新思维、新视角——浅谈函数思想学数列的教学尝试

函数一直是高中数学最重要的知识组成,可以这么说,函数(即变量思想)思想自始至终围绕着高中数学.学生从高一接触函数概念起始,到其高考试卷压轴问题函导数分析、解析几何最值问题求解等,无一不围绕变量思想在做文章.传统教材中,我们还能见到这样的编排:从函数—数列—三角函数,这样编排的目的是将变量体系在高一阶段就建立起来,学习的心理过程是从一般到特殊的演绎推理.作为一种特殊的函数,数列自始至终成为了高中数     

极坐标

欣鸞1]　R .J .Love ,Facialgrowthinmales 16to 2 0 yearsofage .AmJOr thodDemofacOrthop ,1990 ,3∶2 0 0 -2 0 6 [2 ]　TimothyF .Foley ,Facialgrowthinfmales 14to 2 0 yearsofage .AmJOrthodDemofacOrthop ,1992 ,3∶2 48-2 5 4 [3 ]　WalterAFormby ,Longitudinalchangesintheadultfacialprofile .AmericanJournalofOrthodonticsandDentofacialOrthopedics ,1994,5∶464 -4 76 [4]　田乃学 ,黄金芳、前牙深覆盖畸形颅面结构生长变化的研究 .中华口腔医学杂志 ,1988,2 3 (1)∶40 -4 2 [5 ]　马有霞、林久祥…     

分段函数问题综述

所谓分段函数 ,现行高一数学教材是这样描述的 :有些函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数通常称为分段函数 .对于分段函数 ,不论它分多少段 ,它总是一个函数 ,而不是几个函数 .分段函数的定义域是各段解析式中自变量取值集合的并集 ,值域是各段解析式函数值集合的并集 .本文结合实例对分段函数的常见问题及解法作一归纳 .1　求分段函数解析式例 1　已知偶函数 y =f(x) ,当x≥ 0时 f(x) =-x2 +2x ,求R上 f(x)的解析式 .解　设x <0 ,则 -x >0 .因为当x≥ 0时 ,f(x) =-x2 +2x ,所以 f(-x) =-x2- 2x .又…     

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…     

浅谈导数学定义在导数计算的中地位与作用

不少学生学习了求导公式后 ,往往对导数定义不太重视。其实 ,导数的定义不仅是导数的原始基本概念 ,而且它在求极限、求导数的计算及证明中都有着重要的、甚至是不可替代的作用。本文仅就导数定义在导数计算中的地位与作用问题谈点粗浅的认识 ,以期学生对此问题引起重视。一、在分段函数求导计算中的情形对分段函数分段点的导数的计算 ,必须按定义求 ,不能套公式。例 1　设 f ( x) =e|x|,求 f′( x)。[错解 ]　因为 f ( x) =ex,　　 x≥ 0e- x,　 x <0 ,所以 ,f′( x) =ex,　　 x≥ 0-e- x,　 x <0[辨析 ]　 x=0是分段点 ,而对分段点的导数 …     

三角函数线在解答中的应用

单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示 .用函数线的数值来代替三角函数值比由定义所规定的比来得出三角函数的值优越得多 .因此 ,三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具 .透彻理解在单位圆中的三角函数线并能灵活运用是解三角题的重要技巧 .例 1　 ( 1 992年高考题 )在 [0 ,2π]上满足ｓｉｎｘ≥12 的ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) 0 ,π6 .　　　 (Ｂ) π6 ,5π6 .(Ｃ) π6 ,2π3. (Ｄ) 5π6 ,π .图 1　例 1图分析　由图 1中很容易看出在 [0 ,2π]上满足条件的ｘ应满足 :π6≤ｘ≤5π6 ,故选 (Ｂ) .评注　对于这类简单的三角…     

上期课外练习解答

高一年级1.在区间[0, ∞)上任取x1,x2使得x1相似文献   

三角函数与三角恒等变换

1.本单元知识点三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型.本单元的学习重点包括:三角函数的概念,三角函数的图象与性质,同角三角函数基本关系,三角函数诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,三角函数模型的应用.本单元的学习难点包括:三角恒等变换.2.典型例题选讲例1已知tanα=13,求值:     

