一道初一数论题的多种解法

<正>一个大于1的整数,如果它的约数只有两个,即1与它本身,我们称这样的整数为质数;如果它的约数个数超过两个,即它有不同于1与它本身的约数,我们称这样的整数为合数;而1既不是质数也不是合数,2是偶数中唯一的质数.要想说明一个大于1的整数是合数,     

同余关系和整除法则

1.同余关系的基本理论和性质 1801年,24岁的高斯(1777-1855)出版了专著"算术研究",在其中他提出了模演算法,以统一的观点处理了数论中的许多问题,从而开创了数论研究的新时代.笔者利用了模演算法来论述整数的整除性. 对于整数a,b以及正整数m,如果a-b能被m整除,也就是说a÷m所得的余数与b÷m所得的余数相等,则称a,b关于模m同余,记为a≡b(modm).[1]     

素数的判定

一个大于1的整数,如果只能被1和它本身所整除,则这个正整数叫做素数,否则叫做合数。开头的几个素数是2,3,5,7,…。为了进一步找出更多的素数,大约在公元前250年,     

利用质数的一条性质解题

只有1和它本身两个约数的正整数叫做质数.由此定义不难得到质数的一条性质:若p为质数,m,n均为正整数(m相似文献   

初中数学竞赛试题选讲(待续)

本文想通过对若干竞赛试题的分析,讲一些解题方法。下面分几个方面讨论,限于篇幅这里将不讨论竞赛中大量出现的几何题。一有关整数性质的题这类题目在竞赛中极多,它们涉及到数的整除性:带余表示(设a,b为任意整数,b>0。则有唯一的整数m与r,使得a=mb r,0≤r<6);质数:数的奇偶性等等。例1 一个六位数,如果它的前半部分三位数字与后半部分三位数字完全相同,顺序也相同。则7、11、13必是此六位数的约数。做题首先是审题。依题意所设六位数应是 (?) 由于7、11、13都是质数。且7·11·13=1001,所以本题无非是要证明N被1001整除,为此,只要注意到 (?)即证得本题。     

均值不等式及其应用

<正>均值不等式是中学数学中的一个常见不等式,有很重要的地位,也经常被叫做均值定理,在不等式证明及求最值方面应用非常广泛.1均值不等式如果a,b都是正数,那么■,当且仅当a=b时,等号成立.对任意两个正实数a,b,数■叫做a,b的算术平均值,数■叫做a,b的几何平均值.因此把这一常见不等式叫均值不等式.     

指数与对数的前世今生(一)

<正>1.引言众所周知,对数是高中数学的一个重要概念,沪教版高中数学教科书所给出的定义是:一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即a^b=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log_aN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.显然,对数概念的定义是通过幂这一桥梁     

关于正整数p~αq~β的正约数的个数

命题若一个正整数可以写成为pαqβrθ(p,q,r为互不相等的质数,α,β,θ为不小于1的自然数)．则它的正约数的个数N=(α 1)×(β 1)×(θ 1)．分析任取a∈{1,p,p2,…,pα},b∈{1, q,q2,…,qβ},c∈{1,r,r2,…,rθ}．则abc必为正整数pαqβrθ的正约数,这里的a有α 1种取法,b有β 1种取法,c有θ 1种取法．反之     

费尔马小定理的一种推广及其应用

费尔马小定理断言 :对任何素数p和与p互素的正整数m ,p必能整除mp- 1 - 1 ,用标准的数论记号 ,可以记作p｜mp- 1 - 1或mp- 1 =1 (modp) ,后一种表示读作mp- 1 被p除余 1 .欧拉曾把它推广到p不必是素数的情形 ,称为欧拉定理 .由于需要用到数论函数 φ ,不拟在此讨论 .有兴趣的读者可参考任何一本初等数论教材 .本文所要讨论的是另一种推广 :正整数a应该满足什么条件 ,才能使 (ma- 1 )被素数p整除 ,其中m与p互素 .或者更一般地 ,形如ma- 1的正整数能被p整除多少次 ?换句话说 ,我们要求出这样的非负整数r,使得pr｜ma- 1 ,但pr+1 不能整除ma- 1 …     

令人着迷的质数

一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外，不能被其他正整数所整除，这个整数就叫质数（也称素数）．如2、3、5、7、11等都是质数．而另一个事实是，人类在很早以前就认识了质数，极具说服力的是现藏于比利时布鲁塞尔自然历史博物馆的两块出土骨头．这两块从非洲刚果爱德华湖畔的一个小渔村发掘出来的骨头，经考古学家采用现代科学方法鉴定推测，是公元前九千年到前六千五百年之间古代非洲人用来雕刻或书写的工具，一端的把手刻有规则的刻痕，在另一端有一小块石英．     

