抛物线两经典性质的推广及齐次化证明

1问题的提出题组(1)过抛物线y~2=2px的顶点O作互相垂直的弦OA,OB与抛物线相交于另两点A,B,求证:直线AB过定点(2p,0).(2)过抛物线y~2=2px上的一定点P(x_0,y_0),作互相垂直的弦PA,PB与抛物线相交于另两点A,B,试问直线AB是否也过定点?若过定点,请求     

抛物线定点问题的推广

抛物线有这样一个定点问题:如图1,过抛物线y2=2px的顶点O作互相垂直的弦OA,OB,与抛物线交于另两点A和B,则直线AB过定点(2p,0). 笔者将该定点问题从抛物线推广到一般的椭圆、双曲线.     

对一道高考试题的探讨

题　如图 1 ,设点A和 B为抛物线y2 =4px (p >0 )上原点以外的两个动点 ,已知OA⊥ OB,OM⊥ AB,求点 M的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 .(2 0 0 0年北京、安徽春季高考试题 )解法 1　设 A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) ,AB方程为 y =k(x - a) ,联立方程y =k(x - a)y2 =4px 　 y2 - 4 py     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

新题征展(25)第7题的别解及推广

贵刊 2 0 0 1年第 12期新题征展 (2 5 )第 7题是2 0 0 0年春季京皖高考题的改编题 ,是培养学生整体思维品质与细心演算习惯的一道好题 .我们再提供这道题的另外 4种解法并把结论推广到一般情况 .原题　如图 1,过原点 O作抛物线 y2 =2 px(p >0 )的两条互相垂直的弦 OA、OB,再作∠ AOB的平分线交 AB于 C,求 C点的轨迹方程 .解法 1　设 A(2 pt2 ,2 pt) ,C(x,y)则 k OA =1t,　 k OB =- t≠ 0 ,直线 OB的方程为 y =- tx (t≠ 0 ) ,代入 y2 =2 px得 B点坐标 (2 pt2 ,- 2 pt) ,图 1则　 | OA| =(2 p t2 ) 2 (2 pt) 2 =2 p| t| t2 1,|…     

关于抛物线的一个命题的推广

抛物线有一个有趣的命题：过定点M(2p,0)的动直线l与抛物线C：y2=2px(p＞0) 相交于P、Q两点,O为坐标原点,则∠POQ恒为直角.与其等价的命题是：过原点O作抛物线y2=2px(p＞0)的两条互相垂直的弦OP、OQ,则直线PQ恒过定点M(2p,0).文［１］给出此命题的一个推广,本文从另一角度给出此命题的推广.命题1 设M(x0,y0)为抛物线y2=2px上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,则直线PQ恒过定点M′(x0 2p,-y0)证 设PQ的方程为：x=my n(n≥0),代入y2=2px 得 y2-2pmy-2pn=0.由韦达定理得：y1 y2=2pm,y1y2=-2pn(1)其中y1,y2…     

一类解析几何问题——"圆锥曲线上一定点引出两弦"的有关性质研究综述

回顾与思考早在80年代初,出现过两道试题: 　　其一过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两弦OA与OB,若OA OB,则弦AB必过定点. 　　……     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

一道习题引发的思考

有这样一道常见的习题:从原点引y2=2px的两条弦OB、OC,其斜率分别kOB、kOC．若kOBkOC=-1(即OB⊥OC),求证直线BC过定点(2p,0)．思考(1)若从抛物线上任一点A引弦AB, AC,则直线BC会过定点吗?若过,怎样的定点?     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

抛物线弦过定点及轨迹问题的探索

由于抛物线的重要性,本文中将以开口向右的抛物线为例,探索有关抛物线弦过定点及轨迹的问题.例题如图1,抛物线y~2=2px(p>0),直线AB交抛物线于A、B两点,O为抛物线顶点,连结OA,OB.     

