关于整数矩阵的初等变换

《数学通报》1990年第1期刊登译文《求矩阵秩的一个新算法》(原载美国数学月刊)。该方法的优点,其一解决了住用行初等变换化阶梯形矩阵的过程中,“不知用那一行为基准行更为合适”,这样一个不确定性因素,其二,保证当A是整数矩阵时,变换过程中只需进行整数运算,     

求矩阵秩的一种新算法

求矩阵秩的一种新算法张裕生，李效忠（蚌埠高等专科学校）（合肥工业大学）为了求已知矩阵人的秩和它的行空间的一个基，我们总是使用矩阵的初等行变换把Ａ变成阶梯形矩阵，该阶梯形矩阵的非零行的个数即为矩阵Ａ的秩，而该阶梯形矩阵的各非零行则构成矩阵月的行空间的一...     

分块初等变换及应用

<正> 对分块矩阵施行下面三种变换称为分块矩阵的初等变换,简称矩阵A 的分块初等变换:(i)对调两行(列);(ii)以可逆矩阵左乘(右乘)某一行(列)所有元素(要求可乘性);(iii)把某一行(列)所有元素左乘(右乘)某一矩阵再加到另一行(列)对应的元素上去(要求可加性、可乘     

关于用初等变换求A^—1

线性代数中,矩阵的初等变换是非常重要的运算手段。在求矩阵的秩、逆矩阵、向量的线性相关性及求解线性方程组等方向却用到了行(列)的初等变换。一般的教材在介绍逆矩阵的初等变换求法时都强凋了仅用行初等变换。实     

统计线性模型(Ⅰ)

二、矩阵及其运算(续) 4°.逆矩阵的求法 还是以例2—5中的A为例来说明.用初等矩阵5乘,得用初等矩阵左乘,得(通过左乘P1,P2,把A第一列的元素都消为为0,除留一行第一列的元素外.)用初等矩阵左乘,得(至此,已将A的左下方都消为 0).用初等矩阵用初等矩阵(严P4,P5左乘的目的是,再把P3P2P1A的右上方也消为0,而最终得到单位矩阵.注意,对P3P2P1 A用右乘初等矩阵的方法,即通过列初等变换,也可达到同样的目的.请读者一试) 于是我们最终得由此得再按式(2一5),具体计算(留作练习)得(作为练习,请读者对 找出A-1. 为减少计算量,可把寻找A-1的过程…     

对《求标准正交基的技巧》一文的两点意见

对《求标准正交基的技巧》一文的两点意见徐彦明（山东临沂教育学院２７６００１）《求标准正交基的技巧》一文（本刊１９９７年第３期，以下简称《技巧》）给出了利用矩阵的列初等变换由ｎ元列向量空间Ｒｎ的任意一个基α１，α２，…，αｎ求出一个标准正交基的方法步骤...     

矩阵环F[A]中元素的可逆性

研究了矩阵环F[A]中元素可逆的条件,讨论了矩阵环F[A]上的矩阵的初等变换与初等矩阵的性质,给出了求F[A]中可逆元的逆元的一个简便方法.     

(0,1)-矩阵类(?)(R,S)

我们把元素全部是1或0的矩阵称为(0,1)-矩阵。设A是一个m×n阶(0,1)-矩阵,其第ⅰ行全部元素之和为r_i(1≤i≤m),第j列全部元素之和为s_j(1≤j≤n)。那么称向量R=(r_1,r_2,…,r_m)为A的行和向量;S=(s_1,s_2,…,s_n)为A的列和向量。所谓具有行和向量R,列和向量S的(0,1)-矩阵类(R,S)是指:     

矩阵初等变换及其逆阵

本文讨论的矩阵A为数域P上的可逆方阵,对A作初等变换: (i)对调i,j两行(列),这相当于用初等方阵     

矩阵初等变换的独立性——谈对《行初等变换对矩阵的行向量的线性关系的影响》一文的意见

在[1]文中,关于用矩阵初等行变换求已知向量组的极大线性无关组的方法有不妥之处。数域P上矩阵的初等变换(以初等行变换为例)有以下三种: 1)以P中一个非零的数乘矩阵的一行; 2)把矩阵的某一行的C倍加到另一行;     

线性空间若干问题的矩阵变换图解

随着计算机的发展和自动控制理论的需要,矩阵理论正在不断发展,矩阵作为一种重要数学工具也越来越广泛应用。本文根据矩阵有关理论,从数值计算角度研究了如何用构造矩阵变换图式解决国内外现行的线性代数(或高等代数)书中所涉及的有关线性空间的一些重要问题。所谓构造矩阵变换图式,就是针对不同研究对象(或要解决的问题)构造不同的运算矩阵,灵活运用矩阵的初等变换。文章就以下五个问题(见文章内小标题)作了研究。文章的研究,可以简化线性代数一些重要演算。加强线性代数有关内容的内在联系,这无论对线性代数研究、应用及计算机辅助教学都是很有用的。作者还认为从科技发展来看,矩阵初等变换的应用在线性代数教学中应值得特别重视。(文章后“附注1”是矩阵变换图式所依据的重要理论,“附注2”是行简化阶梯矩阵定义。) 这里只讨论如何通过构造矩阵变换图式解决实数域上n维向量空间“R”的有关问题,至于任意的n维线性空间“L”,若对选定的基向量{ε}(i=1,2,…,n),“L”中向量a_j(j=1,2,…,s)有坐标(a_(j_1),a_(j_2),…,a_(j_n)),则下面研究的所有结论都是适用的。     

