Kloosterman sums with multiplicative coefficients

Let f(n)be a multiplicative function satisfying |f(n)|≤1,q(≤N~2)be a positive integer and a be an integer with(a,q)= 1.In this paper,we shall prove that ∑n≤N(n,q)=1f(n)e(an/q)■(1/2)(τ(q)/q)N loglog(6N)+ q~(1/4+ε/2)N~(2/1)(log(6N))~(1/2)+N/(1/2)(loglog(6N)),where n is the multiplicative inverse of n such that nn ≡ 1(mod q),e(x)= exp(2πix),and τ(·)is the divisor function.     

Bergman空间中的Hardy-Littlewood型定理

称满足上述条件的函数的全体为加权Bergman空间A~p,q,a(见[1]),若其中p=q,a=0,记为A~p.定义f(z)的β(β>0)阶分数导数为(令D~0f=f)D~βf(z)=sum from n=0 to∞(n+1)~βa_nz~n.[2]和[3]均曾在A~p中考虑这样的问题:若f’∈A~p,那么q=?(与p有关),才能使f∈A~q.本文在较广的A~p,q,a中完全解决了上述问题.并将f’推广到D~βf.得到     

sine-Gordon方程、sinh-Gordon方程与Getmanov方程之间的等价变换

1 广义Zakharov-Shabat系统的谱不变位势方程对于广义的Zakharov-Shabat系统(1.1)AKNS给出的谱不变位势应满足的条件有 r=-g,a_x=2qb,b_x=-2qa,q_i=2ib,(1.2) r=q,a_x=-2qb,b_x=-2qa,q_i=2ib,(1.3)并据此得到了(1.1)的谱不变位势方程 r=-q=(1/2)u_x,a=(i/4)cosu,u_(xt)=sinu,(1.2a) r=q=(1/2)u_x,a=(i/4)coshu,u_(xt)=sinhu.(1.3a)由(1.2)可得     

一类二阶四点边值问题正解的存在性

讨论二阶四点微分方程组边值问题u″+p(t)f(t,u(t),v(t))=0,0 t 1,v″+q(t)g(t,u(t),v(t))=0,0 t 1,u(0)=a1x(ξ1),u(1)=b1x(η1)v(0)=a2x(ξ2),v(1)=b2x(η2)如果函数f,g:[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)是连续的,并赋予f、g一定的增长条件,利用Leggett-Williama不动点定理,证明了上述边值问题至少存在三对正解.     

Maximal regularity of second order delay equations in Banach spaces

We give necessary and sufficient conditions of Lp-maximal regularity(resp.B sp ,q-maximal regularity or F sp ,q-maximal regularity) for the second order delay equations:u″(t)=Au(t) + Gu't + F u t + f(t), t ∈ [0, 2π] with periodic boundary conditions u(0)=u(2π), u′(0)=u′(2π), where A is a closed operator in a Banach space X,F and G are delay operators on Lp([-2π, 0];X)(resp.Bsp ,q([2π, 0];X) or Fsp,q([-2π, 0;X])).     

奇数阶边值问题正解的存在性与多重性

利用锥拉伸锥压缩不动点定理,证明了在一定条件下,下列非线性奇数阶方程(-1)q+1u(2q+1)(t)=λa(t)f(u(t)),0 t 1,(-1)q+1u(2q+1)(t)=λa(t)f(u(t)),0 t 1,u(0)=u′(τ)=u″(1)=0u(2j+1)(0)=u(2j+1)(1)=0,j=1,2,…,q-1.单个和多个正解的存在性,其中λ>0,12<τ<1,q∈N.得到了λ的区间Λ,对一切λ∈Λ,该问题至少有一个正解,同样也得到了该问题至少有两个正解λ相应的区间.     

