宜用反证法证明的若干题型

宜用反证法证明的若干题型４３２７３１湖北广水四中黄文俊数学命题是由题设和题断构成的．欲证一命题成立，可有直接法和间接法两种．一般来说，大多数命题的证明是由直接法给出的．但有时直接法证明原命题比较困难时，则可改证与它等价的逆否命题，这就是反证法的基本思...     

主动加强命题─—一种数学归纳法的证题技巧

主动加强命题─—一种数学归纳法的证题技巧顾明根在生活中，很少有人将简单的事复杂化，但是，在运用数学归纳法证题时，将命题加强却是一种常用手段．这是因为有时候直接证明所给的命题不太容易，而把命题加强，却有利于用数学归纳法证明．通常有二种情形：一是把原命题...     

关于“充要条件”的教学

一、数学命题的四种形式及其关系Ⅰ.若A则B。(原命题) Ⅱ.若B则A。(逆命题) Ⅲ.若。(否命题) Ⅳ。(逆否命题) 四种命题的关系如右图所示。可以证明,命题Ⅰ与Ⅳ是等价的。证明:先证“若A则B     

应用反证法几例

<正>反证法是数学中一种很重要的间接证明问题的方法,一些难于从正面证明的问题,利用反证法往往能够很简明地得到解决.它的基本原理是先否定命题的结论,然后运用逻辑推理的方法推导出矛盾的结果,从而证明原命题的正确.同学们对运用反证法证题感到困难,     

妙用反证法

<正>牛顿曾说过:"反证法是数学家最精当的武器之一."当我们在证明一个命题时,直接证明难以实现时,可考虑反证法.一般用法是先肯定题设而否定结论,并把原结论的相反结论视为原题的一个条件,再由此经严格推理导出矛盾,便可肯定原结论成立.     

浅析数学归纳法的奠基步骤

1　从对命题成立的简单验证中选定奠基步骤我们知道 ,在证明与自然数有关问题的正确性时 ,先验证当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1)时命题成立 .然后假设ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ｎ0 )时命题成立 ,证明ｎ =ｋ 1时命题成立 .这个过程可视为 ,若ｐ(ｎ0 )成立 ,取ｋ =ｎ0 ,由归纳步骤证ｐ(ｎ0 1)成立 .同理再由ｐ(ｎ0 1)成立证ｐ(ｎ0 2 )成立 .如此下去 ,对于所有大于ｎ0 的自然数ｎ ,ｐ(ｎ)都成立 .这里ｐ(ｎ0 )不仅是命题成立的一个真命题 ,而且还是起动归纳推理的初始步骤 .奠基步骤ｐ(ｎ0 )正是由递推关系式ｐ(ｎ0 ) ｐ(ｎ0 1) ｐ(ｎ0 2…     

简议充要条件命题的证明

<正>一个用充要条件叙述的命题,实际上包含着两个互逆的命题,即p是q(p、q也可以分别为两个命题)的充要条件相当于"若p则q"和"若q则p"这两个命题的总和.因此,要证明一个充要条件的命题,必须采取双向证明的方法,即既要证充分性,又要证明必要性.     

用数学归纳法证题的一种分析方法

用数学归纳法证题的关键一步是“假设n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立”(以下把这句话记为“*”),而这一步也是最困难的一步。事实上,这一步是递推的一步。因此时有些题目,我们可以从验证命题成立的第一个自然数n=n_0出发,     

一个命题的简证

命＠rtABC中，ZA、AfB、HC所对边分别是a、b、c，求证：（《数学通报n997年5月号问题IO72）证明由正弦定理知，原不等式等价于由基本不等式两边同除以。心〔可得（。），于是原命题成立．一个命题的简证@贺中杰$陕西省武功县绿野中学!712203     

巧用三点共线证明三线共点

<正>在平面几何中,证明某一类型命题时,如果能捕捉到相关类型命题的有关信息,那么我们就能另辟蹊径.例如在证明三线共点这类命题时,其中一种方法就是利用三点共线去证请看下面几例.例1证明三角形的三条中线共点.已知:AD、BE、CF为△ABC的三条中线.     