“由反函数的定义域求给定函数的值域法”是错误的

若已知函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)是函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,那么 ,由函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)的定义域求得函数ｙ=ｆ(ｘ)的值域是无可非议的 .但是现在许多高中数学课外读物 (甚至教材[1 ] 上所介绍的“由反函数的定义域求给定函数的值域”法却值得商榷 .1　“由反函数的定义域求给定函数的值域法”在理论和实践上的失误以下两例 (或类似的例题 )常常被引为“由反函数的定义域求给定函数的值域法”的典型例题 :例 1　求函数ｙ =2ｘｘ 2 (ｘ≠- 2 )①的值域 .解　因为函数①的反函数是ｙ=2ｘ2 -ｘ它的定义域是 :(-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ ) .所以函数①的值…     

课外练习

高一年级1.函数f(x=√x2 1-ax(a≥1),求证:函数f(x) 在[0,∞)上是单调减函数. (浙江金华市第一中学(321000) 严根林)2.至少要用多少根火柴,才能拼出六个全等的正方形?(不许重叠)     

“诱导公式”教学实录与反思--发现教学法应用案例

1基本情况笔者有幸为前来江苏淮安考察的西藏教育代表团上了一堂公开课,课题为"三角函数诱导公式(1)".所用教材是普通高中课程标准实验教科书苏教版必修4.1.1学生分析所教班级是我校高一重点班,学生数学基础较好,学习积极性较高.1.2教材分析学生在初中已经学习了锐角的三角函数值求法,前几节课又学习了任意角三角函数定义、三角函数线、三角函数基本关系式,本节内容以这些为基础,利用单位圆和三角函数的定义,导出三角函数的     

关于函数极限概念的一点注记

教材 [1 ]给出极限的一般概念为 :在自变量的某个变化过程中 ,如果对应的函数值无限接近某个确定的数 ,那么 ,这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限 .用这一观点 ,教材把数列极限和函数极限统一起来 ,把函数的各种不同的极限过程也纳入了这个统一的极限框架中 .在这个极限的一般概念中应注意两点 .一是极限是考察在自变量的某个变化过程中函数值的变化情况的 ,因而该函数的极限值本身可以不是函数值 ,因而可以定义函数 (包括数列 )在±∞处的极限 ,特别是对于 limx→ x0f (x) ,函数 f (x)可以在点 x0 处没有定义 .二是自变量可以形…     

从对一堂“建模课”的分析,谈教学设计的优化

在无锡市学科带头人评选的赛课环节中,课题是《必修4》"1.3.4三角函数的应用",是一堂数学建模课,笔者有幸作为评委,观摩了十多位选手精心设计的课,各显特色,但差异较大,差异主要体现在教学设计,根子在于对教材、学生和对教学的理解上.下文呈现教材内容,分析几个代表性的设计方案,谈谈教学设计的优化.一、教材内容——1.3.4三角函数的应用一句话:三角函数能够模拟许多周期现象,因此在     

正弦函数与余弦函数的推广

正弦函数与余弦函数的推广耿济（海南大学，海口５７０２２８）三角函数Ｔ１（ｘ）＝ｃｏｓｘ，Ｔ２（ｘ）＝ｓｉｎｘ是数学上的基本初等函数，具有广泛的应用．中学和大学的数学教材中有许多关于三角函数Ｔ１（ｘ）与Ｔ２（ｘ）的公式和定理．中学数学中重要公式Ｔ２１（...     

Heine定理的等价命题及其应用

一、引言在国内流行的《数学分析》教材中 ( [1 ]～ [3 ]) ,均给出了描述函数极限与数列极限之间关系Heine定理或称归纳原则 :定理 1 ( Heine定理 )　设函数 f ( x)在 u。( a)有定义 ,则 limx→ af ( x) =b 对任意收敛于 a的数列{ an} u。( a)有 limn→∞ f ( an) =b。众所周知 ,Heine定理是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁 ,在极限理论和应用中 ,占有非常重要的地位。但是 ,该定理的充分性较强 ,运用中有一定的局限性。1 985年 ,文献 [4 ]减弱了 Heine定理的充分性条件 ,给出了与 Heine定理等价的如下命题 :定理 2 [4 ]　设函数 f ( x…     

借助图形求三角不等式的解

现行教材中出现的某些求三角函数(或复合函数)的值域或定义域的问题需要求出三角不等式的解,而教材中对于解三角不等式无定法可循,我们在教学中对于利用单位圆或三角函数的图象来解三角不等式作了一些尝试,现举几例加以简要说明,以抛砖引玉。例1 解不等式2~(1/2) 2cosx≥0。解原不等式等价于不等式     

双曲正弦函数与双曲余弦函数的推广

0前言正弦函数与余弦函数是大家常用的三角函数,它们还有一对“孪生”函数就是双曲正弦函数与双曲余弦函数,依次定义如下：其中常数e=2．7182818…,双曲函数在近代科学技术上有着广泛的应用．并且这两类“孪生”通数具有许多相似之处．最近笔者[1]对于正弦函数与余弦函数加以推广,本文继续探讨双曲正弦函数与双曲余弦函数的推广,即三维线性空间存在三个线性无关的函数组具有双曲正弦函数与双曲余弦函数的类似性质．1双曲函数推广关于双曲函数推广的问题,国外很早引起重视,但没有能够深入．Pipes[2.3]提出的定义,不仅是抽象的,还存…     

反三角函数的一点补注

现行高中代数上册中的反三角函数 ,都只讲了一个反函数的最简单调区间的反函数 ,如反正弦函数 (课本 2 68页至 2 75页 ) ,只讲ｙ =ｓｉｎｘ(ｘ∈[-π2 ,π2 ])的反函数ｙ=ａｒｃｓｉｎｘ(ｘ∈ [-1 ,1 ]) .但在习题十九的第 2题中的第 (3 )、(4 )题中 (第2 84页 ) ,却出现了“用反正弦的形式把下列各式中的ｘ表示出来”的ｘ∈ [π2 ,3π2 ],这就引导学生思考标准单调区间 [-π2 ,π2 ]外的单调区间[2ｋ-12 π ,2ｋ+12 π](ｋ≠ 0 ,ｋ∈Ｚ)的反正弦函数怎样表达的问题 .为了供教师参考 ,人民教育出版社中学数学室编的《高中代数上册 (必修 )教…     

巧用《几何画板》探求两函数“交点的个数”

在教学中,我们经常遇到求两个函数的交点个数或一个函数的零点个数问题,而这些函数中常常含有指数函数、对数函数、幂函数等等超越函数,若能巧妙地利用几何画板进行探求,就能顺利获解.下面就举几例说明,供大家参考.一、探求函数y=ax与y=xa(a>0且a≠1)的图象在x>0时交点的个数1.问题:(高一教材(人教A版必修1)同步作业第53页第4题):问函数y=2x与y=x2的图象在x>0时有几个交点?学生的主观错误:许多学生根据所画的局部图象,错误地认为两个函数只有一个交点.图12.(1)利用几何画板画出两函数的图象容易发现有两个交点,但是两个交点不十分明显;(2)…     

旧知生长引出新知,信息技术提升效益——以“锐角三角函数”单元教学起始课为例

锐角三角函数是初中阶段最后"出场"的新知识(也是开启一个重要的数学分支),可以选择的新知生长点有很多,不少教材都是从生活现实出发,研究特殊直角三角形在生活中的边角关系,依次定义正切、正弦、余弦,最后归纳概括出正切函数、正弦函数、余弦函数,而且分散在两到三个课时中进行,这样当然能化解难点,并且针对每个新出现的三角函数能进行足够的解题训练.然而,上述"分散"课时教学的一个不足就是在新引入一个数学分支时不利于学生第一时间感知整体,对三角函数的源头——"客从何处来"也不甚清楚.基于以上认识,我们整合教材资源,构思了"锐角三角函数"单元教学起始课,本文整理出来,供研讨.