关于函数y=(c d·x~n)/(a b·x~n)的一个恒等式

对于函数f(x)=14 x2,经试验可得恒等式f(x) f(4x)=14.对于f(x)=c d·x2a b·x2,是否都有类似恒等式呢?经研究发现,对于上面一般情形,我们有下面的结论:定理1若f(x)=c d·x2a b·x2(ad≠bc,且ab≠0),则有f(x) f(abx)=bc adab恒成立.证因f(abx)=c d·a2b2x2a b·a2b2x2=cb2x2 da2     

一类分担有理函数的亚纯函数的唯一性

利用复分析的值分布理论研究了亚纯函数的唯一性,给出了下面的结果.设q(z)为k次有理函数,f(z)和g(z)是两个超越亚纯函数,fg与q没有共同的极点.n是正整数且n≥max{11,k+1}.如果f~n(z)f′(z),g~n(z)g′(z)分担有理函数q(z)CM,则f(z)=c_1e~(c∫q(z)dz),g(z)=c_2e~(-c∫q(z)dz),这里c_1,c_2和c是三个常数且满足(c_1c_2)~(n+1)c~2=-1;或者f(z)≡tg(z),其中t是一个常数满足t~(n+1)=1.     

Some remarks on Wente’s inequality and the Lorentz-Sobolev space

In this note we consider Wente's type inequality on the Lorentz-Sobolev space.If▽f∈L~p1,q1(R~n),G ∈ L~(p2,q2)(R~n) and div G≡0 in the sense of distribution where(1/p1)+(1/P2)=(1/q1)+(1/q2)=1,1P1,P2∞,it is known that G·▽f belongs to the Hardy space H~1 and furthermore‖G·▽f‖H~1≤C‖▽f‖L~(p1,q1)(R~2)‖G‖L~(p2,q2)(R~2).Reader can see[9]Section 4.Here we give a new proof of this result.Our proof depends on an estimate of a maximal operator on the Lorentz space which is of some independent interest.Finally,we use this inequality to get a generalisation of Bethuel's inequality.     

活用两个简单结论巧解两类高考试题

数学中有如下两个人人皆知的简单结论: 　　I 设f(n)=a1+a2+…+an, 　　g(n)=b1+b2+…+bn. 　　若ak=bk(k∈N),则f(n)=g(n). 　　若ak≤bk(k∈N),则f(n)≤g(n). 　　Ⅱ 设f(n)=a1a2…an,g(n)=b1b2…bn. 　　若ak=bk(k∈N),则f(n)=g(n), 　　若ak＞0,bk＞0且ak≤bk(k∈N), 　　则f(n)≤g(n). 　　利用这两个简单结论解答高考试题中与自然数n有关的不(恒)等式的证明问题,思路清晰,通俗易懂.……     

关于完备随机内积模中的Lax-Milgram定理的注记

设(S,X)为数域K上以σ-有限测度空间(Ω,A,μ)为基的完备的RIP-模,而且α:S×S→L(μ,K)满足如下条件:(A)存在ξ∈L (μ),使得a(p,q)ξ·X~p·X~q,p,q∈S;(B)a是coercive(即,存在η∈L (μ),使得a(p,p)η·X~p2,p∈S且μ({ωη(ω)=0})=0);(C)对每个q∈S,a(·,q):S→L(μ,K)是模同态,且对每个p∈S,a(p,ξq1 ηq2)=ξ-a(p,q1) η-a(p,q2),q1,q2∈S及ξ,η∈L(μ,K).则存在唯一的连续模同态A:S→S使A-1存在且μ-a.s.有界,还满足:(1)a(p,q)=XA(p),q,p,q∈S;(2)X~A-1(p)1ηX~p,p∈S.     