求逆矩阵的一个方法

大家知道,通过行的初等变换或者列的初等变换都能求出n阶可逆矩阵的逆矩阵。本文给出一个同时用行和列的初等变换求逆矩阵的方法。这个方法的根据是以下     

关于矩阵方程A^m=λJ

设A是n阶整数矩阵,J是所有元素为1的矩阵,矩阵方程A~m=λJ(1.1)的求解及解的分类是一个相当困难的问题。Ryser,Lam,Wang等人研究上述问题,给出了方程(1.1)的几类g-循环解。为了进一步研究方程的解,我们首先引入方程(1.1)基的概念。     

关于极大线性无关组求法的一个问题

<正> 在近几年出版的某些高等代数题解中,给出过一种求向量组的秩与极大线性无关组的方法,具体如:a_1,a_2…,a_t是P~n中的一组向量,依次将a_1,a_2,…a_t写成行,得-s×n矩阵(若为一般n维空间的向量,则取它们在某一基下的坐标向量来作)。然后利用初等行变换将其变化为阶梯形,阶梯形矩阵中非零行的行数即此向量组的秩,与非零行相应的向量即构成该向量组的一个极大线性无关组。此法因为上了本本,教学中有些教师盲目取用,在学     

n阶(n-1)-循环布尔矩阵的本原性及可约性的判定

以0,1为元素所构成的n阶方阵A=(a_(ij))_(n×n),i,j=0,1,2,…n-1,其元素之间的加法与乘法运算按下列方式:则称A为布尔矩阵,文[1],[2]对这类矩阵的性质作了深入的研究和全面的介绍,文[4][5]给出了经典循环矩阵可约性和本原性的条件,本文给出了另一类循环布尔矩阵的可约性和本原性的充分必要条件。设g是一个非负整数,一个n阶g-循环矩阵A_()=(a_(ij))_(n×n)是一个这样的矩阵,除     

割集矩阵的可实现性算法

本文的主要结果是给出构造变换矩阵D的方法,讨论形如Q=[Q_fE]的矩阵是否存在一个图G以它为基本割集矩阵.一、预备知识对任一形如Q=[Q_fE]的矩阵,由[1]知,若存在非奇异矩阵D使DQ=A(这里A中任一列有且仅有一个1或两个1.),则称Q是可实现的.(本文中矩阵运算均指模2的运算.)用满秩矩阵D左乘Q,即对Q的行向量进行环和运算.我们约定不作交换任意二行的变换,即构造D时对角线上的元素规定为1     

关于本原环的矩阵表示的结构

<正> 设■是除环 F 上 n-维向量空间,则熟知地 m 的共轭空间(?)必是 n-维,并且对 m 的任一基{u_i}在(?)中必存在一个伴随基{v_i},即{u_i}与{v_i)满足(u_i,v_i)=δ_(ij),其中δ_(ij),是 Kronecker 符号.记σ是(?)的任一线性变换,那未必存在(?)的一个线性变换(?),使得在上述{u_i}及{v_i}基下,σ与(?)听对应的矩阵恰好互为转置.这是有限维空间的一个基本结果.为了进一步研究线性变换环的结构,我们首先要把上述     

子矩阵约束下矩阵方程AX=B的正交投影迭代解法

<正>1引言记R~(m×n)为全体m×n阶实矩阵集合;给定矩阵A,B∈R~(m×n),记(A,B)=tr(A~TB)为矩阵A与B的内积;||A||_F=(A,A)~(1/2)=(tr(A~TA))~(1/2)为矩阵A的Frobenius范数;vec(A)为矩阵A的拉直向量;A(p_1:p_2,)为矩阵A的pz行到p2行元素组成的子矩阵;A(,q_1:q_2)为矩阵A的q_1列到q_2列元素组成的子矩阵;A(p_1:p_2,q_1:q_2)为矩阵A的p_1行到p_2行和q_1列到q_2列相交处元素组成的子矩阵;如果(A,B)=tr(A~TB)=0,则称     

矩阵的置换相抵和置换相似

<正> 设 A 是 m×n 矩阵,P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶的置换方阵,我们称 A 和 PAQ 置换相抵.当 m=n,Q=P~(-1)=P~T时(这里 M~T 表示矩阵 M 的转置矩阵),A 和 PAP~T 称为置换相似.实际上,PAQ 是分别对 A 的行作置换(通过左乘 P)和对列作置换(通过右乘Q)后所得;而 PAP~T 则是对 A 的行和列分别作同样的置换后所得.注意到在作这些置换时,A 的每个元素本身并没有改变,只是其所在的位置变动了.置换相抵和置换相似是非常特殊的矩阵相抵变换和相似变换.特别地,在不少场合,A 有相当一部分元素是0,但它们散布各处.如能在对 A 进行其它运算或处理前,先通过置换相抵或置换相似变换把A 中的0元素尽可能有规律地集中成块,从而提供一个良好的初始状态,这对解决问题来说,常有事半功倍之效.所以,可以认为,置换相抵和置换相似又是一种最基本的相抵变     

一个用于对称矩阵的LR算法

用LR算法求对称矩阵的全部特征值时,迭代一步以后矩阵的对称性就不再保持。有人提出对称化变形(或CIILR)算法(例如,见[2]、[3]或[4])。然而这种变形每迭代一步要作n(矩阵的阶)次开平方运算,计算工作量很大,特别是对于非正定矩阵会导致复数运算。本文提出了一个新的方案,避免了上述缺点。文中还对新方法的收敛性和收敛速度的加速进行了分析并给出了一些计算实例。