∫_1~(+∞) |sinx/x|dx     

利用定积分求分段表示的函数的不定积分

分段表示的函数的不定积分的求法通常采用逐段求其不定积分 ,但这样得出的结果会有几个积分常数 ,由于不定积分的任意常数只有一个 ,为求出最后结果 ,则要利用原函数必连续的条件 ,找出几个积分常数之间的关系 ,确定出不定积分的任意常数 (见 [1 ]) ,由于求函数 f(x)的不定积分∫f (x) dx =F(x) C,关键是求出它的一个原函数 F(x) .若注意到变上限函数 F(x) =∫xaf (t) dt满足 F′(x) =f (x) ,即 F(x)是 f (x)的一个原函数 ,则有∫f (x) dx =∫xaf (t) dt C于是 ,求函数 f(x)的不定积分问题 ,就可以转化为求定积分∫xaf (t) dt的问题 .…     

东南大学高等数学试题(150分钟)

一、填空题（每小题3分,共18分）2．设函数由方程确定,则3．曲线与x轴所围图形的面积可用定积分表示为5设f（x）=xe2x则函数f(n)（x）的极小值点为6数列{Xn}收敛的充分必要条件是二、选择题（单项选择,每小题4分,共16分）1．设若f在X=0处可导,则2已知曲线在点p有公共切线,则常数A与点p的坐标分别为3．方程在区间内的实根个数为4设f（X）可微,若定积分的值与工无关,则f（x）等于（A）cex（B）ce－xC）ce2x（D）ce－2x（c为任意常数）三、（每小题6分,共30分）1、计算积分3、计算定积分3．计算定积分4计算积分5设f（x）在x＝0的…     

计算定积分应注意的一个问题

例1 计算定积分解显然,上述结果是错误的,因为时,积分.导致上述错误的原因是:例1·本来是常义积分,被积函数经过适当变形后成了广义积分,利用计算定积分方法去计算广义积分必然出错.从另一方面来看,在应用Newton-L(?)ibniz公式计定算积分时应注意条件,公式要求:若f(x)在[a,b]上可积,F(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内有F′(X)=f(x),则有     

利用重积分证明定积分不等式趣例几则

在重积分的计算中,如果被积函数可以分解为地f(x)·g(y),则它在矩形区域(σ):a≤x≤δ;C≤y≤d上的积分可化为两个定积分的乘积来计算.即有:     

积分变上限函数的求导方法及其应用

我们知道,若f(x)在[a,b]上可积,则积分integral from n=a to b(f(x)dx)也是[a,b]上的一个函数,称为积分变上限函数。记为Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)。这里,积分上限和积分变量都用了字母x,但两者意     

一类数列不等式的几何背景溯源与拓展

<正>我们知道,当f(x)≥0时,定积分∫abf(x)dx的几何意义是:由:y=f(x),x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积(图1).利用定积分的几何意义,一些原本代数方法解答冗长复杂的函数或数列问题,可以迅速解决.下面,笔者从"对数平均不等式"的证明人手,讲解一类数列不等式几何背景的溯源与拓展.     

定积分的一个性质在证明不等式中的应用

高等数学中证明不等式的方法很多,本文介绍用读者熟知的定积分的如下性质,证明不等式的一些例子.性质 如果函数f(x),g(x)都在闭区间〔a,b〕上连续,且f(x)≤g(x)(X∈〔a,b〕),则integral from n=a to ∞(f(x)dx)≤integral (?)((x)dx);当且仅当f(x)=g(x)(X∈〔a,b〕)时,等式成立.     

二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧

<正> 在定积分计算中常用到一个重要的结论是:f(x)是区间[-a,a]上的连续函数,则integral from n=-a to a (f(x)dx=2 integral from n=0 to a (f(x)dx),当f(x)为偶函数时, integral from n=-a to a (f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时, 这个重要结论常说成“偶倍奇零”,它可以推广到对称区域D上的二重积分∫∫f(x,y)dxdy的计算问题中。为此,下面假设被积函数f(x,y)在对称区域D上连续,给出二重积分||f(x,y)dxdy的对称性计算的一般性结论。结论1 设积分区域D关于x轴对称,则     

关于积分方程的求解

在高等数学中,积分方程求解的方法是通过将其求导一次或数次转化为微分方程来进行的.值得注意的是:这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中,因此需要把它挖掘出来,从而使积分方程转化为一个初始问题.下面通过举例予以说明.例1　求满足方程∫x0f(t)dt=x ∫x0tf(x-t)dt的函数f(x).解　本题中由于变量x同时出现在积分上限和被积函数内,应先通过变量替换使被积函数内不含x,再利用变上限定积分的求导消去积分符号.令x-t=u,则dt=-du.于是∫x0tf(x-t)dt=-∫0x(x-u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du原方程变形为∫x0f(t)dt=x x∫x0f(t)dt-∫x0…     

关于分数阶积分与导数的性质

现将本文所用的预备知识叙述如下:1°假设f(x)在[a,b]上可积,当β>0,如果下列积分存在,则称fβ(x)为f(x)的β阶积分.如果f(x)是周期为2π的函数,同时f (x)在[0,2π]上的积分为零,这时f(x)的β阶积分由下列公式给出     

反常积分敛散性的根值判别法

由于积分与级数在理论上是统一的,因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和瑕积分的敛散性.设f(x)是[a,+∞)上的非负函数,li mx→+∞xf(x)=ρ,则当ρ1时,反常积分∫a+∞f(x)dx收敛,而当ρ1时,反常积分∫a+∞f(x)dx发散;设f(x)是(a,b]上的非负函数,a为瑕点,xli→ma+(f(x))x-a=ρ,则当ρ1时,反常积分∫abf(x)dx收敛,而当ρ1时,反常积分∫baf(x)dx发散.     

上取整函数和小数部分函数的积分公式

基于上取整函数y=〈x〉的定义与图象,给出当a>b时,积分∫ba〈x〉f′〈x〉dx∫,baf(〈x〉)dx的计算公式,当f(x)在[b,a]为单调函数时,积分∫ba〈f(x)〉dx的计算公式以及伴随小数部分函数{x}=〈x〉-x的两个积分公式∫0a{x}dx和∫ba{x}dx,并举例说明其应用.