同向单形到欧氏空间的等距嵌入及其应用

该文利用矩阵的方法, 获得了两个同向的 n 维单形同时等距嵌入 Eⁿ 维欧氏空间的一个充分必要条件是: 对于预给(n+1)²个距离,满足一组具有行列式形式的不等式组det(△_k)<0, 由此可以得到两组等数量的有限点集合到 Eⁿ 维欧氏空间中等长嵌入的一个充分必要条件. 然后利用杨路和张景中引进的代数方法, 应用广义等距嵌入定理, 提出了关于两组两个完全同向的 n 维单形“广义度量加”的概念, 并且证明了涉及“广义度量加”的一个几何不等式, 它推广了杨路和张景中关于Alexander猜想的结果. 同时我们将杨路和张景中关于Neuberg-Pedoe不等式的高维推广形式推广到两组两个完全同向的 n 维单形中, 获得了涉及四个单形的一类几何不等式, 它们蕴含近期诸多文献的主要结果.     

n维双曲空间和n维球面空间中的正弦定理及应用(英文)

本文研究了n维双曲空间和n维球面空间中单形的正弦定理和相关几何不等式.应用距离几何的理论和方法,给出了n维双曲空间和n维球面空间中一种新形式的正弦定理,利用建立的正弦定理获得了Hadamard型和Veljan-Korchmaros型不等式.另外,建立了涉及两个n维双曲单形和n维球面单形的"度量加"的一些几何不等式.     

一类涉及两个单形的三角不等式及其应用

应用解析方法和几何不等式理论研究了n维欧氏空间En中涉及两个n维单形的几何不等式问题,建立了涉及两个单形的一类三角不等式.作为其应用,获得了涉及两个单形及其内点的几何不等式,特别,获得了n维单形与其垂足单形的体积的一类关系式,改进了关于垂足单形体积的几类几何不等式.     

n维双曲空间和n维球面空间中的正弦定理及应用

本文研究了n维双曲空间和n维球面空间中单形的正弦定理和相关几何不等式. 应用距离几何的理论和方法, 给出了n维双曲空间和n维球面空间中一种新形式的正弦定理, 利用建立的正弦定理获得了Hadamard 型和Veljan-Korchmaros型不等式. 另外, 建立了涉及两个n维双曲单形和n维球面单形的"度量加"的一些几何不等式.     

Veljan-Korchmaros型不等式的稳定性

关于Euclidean空间En(n≥2)中单形的几何不等式,由于支撑函数或径向函数的表达式很难找到,因此一般很难用Hausdorff度量或径向度量来度量两个单形的"偏差",使得涉及单形的几何不等式的稳定性的研究比较困难.利用单形棱长在确定单形时起决定性作用这一事实,引进了两个单形"偏正"度量的概念,从而较好地解决了单形偏正度量的问题,并建立了著名的Veljan-Korchmaros 不等式的稳定性版本.作为推论,还导出了一系列Veljan-Korchmaros型不等式的稳定性版本.     

广义度量方程的改进及其应用(Ⅰ)

众所周知,度量方程作为距离几何的基本内容和工具之一,在几何约束求解中扮演着主要的角色.改进了杨定华关于n维欧氏空间中两个等数量有限基本元素构成集合的广义度量方程,建立了更为一般意义的、应用方便的广义度量方程,作为其初步应用,导出了两个单形之间的一些有趣的矩阵恒等式关系.特别地,将其两边取行列式,可以简洁得到关于联系两个单形的几何恒等式.     

涉及两个单形的两个不等式的推广及应用

利用距离几何理论与方法,研究欧氏空间E~n中涉及两个n维单形体积与其k维子单形k维体积的几何不等式问题,建立了有关几个几何不等式,推广了已有结果.     

涉及两个单形的几何不等式及应用

建立了涉及两个n维单形的几个不等式,推广了一些重要几何不等式.     

关于高维单形的两个性质

应用度量几何理论与解析方法,研究了n维欧氏空间En中n维单形的性质,将三角形内心与中线两个性质推广到n维单形,获得n维单形内心与中位面的两个性质.     