Primitive Roots and Linearized Polynomials

Let f(x) = sum from t=0 to n α_ix~i∈GF(p)[x],we associate it with a ploynomial f~*(x)=sum from i=0 to n α_ix~(p~i),f(x) and f~*(x)are called p-associates of each other. f~*(x) is called a p-ploynomial,customary to speak of linearized polynomial. Let f(x)=x~m- 1/g(x), m = m_1~r, q = p~m, g(x)∈GF(p)[x],r be the order of g(x). Cohen and the author observed that if m_1≥2, there alwaysexsists a primitive roots ζ∈GF(q) suck that f~*(ζ) = f~*(c), here f~*(c)≠0. In fact     

一维问题的一种积分形式的流量重构算法

1引言我们考虑如下一维二阶椭圆边界值问题(-(β(x)p′)(x))′=f(x),x∈(a,b) p(a)=p(b)=0(1))其中β=β(x)是一恒正函数,且β∈H~1(a,b),f∈L~2(a,b)．事实上,在此条件下,我们可保证p∈H~2(a,b)(见[1],[2])．(1)之弱形式为：求p∈H_0~1(a,b)使得a(p,q)=(f,q),(?)q∈H_0~1(a,b),(2)其中a(p,q)=(?)_a~bβp′q′dx,(f,g)=(?)_a~bfqdx．给定(a,b)的一个分割α=x_0＜x_1＜…＜x_(n-1)＜x_n=b,令h=(?)(x_i-x_(i-1)),(?)_i表示通常相应于节点x_i的形状函数,即(?)_i是连续的分段线性函数且满足(?)_i(x_k)=δ_(ik),这里δ_(ik)=(?)i,k=0,1,…,n．又记V_h~0=span{(?)_1,(?)_2,…,(?)_(n-1)),取V_h~0作为p的逼近空间,则求解(1)的标准有限元格式为：求ph∈V_h~0使得     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

Regularity for solutions to anisotropic obstacle problems

For Ω a bounded subset of R n,n 2,ψ any function in Ω with values in R∪{±∞}andθ∈W1,(q i)(Ω),let K(q i)ψ,θ(Ω)={v∈W1,(q i)(Ω):vψ,a.e.and v-θ∈W1,(q i)0(Ω}.This paper deals with solutions to K(q i)ψ,θ-obstacle problems for the A-harmonic equation-divA(x,u(x),u(x))=-divf(x)as well as the integral functional I(u;Ω)=Ωf(x,u(x),u(x))dx.Local regularity and local boundedness results are obtained under some coercive and controllable growth conditions on the operator A and some growth conditions on the integrand f.     

三项式xn+x-a的二次不可约因式

设n是大于5的正整数,a是非零整数,f(x)=xn x-a.本文证明了:如果f(x)有首项系数等于1的二次整系数不可约因式g(x),则必有n≡2(mod3),a=-1,g(x)=x2 x 1或者n≡5(mod6),a=1,g(x)=x2-x 1.     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

亚纯函数的级的估计

设f(z)为一亚纯函数,其级p< ∞。re~(iω_1),re~(iω_2),…,re~(iω_q)(r≥0)为q条射线,其中0≤ω_1<ω_2<…<ω_q<2π,q≥1。本文证明了若方程:f(z)=0,f(z)=∞,f~((l))(z)=1(l≥0,f~((0))≡f)的根均分布在包含上述q条射线的q个窄形区域中,又δ(0,f) δ(∞,f) δ(1,f~((l))>0,则     

一元多项式整根的判定

由高中代数第三册第一章的内容可知,若整系数多项式f(x)=a厂+a,:一l了一’+…+alx+吻有因式二一冬(其中p I’定是首项系数a,,的约数,q是互质的整数)那么P ?一定是末项系数内的约数.当户二1时,因式即成为x一q.为了判定x一q是否为f(x)的因式,对于q的可能值要经过检验,这是够麻烦的。下面的整根判定定理可以帮你减轻部分劳动量,特别是在判断当a,=1时f(x)有无有理因式方面有独到的功效. 盆根判定定理:一个整系数的多项式f(x),若f(o)和f(l)均为奇数,则当x不管为任何整数时,f(x)手0,(即多项式f(x)无整根). 证明:设f(x)二a,了+a,一;广一’+…+。x…