竞赛中的质数题

<正>质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(也称素数);如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数,那么叫a做b被整除,记作b|a,b就叫做a的约数;当几个正整数有公有的约数,叫做这几个正整数的公约数,公约数中最大的一个公约数,称为这几个正整数的最大公约数;正整数a、b的最大公约数可以记作(a、b);当(a、b)=1时,则称这两个正整     

素数的判定

一个大于1的整数,如果只能被1和它本身所整除,则这个正整数叫做素数,否则叫做合数。开头的几个素数是2,3,5,7,…。为了进一步找出更多的素数,大约在公元前250年,     

捉摸不定的“质数公式”

<正>对于质数(也称素数),大家都不陌生,它是指除了1和本身之外没有其他约数的自然数.尽管质数已经由欧几里得证明有无数个,但由于限定前提和特征的缘故,质数相对仍显得特殊和稀少,而且在数学领域中有极其广泛的应用,因此,古往今来的数学家都致力于探     

利用质数的一条性质解题

只有1和它本身两个约数的正整数叫做质数.由此定义不难得到质数的一条性质:若p为质数,m,n均为正整数(m相似文献   

令人着迷的质数

一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外，不能被其他正整数所整除，这个整数就叫质数（也称素数）．如2、3、5、7、11等都是质数．而另一个事实是，人类在很早以前就认识了质数，极具说服力的是现藏于比利时布鲁塞尔自然历史博物馆的两块出土骨头．这两块从非洲刚果爱德华湖畔的一个小渔村发掘出来的骨头，经考古学家采用现代科学方法鉴定推测，是公元前九千年到前六千五百年之间古代非洲人用来雕刻或书写的工具，一端的把手刻有规则的刻痕，在另一端有一小块石英．     

完全数的性质及其应用

如果一个整数能表示成它的除了本身以外的所有约数的和,那么这个整数叫做完全数.比如6,除了6以外,它的约数有1,2,3,而6=1 2 3。所以6是完全数。又如28,除了28以外,它的约数有1,2,4,7,14,而28=1 2 4 7 14,所以28是完全数。     

数学竞赛之窗

1 设p是一个质数，s是一个整数，0〈s〈P．证明：存在整数m,n,使得0〈m〈n〈p，且{sm/p}〈{sn/p}〈{s/p}成立的充要条件是：s不是p-1的约数．     

高中应增加“整数”一章

我国目前中学生除了在小学课本上见到“约数、倍数和质数”等几个名词外,对整数性质几乎一无所知。对一些很简单的整数问题往往束手无策,这是很不正常的。为此建议在高中一年级代数中增加“整致”     

趣味数学题数则

一、庆祝《1983》春节本刊从今年起改为双月刊,全年共发行六期.下面共拟了六道算术题,以助乐于新春佳节. 1.1983是质数还是合数?如果是合数,写出它的标准分解式.     

利用微机计算古典数论问题

判断一个大的整数是否素数，如果它不是素数的话又如何将它分解为若干个因数的乘积是古典数论的一个重要问题．由于计算机科学和密码学的发展，上述的古典问题又焕发出了新的光亮．因为有一种很简单的密码是用素数模乘法变换来构造的．如果你不知道这个素数，你就无法解开这个密码．有人甚至将这个密码的钥匙半公开：一般是把两个素数乘起来产生一个合数．因为这个数很大，如果你不会分解它你是无法解开这个密码的．而制造这个密码的人就需要记住合数分解的方法，密码随时可以解开。     

分解因式、质因数解一类整数问题

一、问题模型 x、y、m、n均为整数,且m、n为质数, 如果xy=mn,则有式子xy=mn左边是两个因式的积,右边是两个质因数的积,通过把整数mn分拆,达到求x、y的值的目的．不     

质数史话

同学们,质数是一个古老而又深奥的话题.这里,我想就质数无限性的证明与质数表达式的寻求两个话题用通俗的语言和同学们聊一聊,希望大家在了解质数史的同时领悟其中所隐含的数学思想方法. 众所周知,正整数集N={1,2,3,…)可分为三类:第一类是数1(仅一个数);第二类是合数(有无限多     

“1984”趣题

在1984年新年之际,我们列举几道和1984这个数值有关的趣味数学题为中学师生和数学爱好者春节期间助兴。 1.某四位数m,它一共有14个正约数,其中质数约数的总和等于33,求m。解:设m=P_1~(a1)、P_2~(a2)…P_k~(ak),其中p_1,P_2,…,P_k是m的质数约数,a1、a2、…、a_k是自然数。由于m的正约数的个数是14,即 (a_1+1)(a_2+1)…(a_k+1)=14=2×7。∴k=1或2。又因P_1+P_2+…+P_k=33=2+31=2+3+5+23=…,故k≥2。∴k=2。从而p_1=2,P_2=31。a_1=1或6;a_2=6或1。但由于m是一个四位数,∴m=26·31=1984。 2.在自然数集合上定义函数f(n),设f(1)=     

自然数的等差分拆公式

自然数的等差分拆公式陕西华阴市黄河工程机械厂中学李建章文［１］给出了至少含有两个奇约数的自然数的等差分拆的一个定理，本文利用对称思想，给出所有大于８的合数的等差分拆的简易方法──真因数中项对称法．为方便，本方约定ｍ、ｎ均为自然数Ｎ的真因数（即非１和Ｎ...     