梅森素数趣谈

素数也叫做质数,其特点是它只能被1和它本身整除.比如2009就不是一个素数,它可以被7整除.许多数学家都在寻找素数的秘密,著名的哥德巴赫猜想就与素数有密切关系;世界上最难的猜想当数黎曼猜想,它也是以素数为中心;欧几里得在两千多年以前就利用反证法证明了有无穷无尽的素数,梅森提出了少量素数可以表示成2~p-1(p为正整数)的形式,但科学家们至今也没有找到这种形式     

不定方程x4-y4=n整数解求法探讨

求方程 x4- y4=n　 ( n∈ N)的整数解 ,至今还没见到一般方法 ,本文将给出这类不定方程一种解法 .文中字母 P表示质数集 ,符号 ( a,b)( a、b∈ Z)表示不定方程　　 x4- y4=n　 ( n∈ N) ( 1 )的整数解 .定理 1　若 n∈ P,则方程 ( 1 )没有整数解 .证明　假定方程 ( 1 )有整数解 ( a,b) ,定有　 a2 b2 =n,　 a2 - b2 =1 ,∵　 a、b∈ Z,| a| >| b| ,只有　　　 (± 1 ) 2 - 0 2 =1 ,∴　 a =± 1 ,　 b =0 ,　 a2 b2 =1 ,与 a2 b2 =n是质数相矛盾 ,故方程 ( 1 )没有整数解 .由费马定理知 ,有定理 2　当 n =m4( n∈ N)时 ,则方程 ( 1…     

正整除算题个位商、十位商的确商方法

从《全国珠算技术等级鉴定标准》的除算试卷看,凡是正整数与正整数相除都是除得尽题,能手级及普通一级题占60％,普通四级题占80％,如果寻求相适应的算法,就能大大减少拨珠量,加快运算速度;这种正整除算题个位商、十位商的确商方法,只能局限在珠算技术等级鉴定时运用。 一、整除的概念 在除法计算中,两数相除、商是整数且没有余数叫整除。例如21÷7=3,叫做21能被     

不可约与几乎可约布尔矩阵的幂敛指数

§1.引言 布尔矩阵是指元素按如下规则运算的(0,1)矩阵:a+b=max{a,b},a·b=min{a,b}(a,b∈{0,1}),n阶布尔方阵的集合记为B_n。一个布尔方阵A的幂敛指数k(A)是满足如下条件的最小非负整数k: 条件:存在正整数p,使A~k=A~(k+p), (1.1)而称满足条件A~(k(A))=A~(k(A)+p)的最小正整数p为A的周期,记作p(A)。 对布尔矩阵的幂序列及幂敛指数的研究在有限自动机理论、二元关系理论及遍历指     

数论问题

本讲通过数学竞赛中的一些数论问题,简要地介绍初等数论中较为基本的思考方法.对于问题所涉及的数论基础知识,我们将直接引用而不作讨论(可以参看,例如,《奥数教程》,高三年级,华东师范大学出版社) .例1　设a ,b是给定的正整数,证明,仅有有限多个正整数n ,使得(a + 12 ) n+ (b + 12 ) n为整数.证　问题等价于证明,仅有有限多个n ,使得2 n整除(2a + 1) n+ (2b + 1) n.我们希望分解被除数(2a + 1) n+ (2b + 1) n.这在n为奇数时易于实现:我们有(2a + 1) n + (2b + 1) n =(2a + 2b + 2 ) (2a +1) n -1- (2a + 1) n -2 (2b + 1) +…- (2a + 1) (2…     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于方程ax+by=cz的Terai-Jesmanowicz猜想

设m是正整数,证明了:(A)如果b是奇素数,且a=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,那么丢番图方程ax+by=cz(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3);(B)如果b是奇素数,且a=m|m4-10m2+5|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,那么丢番图方程(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

连续完全平方数的一些有趣的性质

若a是整数,那么a~2就叫做a的完全平方数,例如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,那么a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。例如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有哪些性质呢? 我们知道,16= 4~2,25=5~2,在16和25之间的任意整数都不是完全平方数。这就是说:在两个连续正整数的平方之间不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,使得a~2在n~2和(n+1)~2之间,即n~2相似文献   

幂次为2和3的素变数方程的小素数解

本文研究素变数方程■的可解性,其中a1, a2,..., a6是非零整数, b是整数.本文利用圆法证明了,当a1, a2,..., a6和b满足给定条件时,(i)如果a1, a2,..., a6都是正数,那么当■时方程有素数解;(ii)如果a1, a2,..., a6不都是正数,那么方程的素数解满足■.     

平方数判定法的一个简明证法

这是81年北京市初三年级的一道数学竞赛题:如果正整数N(N>1)的正约数的个数是奇数,求证:N是完全平方数。该题的常见证法都是先将N表示成标准因子分解式的形式:N=P_1~(a1)p_2~(a2)…P_n~(an),其中P_1相似文献