例说反证法

<正>反证法是证明数学命题的一种间接证法,关于它的本质,有些同学总认为反证法其实质就是证明原命题的逆否命题.事实上,这种认识是错误的.为了说明问题,先给出一个经典习题的五种证明方法.原题求证:a,b,c为正实数的充要条件     

用数学归纳法间接证明命题

某些与自然数有关的命题不易直接用数学归纳法证明,但有时却可以用数学归纳法证明比原命题更强的新命题.由于此强命题是使原命题成立的充分条件,因而就能达到间接证明原命题的目的。这种证法容易奏效的原因十分简单:较强的命题其归纳法假设也较强,所以有时会更方便。请看下面两例:     

变易命题──数学证明的一种方法

变易命题──数学证明的一种方法奚家成（江苏省南通市跃龙中学２２６０００）许多数学证明题，运用通常的思维方式不能顺利解决．这时，往往可以把原题的条件或结论作适当的变化，先建立一个与原题密切相关的新命题，以便在考察新命题的过程中，逐步寻求原题的证明途径．...     

闭系统定律及其应用

在数学证明中,一般由原命题成立不足以断定其逆命题也成立,但在逻辑学中有一个“闭系统定律(豪伯定律)”,根据此定律,由满足一定条件的n个原命题成立,即可断定其相应的n个逆命题也成立。具体叙述如下: 定义在讨论某问题时,如果n个原命题具有下述形式: 且A_1,A_2,…,A_n包括了所论问题的所有可能性,B_1,B_2,…,B_n互相排斥,这时称这n个命题(1)构成一个闭系统。     

一道平几题的简易证法

下述命题是一个常见的几何题,一般的证明方法是本文的证法一;而证法二(见《数学通报》1982。6期,P5,例十,也有其繁杂的一面,对此命题,我想给出一种较简单的证法,也就是本文的证法三。为了比较,对前二种证法略述在前,最后给出证法三。原题由圆外一点A引两切线AS、AT (S、T为切点)。过A引圆的任一割线APQ交ST于R,若M为PQ中点,则AP·AQ=AR·AM. 证法一先证A、S、M、O、T五点共圆,再证△ASR∽△AMS。这是一种常见的证明方法,且证明步骤繁杂。     

数学归纳法应注意的几个问题及证明技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依     

一个三角恒等式的证明及其应用

一个三角恒等式的证明及其应用阚政平（安徽师大附中２４１００１）题目若，则笔者曾在研究的值时发现上述结论．为证明上述命题，兹给出该命题的一种证法．证考虑方程由于取方程（ｘ＋１）ｎ＝１的（ｎ－１）个不为零的根的乘积，不妨设ｘ１＝０，则根据公式得而方程（ｘ...     

问题196——数学归纳法应用中的一种技巧:加强命题

本问题共收稿19篇.一致认为原文给出的证明是正确的,既无循环论证,也无多余的证明,只是应用了一种技巧——加强命题,即证明两个互相关联的命题(含欲证的命题)都正确,从而欲证的命题正确.来稿前4名的作者是:北京朝阳区南沙滩甲1号3303室马殿荣,湖北省十堰市东风高中甘志国,甘肃省兰州市第五十七中学苏水平、陈鸿斌(合稿),     

对命题真假判断的困惑与反思

<正>我们知道:一个命题的否定就是否定这个命题所作的结论,这样得到的两个命题一真一假,所以,如果判断原命题真假较困难时,可以判断原命题的否定的真假,利用原命题与其否定真假相对来判断;又因为互为逆否的两个命题同真假,所以要判断原命题真假比较困难时,还可转化为判断其逆否命题的真假.这两种方法是判断命题真假时常用的"正难则反间接法"的解题策略.最近,在复课时遇到了一道命题真假判断题,令人很困惑.     

反证法在多项式理论中的应用

表达一个判断的语句称为命题,命题是由题设和题断构成。证明一个命题成立,有直接证法和间接证法。反证法属于间接证法。一般来说,大多数命题的证明是由直接证法给出的,但是当直接证法不易证明甚至无法证明时,运用反证法,有时可以收到证明既简练又确切的良好效果。因此反证法是一种重要的证明方法。然而多年来,一些人有片面的认识,认为反