杨-张不等式的推广及其应用

本文利用杨路和张景中创造的特征根的方法和Darboux定理,将著名的杨-张不等式推广到n维欧氏空间的两个完全同向的有限质点组中,获得了有限质点组的一类几何不等式,作为其应用,给出了一些新的三角形不等式.     

广义度量方程的改进及其应用(I)

众所周知, 度量方程作为距离几何的基本内容和工具之一,在几何约束求解中扮演着主要的角色.改进了杨定华关于$n$维欧氏空间中两个等数量有限基本元素构成集合的广义度量方程, 建立了更为一般意义的、应用方便的广义度量方程,作为其初步应用,导出了两个单形之间的一些有趣的矩阵恒等式关系.特别地,将其两边取行列式,可以简洁得到关于联系两个单形的几何恒等式.     

高维欧氏空间中的广义度量方程及其应用

本文利用代数的方法，证明了：对于两个等数量有限基本元素构成的集合，杨路和张景中关于高维欧氏空间E^n中的度量方程仍然成立，得到了一个广义度量方程，其特殊情况就是著名的Cayley定理．作为初步应用，给出了两个单形外接超球球心距和棱切超球球心距的两个公式.     

非欧空间中的广义度量方程及其应用

本文改进了杨世国关于非欧空间中基本图形的度量方程,建立一个一般意义下的、应用更为方便的广义度量方程,作为其初步应用,导出了非欧空间中两个单形之间的一些有趣的几何关系．     

Generalized pseudo-Riemannian geometry

Generalized tensor analysis in the sense of Colombeau's construction is employed to introduce a nonlinear distributional pseudo-Riemannian geometry. In particular, after deriving several characterizations of invertibility in the algebra of generalized functions, we define the notions of generalized pseudo-Riemannian metric, generalized connection and generalized curvature tensor. We prove a ``Fundamental Lemma of (pseudo-) Riemannian geometry' in this setting and define the notion of geodesics of a generalized metric. Finally, we present applications of the resulting theory to general relativity.

     

90年代的广义度量空间理论

广义度量空间理论是一般拓扑学研究的重要课题。本文综述了90年代广义度量空间理论的成就，分析了它的主要研究课题，所取得的重要结果是国内学者在该方向的贡献。     

A characterization of extended monotone metrics

Classical information geometry has emerged from the study of geometrical aspect of the statistical estimation. Cencov characterized the Fisher metric as a canonical metric on probability simplexes from a statistical point of view, and Campbell extended the characterization of the Fisher metric from probability simplexes to positive cone . In quantum information geometry, quantum states which are represented by positive Hermitian matrices with trace one are regarded as an extension of probability distributions. A quantum version of the Fisher metric is introduced, and is called a monotone metric. Petz characterized the monotone metrics on the space of all quantum states in terms of operator monotone functions. A purpose of the present paper is to extend a characterization of monotone metrics from the space of all states to the space of all positive Hermitian matrices on finite dimensional Hilbert space. This characterization corresponds quantum modification of Campbell’s work.     

Continuous homogeneous selections of set-valued metric generalized inverses of linear operators in Banach spaces

In this paper,continuous homogeneous selections for the set-valued metric generalized inverses T of linear operators T in Banach spaces are investigated by means of the methods of geometry of Banach spaces.Necessary and sufficient conditions for bounded linear operators T to have continuous homogeneous selections for the set-valued metric generalized inverses T are given.The results are an answer to the problem posed by Nashed and Votruba.     

Sturm-Liouville算子方程边值问题的最小极值解

利用 Banach空间中度量广义逆理论 ,证明了 LP(a,b)空间中 Sturm-Liouville算子方程边值问题最小极值解的存在性 ,并借助 Banach空间几何方法给出了最小极值解存在的等价条件     

任意Banach空间中线性算子的Moore-Penrose度量广义逆

在无空间严格凸的几何假定下,利用Banach空间几何方法给出了任意Banach空间中线性算子T的Moore-Penrose度量广义逆T~+的存在性、唯一性、极小性和线性性的充要条件,同时还讨论了T~+的一些性质,这些本质地将文献[8]的最近结果从严格凸Banach空间拓广至任意Banach空间．