贝特朗奇论并不奇

<正> 常见一些概率论教科书(如[1]、[2]等)在谈到贝特朗奇论时,说该奇论由于对“随机地”含义的不同解释而使问题存在多种不同的答案。本文对此有不同的见解。贝特朗奇论原题:在半径为1的圆内随机地取一条弦,问其长超过该圆内接等边三角形的边长3~(1/2)的概率等于多少? 解法一将所有弦的一端都固定在圆周一定点上,再在此其基础上考虑长度大于3~(1/2)者,于是概率P=1/3 解法二只考虑垂直于某一直径的弦,在这些平行弦中找长度大于3~(1/2)者,于是P=1/2 解法三弦被中点唯一确定,当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时,弦长大于     

一道椭圆问题的解法探究

<正>最近在研究直线与椭圆位置关系问题时,发现求弦长的问题解法颇多,与大家分享.题目已知直线l:y=x-1与椭圆C:x²/3+y2/3+y²/2=1交于A,B两点,求弦AB的长度.分析1这是一道弦长问题.可以直接求出A,B两点坐标,然后利用两点间的距离公式.     

两道2001年数学竞赛试题的关联

题目 A　将周长为 2 4的圆周等分为 2 4段 ,从 2 4个分点中选取 8个分点 ,使其中任何两点间所夹的弧长不等于 3和 8.问满足要求的 8点组的不同取法共有多少种 ?说明理由( 2 0 0 1年 CMO试题第 5题 ) .题目 B　将一个正六边形等分为六个全等的正三角形区域 A,B,C,D,E,F.在这六个区域内栽种观赏植物 ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有种栽种方案 ( 2 0 0 1年全国高中数学联合竞赛试题第 1 2题 ) .我们将给出下列更一般的结论 ,从而得到题目 A和 B之间的内在联系 ,其中定理 C是[1 ]…     

一道2001年CMO试题的推广

题目 A　将周长为 2 4的圆周等分为 2 4段 ,从 2 4个分点中选取 8个分点 ,使其中任何两点间所夹的弧长不等于 3和 8.问满足要求的 8点组的不同取法共有多少种 ?说明理由 .( 2 0 0 1年 CMO试题第 5题 )本文给出下列更一般的结论 .定理 B　设 n >1为正整数 ,将周长为 3n的圆周等分成 3n段 ,从 3n个分点中选取 n个点 ,使其中任何两点所夹的弧长不等于 3和n.记满足要求的 n点组的不同取法总数为A( 3,n) ,则A( 3,n) =2 n ( - 1 ) n .2 ,　当 3| n时 ,[2 n3 ( - 1 ) n3 .2 ]3,当 3| n时 .为了证明上述定理 ,我们需要下列引理 .引理　设 n >…     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

你知道弦长公式吗

<正>近年来,二次函数的综合题成了中考题目的亮点,许多题目都要用弦长公式来解,为此,本文就弦长公式及其应用介绍于下,供同学们参考.抛物线y=ax²+bx+c(b2+bx+c(b²-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax2-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax²+bx+c=0的两根,所以     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

由2013年高考山东卷(理)第9题引发的探究

1题目及解法题目(2013山东理-9)过点(3,1)作圆(x-1)~2+y~2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0此题考查圆的切点弦方程.试题短小精悍,难易适中,解法多样.为了方便说明,记点P(3,1),圆心C(1,0).思路1:如图1,欲求直线AB的方程,需求出点A,B的坐标,即两条切线与圆的公共点,因此,可以先求出两切线的方程,与圆的方程联立,通过解方程组求出点A,B的坐标,写出直线AB的方程.由于     

2003年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试　题一、(本题满分 5 0分 )过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线 ,切点为A ,B .所作割线交圆于C ,D两点 ,C在P ,D之间 .在弦CD上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证 :∠DBQ =∠PAC .二、(本题满分 5 0分 )设三角形的三边长分别是整数l ,m ,n ,且l>m >n .已知 3 l10 4 =3 m10 4 =3 n10 4 ,其中 {x}=x -[x] ,而 [x]表示不超过x的最大整数 .求这种三角形周长的最小值 .三、(本题满分 5 0分 )由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形 ,其中n =q2 +q + 1,l≥12 q(q+ 1) 2 + 1,q≥ 2 ,q∈N .已知此图中任四点不共面 ,每点至少有…     

深究一道“希望杯”赛题

题目(23届希望杯高二1试13)平面直角坐标系中,已知点A(2,1),动点B在x轴上,动点C在直线y=x上,那么△ABC的周长的最小值是_____.解析取点A(2,1)关于x轴的对称点A1(2,-1),点A(2,1)关于y=x的对称点A2(1,2),连接A1A2,分别     

编制数学题不要疏忽条件的和谐性

编制题目是数学老师的基本功之一,首先必须考虑题目条件的充分性,保证结论能成立,其次也必须考虑条件的和谐性,编制几何题还须考虑图形的存在性,而后两条往往容易疏忽,从而导致看似编得很好的题目结果却是个错题.最近看了一些中学数学的参考书,发现一些问题,下面举例说明.例1三角形的周长l=2,其面积s=2,则此三角形的内切圆的半径r=.(这是前几年本市某重点中学初三升高中的直升考试题)显然此题是考知识点r=2ls,标准答案写为2.但这是一个错题!因为这样的三角形根本不存在.若三角形的周长l=2,则它的三边的长a,b,c都小于1,所以面积s=12absinθ<1…     

古代算学家刘徽的极限观念

割圆术如所周知,是关于圆周率计算问题的讨论.该术载于“九章算术”第1章方田第32问之后.在我国古代,有一个较长的时期,认为圆周长和直径长之比是“周3径1”.即认为π=3,圆面积等于圆径平方的3/4,这当然是不正确的.我们知道:合于“周3径1”的不是圆周长,而是圆的内接正6边形的周长.刘徽指出了这个错误,并提出了他自己的计算方法--割圆术.他的方法就是:从已知的圆内接正多边形每边的长,用勾股弦定理求出内接边数加一倍的正多边形的边长.他从内接正6边形做起,依法求得正     

关于联赛一试最后一题的几种解法与联想

20 0 3年联赛考试下来 ,许多学生抱怨一试最后一题难度大 ,花费了太多时间 ,却得不了分 .一些高手也是在前面 14个题一帆风顺的前提下 ,被最后这个具有一定开放性的试题所难倒 .究其根本原因 ,是此题不属陈题 ,有新颖的一面 .下面我们来谈一谈这道试题 .为了使大家了解这个题 ,我们先给出几种常见的证法 .题目　一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A ,且OA =a ,折叠纸片 ,使圆周上某一点A′刚好与A点重合 ,这样的每一种折法 ,都留下一条折痕 ,当A′取遍圆周上所有点时 ,求所有折痕所在直线上点的集合 .图 1　解法 1图　　我们先看一看…     

2012年江苏省数学竞赛初赛第13题的解法初探

2012年全国高中数学联赛江苏省初赛第13题是一个非常优秀的试题,下面谈谈这道试题的几种解法.题目如图1,半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点,在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.     

一类解三角形问题的探究历程

<正>在一次数学课上,老师布置了这样一道题目:已知△ABC中,cos∠ABC=1/3,AB=2,点D在线段AC上且AD=2DC,BD=4/3 3^(1/2),求线段BC的长.这道题给出的信息比较多,涉及到多个三角形,粗看有点无从下手的感觉,属于解三角形问题中较为复杂的一类问题.这类问题的一     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

解析几何题的剖析

<正>我发现下面的一道解析几何题值得研究和思考,它能使我们挖掘出一些相似题目的知识链接,使我们进一步看到一些高考模拟题和真高考题目的命题的源头.题已知椭圆C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的焦距为2(3~(1/2)),且长轴长与短轴长之比为槡2~(1/2)∶1,点R(x_0,y_0)是椭圆上任意一点,从原点O引圆R:(x-x_0)~2+(y-y_0)~2=2(x_0~2≠2)的两     

挖掘本质 解法自然

<正>面对2016年浙江湖州中考试题中的一个几何题,有些学生不知所措,不知道信息的关联,下面对这道题做一分析.题目如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点     

拓宽思维领域 注重知识迁移——对2013年全国新课标卷Ⅱ文科第10题的探究与反思

一、问题提出 题目 (2013全国新课标卷Ⅱ文-10)设抛物线C∶y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF| =3|BF|,则l的方程为() A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√3/3(x-1)或y=-√3/3(x-1) C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1) D.y=√2/2(x-1)或y=-√2/2(x-1) 本题属中等难度题,主要考查直线与抛物线相交的问题.这类题型一直是高三复习的难点,也是近几年高考的热点,许多考生对这类题型怀有恐惧心理,认为计算繁琐,“死磕”这道题得不偿失.笔者开始也认为这道题常规解法的运算量较大,后来拓宽思维领域,并迁移其他知识进行整合探究,发现此题还有独特解法.