从积不出来的积分到黎曼曲面理论

从介绍椭圆和双纽线弧长积分等积不出来的椭圆积分开始,给出数学家法尼亚诺和欧拉导出这些椭圆积分加法公式的计算过程,以及经典的阿贝尔定理的具体含义.讲解大数学家黎曼引入的黎曼曲面的重要概念,并且从几何的角度给出椭圆积分之所以积不出来的内在原因.介绍黎曼在黎曼曲面理论方面的重要工作及其对代数几何与现代数学发展的深远影响.     

零压相对论欧拉方程组含有狄拉克函数初值的黎曼问题

研究一维零压相对论欧拉双曲守恒律系统含有狄拉克函数的初值条件的黎曼问题.借助特征线分析方法,求出了四种不同情形下的整体广义解,包括了含有狄拉克激波.     

具有常外力项的零压欧拉方程组初值涉及狄拉克函数的黎曼问题

研究具有常外力项的一维零压欧拉方程组初值涉及狄拉克函数的黎曼问题.首先,研究对应的扰动初值问题;其次,基于一维非线性守恒律方程组弱解的稳定性理论,通过分析对应的扰动初值问题解的极限,最终得到了6类显示解.特别地,对于某些初值,捕捉到了在密度变量和内能变量上同时涉及狄拉克函数的狄拉克接触间断,这是一类重要的非线性现象.此外,这些结果清晰地刻画了常外力项对解结构的影响.     

黎曼相关积分研究

通过证明和反例讨论黎曼积分、直接黎曼积分、黎曼-斯蒂尔切斯积分三者间的联系与区别.结果显示：若函数直接黎曼可积,则它黎曼可积,并且两者积分值相同,但反之不成立;若函数黎曼可积,则任意连续函数关于该函数不一定黎曼-斯蒂尔切斯可积.从讨论结果中还获得直接黎曼可积和黎曼可积各自的一个充分条件.     

复合函数黎曼可积性的讨论

本文利用有界函数黎曼可积的充要条件讨论了某些复合函数的黎曼可积性,给出了外函数黎曼可积,内函数连续,复合函数不一定黎曼可积的例子．     

非等熵Chaplygin气体极限黎曼解 关于扰动的依赖性

主要研究了非等熵Chaplygin气体黎曼问题初值扰动后解的结构,分析了经典的黎曼问题和扰动问题解的结构及极限结构,发现后者的极限解在δ质量权趋于零时不同于前者解的结构.该结果表明对非等熵Chaplygin气体而言,经典的黎曼问题与带δ初值的黎曼问题有着本质的区别.     

切触黎曼浸入的极小性

切触黎曼流形,其殆复结构不一定是可积的,是CR几何中伪厄尔米特流形的一般情形.选取TWT联络作为切触黎曼流形上的联络,在CR情形下它就是TW联络.推广CR几何中的伪厄尔米特浸入得到切触黎曼几何中的切触黎曼浸入,可以证明任何切触黎曼浸入一定是极小的.     

一类不可分共形循环黎曼空间的线素特征

§1 引言 可分的共形循环黎曼空间已有研究〔1〕,本文拟对不可分的共形循环黎曼空间作进一步的探讨,得出了其中一类空间的线素特征。n 维黎曼空间 V_n 的共形曲率张量定义为     

Carnot-Caratheodory空间中的变换论

Klein发表著名的埃尔兰根纲领,由群论角度研究了空间变换群的不变量,从而引进了各种不同的几何学．本文利用Felix Klein的观念,研究Carnot-Caratheodory空间{M,Q,g}(又称为次黎曼流形)上的类似问题,给出了次黎曼流形中的共形不变量和射影不变量．本文给出的共形和射影不变量可视为黎曼情形的一种自然推广．由于次黎曼流形与黎曼流形之间有着本质的差异,故此,本文通过次黎曼流形上存在的唯一非完整联络(Nonholonomic connections)来刻画所提的问题．     

n-Marked黎曼球面的对称性

本文讨论了n-marked黎曼球面模空间上自然的对称群作用,计算出其全部的不动点及n-marked黎曼球面的对称类型,同时讨论了黎曼球面上SL(2,C)作用的动力系统特征,得出其周期性的一个描述,并在这些基础上给出n-punctured黎曼球面模空间的奇性刻画．     

爱因斯坦空间的测地对应和黎曼空间V(K)

<正> §1.引言 设对于黎曼空间V_n,有另一黎曼空间V_n,使得V_n的测地线对应于V_n的测地线,则称V_n与V_n是相互测地对应的.大家知道,与常曲率空间测地对应的黎曼空间也是常曲率的,即常曲率空间之间能相互测地对应.但对于非常曲率的黎曼空间,则不一定存在这种对应.近年来对各种循环黎曼空间的测地对应的讨论,就说明了这个事实. 爱因斯坦空间是比常曲率空间更广泛的重要黎曼空间,这种空间之间是否存在测地对应呢?本文的第一部分就是讨论这个问题.我们给出了能相互测地对应的各种爱因斯     

李奇曲率平行的黎曼流形的孤立现象

本文研究李奇曲率平行的封闭黎曼流形，证明了黎曼曲率平方的一个拚挤定理。     

矢量丛的微分几何

Sasaki,S.曾经在黎曼流形的切丛和切球面丛上引进了典型的黎曼度量,並研究了这种度量的微分几何。本文把Sasaki.S.的工作推广到黎曼流形上带连络的任意矢量丛,研究了丛空间上的黎曼连络、测地线和全测地子流形等问题。     

局部共形对称黎曼流形的孤立现象

讨论了局部共形对称的封闭黎曼流形,证明了黎曼曲率张量模长的一个拼挤定理.当M是局部共形平坦流形时,得到了曲率张量模长的最佳拼挤常数,并确定了达到该值的黎曼流形.     

黎曼流形上的Nash不等式

本文通过对满足Nash不等式的黎曼流形的研究,证明了对任一完备的Ricci曲率非负的n维黎曼流形,若它满足Nash不等式,且Nash常数大于最佳Nash常数,则它微分同胚于Rn．     

径向截面曲率有下界黎曼流形的微分同胚定理

研究了径向截面曲率以一类旋转模曲面的Gauss曲率为下界的非紧完备黎曼流形的拓扑,得到了该类黎曼流形与欧氏空间微分同胚的一个合理的充分条件,推广了径向截面曲率有常数下界完备黎曼流形的微分同胚定理.     

关于射影半对称联络

本文讨论了黎曼流形上的射影半对称联络,即与Levi-Civita联络射影等价的半对称联络的一些性质,得到了黎曼流形射影平坦的一个充要条件,以及一些与黎曼流形上的射影变换有关的结果。     

关于Weingarten超曲面的一个存在性定理

本文研究伪黎曼空间型中一类特殊的Weingarten超曲面的存在性问题.通过引入伪黎曼空间型中旋转超曲面的概念,并给出其主曲率计算公式.得到伪黎曼空间型中旋转型Weingarten超曲面的存在性定理.推广并统一了相关结果.     

根深叶茂源远流长——记伍鸿熙教授北京数学教育之行

伍鸿熙教授,著名的几何学家和数学教育家.伍鸿熙先生对于研究几何的人来说是不陌生的,伍先生与学生Robert Greene合作对复流形的曲率与函数论关系作了深刻研究,得到了许多重要的结果.他多次回国讲学,在国内出版了《黎曼几何初步》(与沈纯理,虞言林合作),《黎曼几何选讲》(与陈维桓合作),《紧黎曼曲面引论》(与吕以辇,陈志华合作)等脍炙人口的专著.在《黎曼几何初步》(北京大学出版社,1989年)一书中伍先生写的序言情理相生文笔优美,其中关于学习和做学问的谆谆告诫无不透着伍先生对年轻学子的殷切期望.     

黎曼流形到伪黎曼流形的调和映照（Ⅰ）

获得了从黎曼流形到伪黎曼流形的调和映照的一个充要条件，并给出了Ｂｏｃｈｎｅｒ公式。