可爱的0与1

大家知道,最简单的数字莫过于0与1,然而却有着极其丰富的内涵.这里仅就初中数学教学的范畴来解读中学生眼中的0与1.——愿人人都能分享其中的美与妙,不同的人获得不同的感悟:“1”不小心爱上“0”! 一、0与1的特性 0是第一个自然数,逐次“加1”就有了后续无穷无尽的自然数,进而就产生了分数,小数,有理数,实数乃至复数(i2=-1 )等.0是自然数,当然也是整数,是有理数,是实数,但它既不是正数,也不是负数,是唯一的中性数,还是绝对值最小的数;1是最小的正整数,在自然数集合中,只有1既不是质数也不是合数.在现实世界的时间和空间里,一切都得从0和1开始.正因为0与1的特殊地位,注定了它与众不同的运算特性.     

巧用和的立方公式凑2019

<正>今年是公元2019年,而2019=3×673,注意到3与673都是质数,所以2019不是一个整数的平方.那么它是否可能是一个整数平方的末四位数吗?答案是否定的.因为2019若是一个整数平方数的末四位数,那么这个整数的个位数只能是3或7,于是这个整数可设为     

埃拉托塞尼与素数筛子

自然数是人们最早研究的数学对象,又是最有扭力的、从中能产生无穷多个问题的数学对象,而且从不同的角度探讨自然数,就会形成不同的问题．例如,从自然数所含的因数的个数来看,可把所有的自然数分为三个部分：（1）仅有一个因数的数工;（2）有且仅有两个因数的数,即除1和自身以外,没有别的因数的数,如2,3,5,7,…等,称为素数（质数）;（3）有三个以及多于三个不同的因数的数,即除1和自身以外,还有其他因数的数,如4,6,8,ZO。…等,称为复合数,简称合数．如我们已经知道的,素数就构成了数学中的许许多多重要的课题,如…     

浅谈双心四边形

如果一个四边形既有内切圆又有外接圆,我们把这样的四边形称为双心四边形.双心四边形既有外心又有内心.根据双心四边形的定义,它必须满足两个条件,第一,四条边的垂直平分线相交于一点,即外心;第二,四个角的平分线相交于一点,即内心.显然,正方形是双心四边形,它的外心与内心重合为一点.     

“智慧数”的自白

我叫智慧数 ,是正整数王国的一个组成部分 .我的特征是能表示为两个不同正整数的平方差 ,比如 2 4=72 -5 2 ,2 4就是一个智慧数 .细心、好奇的同学通过观察运算会发现 ,我在正整数王国里出现是很有规律的 .1是最小的正整数 ,它不能表示为两个不同正整数的平方差 ,所以 1不是智慧数 .对于大于 1的奇正整数 2ｋ + 1 ,有 2ｋ+ 1 =(ｋ+ 1 ) 2 -ｋ2 (ｋ =1 ,2 ,… ) ,所以大于 1的奇正整数都是我的家庭成员 .被 4整除的偶数 4ｋ,总有 4ｋ =(ｋ+ 1 ) 2 -(ｋ-1 ) 2 (ｋ=2 ,3,4,… ) ,即大于4且是 4的整数倍的数都是智慧数 ,而 4不能表示为两个不同…     

初中数学竞赛试题选讲(待续)

本文想通过对若干竞赛试题的分析,讲一些解题方法。下面分几个方面讨论,限于篇幅这里将不讨论竞赛中大量出现的几何题。一有关整数性质的题这类题目在竞赛中极多,它们涉及到数的整除性:带余表示(设a,b为任意整数,b>0。则有唯一的整数m与r,使得a=mb r,0≤r<6);质数:数的奇偶性等等。例1 一个六位数,如果它的前半部分三位数字与后半部分三位数字完全相同,顺序也相同。则7、11、13必是此六位数的约数。做题首先是审题。依题意所设六位数应是 (?) 由于7、11、13都是质数。且7·11·13=1001,所以本题无非是要证明N被1001整除,为此,只要注意到 (?)即证得本题。