斜率关系问题的推广与应用

<正>笔者在辅导学生时,学生提出下面问题"AB是抛物线y²=4x的焦点弦,P是准线上一点,求证:kPA,kPF,kPB成等差数列."经探究得出其一般性.定理1 AB是抛物线y2=4x的焦点弦,P是准线上一点,求证:kPA,kPF,kPB成等差数列."经探究得出其一般性.定理1 AB是抛物线y²=2px,(p≠0)或椭圆x2=2px,(p≠0)或椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,(a>b>0)或双曲线     

恰当类比得成功,实现推广免遗憾

文[1]定理1如下: 　　在平面直角坐标系xOy中,设直线l与抛物线x2=2px(p＞0)交于A、B两点,且A、B在x轴的异侧.设m≥2p,则l过点T(m,0)的充要条件为→OA·→OB=m(m-2p).……     

圆锥曲线切线的一个统一性质

性质1 如图1,已知P是过抛物线y^2=2px（p〉0）的准线与x轴的交点M的弦AB在两端点处的切线的交点,线段AB的中点为C,F为抛物线的焦点,则（1）PF⊥x轴;（2）PC⊥PF． 证明 （1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为x=ty-p/2,联立直线AB的方程和抛物线方程消x整理得y^2-2pry＋p^2=0,所以由韦达定理有y1＋y2=2pt,y1y2=p^2     

综合题新编选登

题 98 　设抛物线y2 =2px (p >0 )的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于A ,B两点 ,点M在抛物线的准线上 ,O为坐标原点 ,求证 :1)MA ,MF ,MB的斜率成等差数列 ;2 )当MA⊥MB时 ,∠MFO =|∠BMF -∠AMF|.证　 1)设MA ,MF ,MB的斜率分别为k1,k ,k2 ,点A ,B ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,(- p2 ,m) .图 1　第 98题图因AB经过点F(p2 ,0 ) ,所以AB的方程可设为x =ty +p2 ,代入抛物线方程 y2=2 px ,得 y2 - 2 pty - p2 =0 .由根与系数关系可知 ,y1y2 =- p2 .注意到 y12 =2 px1,y22 =2 px2 ,得x1+p2 =y122 p+p2 =12 p(y2 +p2 ) …     

抛物线参数方程两个定理及其应用

应用抛物线参数方程、建立抛物线上不同点对应参数t_1、t_2之间的关系,能简化解题中的某些过程。定理一抛物线x=2pt~2 y=2pt 从顶点O作的两弦与抛物线两交点A(2pt_1~2,2pt_1)、B(2pt_2~2、2pt_2)。OA与OB互相垂直的充要条件为:t_1·t_2=-1。证明:K_(OA)=(2pt_1)/(2pt_1~2)=1/t_1,K_(OB)=(2pt_2)/(2pt_2~2)=1/t_2 OA、OB互相垂直的充要条件为K_(OA)·K_(OB)-1 ∴1/t_1·1/t_2=-1 即t_1·t_2 -1。定理二抛物线x=2ptA~2 y=2pt 上两点A(2pt_1~2,2pt_1)、B(2pt_2~2、2pt_2),焦点F(p/2,0)。A、F、     

活用点（x1＋x2，x1x2）的轨迹方程解题

在学习直线与圆锥曲线的位置关系时,不少学生使用韦达定理具有一定的盲目性.特别是遇到较复杂的问题时,更是如此.对此,在教学中我们给学生装上“轨迹思想”的方向盘,使问题有了很好的解决.我们引入弦的端点坐标(x1,y1),(x2,y2),构造点(x2+x2,x1x2),或点(y1+y2,y1y2),先求出点的轨迹方程,再结合韦达定理求出该点的坐标,代入所求轨迹方程,或利用点的存在域x1x2≤14(x1+x2)2,然后求解.这样处理,思路清晰,许多问题迎刃而解.例1已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上两点,且OA⊥OB,原点O在AB上的射影为D(2,1),求此抛物线方程.解设A,B的坐标分别为(x1…     

研究一个动点的轨迹

我们经常见到这样的一道轨迹题: 题目 (2000年北京、安徽春季高考题)设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个点,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.     

两道高考解析几何试题的和谐统一

我们知道，抛物线有一个应用广泛的几何性质： 设抛物线y^2=2px（P〉0），A，B是抛物线上异于顶点O的任意两点，则OA⊥OB的充分必要条件是直线AB经过定点Q（2p，O）．     

独具魅力的一幅抛物线图形

最值、定值、过定点、轨迹等问题是解析几何中研究的重点,也是难点,通过一幅独具魅力的抛物线图形(见图1),可以加深对这些问题的解决方法的领悟.题设:若动点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=2px(p>0)上且OA⊥OB.就这幅图可以依次提出下面的问题: