一道高考试题的推广和应用

题如果棱台的两底面面积分别是S、S’，中截面的面积是S0，那么（）．此为1998年高考数学试题中的第（9）题．此题可作如下推广：推广1如果棱台的两底面积分别为S1、S2，一平行于底面的截面将棱台的高自上而下分成的高的比为λ，则截面面积满足推广2如果核台的两底面面积分别为S1、S2，一平行于店面的截面将棱台分成自上而下两部分体积的比为λ，则截面面积满足证明（1）如图1，设截面面积为S，截面到上底面距离为λh，到下底面距离为h，将台体补成锥体后，设锥顶P到上底面距离为x，由截锥体性质定理得当λ＝1时为中截面面积公式．（2）…     

公式2(S_0)~1/=(S_上)~1/2 (S_下)~1/2的思考

设棱台的两底面积分别为Ｓ上,Ｓ下,棱台中截面面积为Ｓ０,则有２Ｓ０＝Ｓ上＋Ｓ下．此公式的结构使我们易于联想到解析几何的中点坐标公式．下面以三棱台为例探索问题的一般形式．为方便起见,这里约定棱台上、下底面,平行于底面的截面面积分别用Ｓ上,Ｓ下,Ｓ表示．...     

平行于底面的平面截圆台所得性质及应用

平行于底面的平面截圆台所得性质及应用侯守一，刘文博（天津市津南区咸水沽一中３００３５０）性质设圆台的底面半径分别为ｒ１，ｒ３，平行于底面的截面半径为ｒ２，且ｒ１＜ｒ２＜ｒ３，截面将圆台分成上、下两部分，其高分别为ｈｔ，ｈ２：侧面面积分别为Ｓ１，Ｓ２；...     

Simpson公式的联想

文 [1 ]、[2 ]所介绍的 Simpson公式是指如下的定理　夹在两平行平面之间的几何体 ,如果被平行于这两个平面的任何平面所截 ,截得的截面面积是截面距底平面高度的不超过三次的多项式函数 ,则此几何体的体积为V=h6( S上 +4 S中 +S下 ) , ( 1 )其中 h是几何体的高 ,S上 、S下 和 S中 分别表示几何体的上、下底面和中截面面积 .( 1 )式很容易利用平行截面面积为已知 ,立体体积的定积分方法得到 .设此立体的底面垂直于 x轴 ,下底面过坐标原点、立体的高为 h,平行于底面的截面面积 S( x)=ax3 +bx2 +cx+d,其中 a,b,c,d为常数 ,则此立体体积V=…     

锥体的两个性质及运用

我们知道锥体被平行于底面的平面所截,那么截面和底面的面积比等于截得的锥体的高和原锥体的高的平方比．这是一个很重要的性质,此外,以下两条锥体的性质也是很有用的．设锥体的高为ｈ,侧面积为Ｓ,体积为Ｖ;该锥体被平行于底面的平面所截,截得的锥图１体的高为ｈ′,侧面积为Ｓ′,体积为Ｖ′．这时有以下两个性质：（ｉ）Ｓ′Ｓ＝ｈ′２ｈ２;（ｉｉ）Ｖ′Ｖ＝ｈ′３ｈ３．下面就性质（ｉ）,当锥体为棱锥时简要证明：如图１,设棱锥Ｐ—ＡＢＣ的高为ｈ,侧面积为Ｓ,截面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥底面ＡＢＣ,截得的棱锥Ｐ—Ａ′Ｂ′Ｃ′的高…     

对台体截面性质的再认识

有这样一个已被大家所了解的台体截面性质——如果台体 (棱台、圆台 )上、下底面积分别为 S上 、S下 ( S上 相似文献   

关于棱台截面积的一个公式

一个棱台的上底为N,下底为M,一个平行于底面的截面Q将这棱台的高自上而下的分成n∶m,则??     

公式2(S_0)1/2=S1/2 (S′)1/2的推广与应用

在高一《立体几何》中 ,关于台体 (棱台、圆台 )的中截面有这样的一个性质 :2Ｓ0 =Ｓ Ｓ′(《立体几何》Ｐ64 例 2及Ｐ80 习题十第 1 1题 ) .换句话说 ,台体 (棱台、圆台 )的上底面面积Ｓ′、中截面面积Ｓ0 、下底面面积Ｓ的算术平方根Ｓ′、Ｓ0 、Ｓ组成了一个等差数列 ,公差ｄ =12 Ｓ -Ｓ′ .是不是只有中截面与上、下底面的面积具有这种性质 ?其它截面与上、下底面的面积是否具有类似的性质 ?我们不仿看一下 .设台体 (棱台、圆台 )的上、下底面面积分别是Ｓ′、Ｓ ,台体 (棱台、圆台 )的高为ｎｈ ,设Ｓ1 、Ｓ2 …Ｓｎ- 1 分别是过台体 (…     

公式2(√S0)=(√S)+(√S')的推广与应用

在高一<立体几何>中,关于台体(棱台、圆台)的中截面有这样的一个性质:2(√S0)=(√S)+(√S')(<立体几何>P64例2及P80习题十第11题).换句话说,台体(棱台、圆台)的上底面面积S'、中截面面积S0、下底面面积S的算术平方根(√S')、(√S0)、(√S)组成了一个等差数列,公差d=12((√S)-(√S')).     

用函数的思想解平行底面的锥体截面问题

在立体几何中学习锥体和台体时,经常会遇到锥体(或台体)平行底面截面的问题．如已知锥体(或台体)的高被平行于底面的截面分成的比,求各截面的面积或它的侧面积、体积被截面分成的各部分的比,或者相反的一类问题．在现行教材中,一般都用棱锥平行底面的截面性质：“如果棱锥被平行底面的平面所截,     

锥、台体截面面积的一个通式

统编高中数学第二册《空间图形》部分,导出了棱台中截面(与两底等距离的截面)面积公式:S_0=(S′~(1/2) S~(1/2)/2)~2(S_0表示中截面面积,S′、S分别表示上、下两底面面积)。注意到:S_0只与棱台上、下底面积及截面与上、下两底面距离之比有关,而不依赖于台体的高度。对这个问题有兴趣的读者自然会提出这样的问题: (1)截面与上、下两底面的距离比为λ(不一定是中截面)时,其面积“S_0”的表达式怎样? (2)截面分棱台上、下两部分的侧面积     

用平面简单示意图代替多面体的直观图

在解答与棱锥、棱台底面平行的截面有关的问题时 ,用平面简单示意图代替直观图 ,既能省去画直观图的麻烦 ,又能起到想象出它们构造特点的作用 .再利用相似比 ,能顺利地解答这方面的问题 .例 1　已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的侧面积为Ｑ ,Ｍ为高ＰＯ上一点 ,且ＰＭ =13ＰＯ ,过Ｍ作平行于底面的截面 ,求截面与棱锥底面之间棱台部分的侧面积 .图 1　例 1图解　如图 1,设过Ｍ且平行于底面的截面为底的小棱锥的侧面积为Ｓ0 ,棱锥的高为 3ｈ ,则小棱锥的高为ｈ ,由相似比得Ｓ0Ｑ =( ｈ3ｈ) 2 =19,得Ｓ0 =19Ｑ .故所求棱台部分的侧面积为Ｑ -Ｓ0 =Ｑ - 19…     

台体中截面面积公式的推广

台体的中截面面积公式为:2了瓦=了瓦,+了不.现将其推广为; 若台体上、下底面积分别为S上、s下,平行于上、下底面且将台体的高自上而下分为久的截面面积为s。,则了否万~抓五十人丫不1+久 证明延长各侧棱(母线)交于一点,台体还原为锥体设顶点与上底面的距离为‘,令“一号,贝”台体上、下底面与截面的距离分别为二、。,由锥体的截面性质可得h+服 h亦即了瓦一而I- 了瓦竺h 一一瓜一瓜同理舞澎五一竺俨主.’.镖任,聂一念一南 将了西石解出即得证· 上述公式与解几中的定比分点坐标公式有共性结构,便于记忆· 显然当久=1时,即为台体的中截面面积…     

88台体的体积

１　棱台的体积（４）Ｔ：棱台是由棱锥出发，用平行于底面的截面截图１割出来的．我们已经知道，棱台的体积可用多种途径来得出，如：补成棱锥法；分割成柱锥法；类比猜测法（分别参考本刊１９９７，１、１９９９，１棱台的体积（１）、（２）、（３））．能否试换成另一种方法来达到目的呢？解题时，一个好构想是最重要的！上述之（３），是从三棱台中割出一个三棱柱．换一个思路，我们先把它补成一个三棱柱又如何呢？如图２，在原三棱台ＢＣＤ—Ｂ１Ｃ１Ｄ１基础上，延长Ｄ１Ｃ１至Ｆ，使Ｄ１Ｆ＝ＤＣ；延长Ｄ１Ｂ１至Ｅ，使Ｄ１Ｅ＝ＤＢ…     

对三棱锥的一个截面的探讨

现行高级中学课本《立体几何》（必修本）P62，有这样一道题求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．这是一道看似平淡无奇、实则回味无穷的好题．如图I，利用线面平行的性质不准证明．本文拟对截面EFGH作点探讨，得到一些饶有趣味的命题，并例析此截面的广泛应用．IM面特殊化由截面＊＊CH平行移动而得命gi（l）当E为AB中点，且SA一BC时，截面EFGH是菱形；（2）当SA上BC时，截面EFGH是矩形；（3）当E为AB中点，SA—BC，SA上BC时，截面EFGH是正方形．对棱SA、BC的长H相对位置已定，则有命…     

基础知识自测

一、选择题二.在斜棱柱的侧面中,矩形最多有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.已知长方体的高为h,底面面积为Q,垂直于底面的对角面的面积为R,则此长方体的侧面积S等于 ( ).3.一个正四棱锥的中截面面积是9,它的底面边长是 ( ).(A)9/4 (B)3/2 (C)3 (D)64.一个正三棱台上、下底面的边长分别为2和6,侧面与下底面所成的二面角为60°,则此棱台的高为     

例谈“定比分点坐标公式引出的结论”的运用

文 [1 ]由线段的定比分点坐标公式类比出丰富的结论 ,可把这些结论综述为 :定理 1　设梯形中平行于底边的截线及上、下底边长分别为ａ0 ,ａ1,ａ2 ,用λ1,λ2 分别表示截得的上梯形与下梯形的高、面积的比 ,则ａｉ0 =ａｉ1 λｉａｉ21 λｉ (ｉ=1 ,2 ) .定理 2　设台体 (指棱台或圆台 )中平行于底面的截面及上、下底面面积分别为Ｓ0 ,Ｓ1,Ｓ2 ,用λ1,λ2 ,λ3分别表示截得的上台体与下台体的高、侧面积、体积的比 ,则(Ｓ0 ) ｉ=(Ｓ′1) ｉ λｉ(Ｓ2 ) ｉ1 λｉ(ｉ=1 ,2 ,3) .下面再给出定理 1 ,2的简洁证明 .定理 1的证明　延长梯形的两腰…     

n维空间中两平行平面之间距离的一种求法

ｎ维空间中两平行平面之间距离的一种求法朱玉扬（安徽省肥西师范学校２３１２００）本文将用柯西不等式求证ｎ维空间中两平行的（超）平面之间的距离公式．设二维空间中两平行（超）平面为：点ＰＩ（一，畦，…，礼）、ＰＺ（。１’，。：，…，畦）分别是７ＴＩ、ａｐ上...     

台体体积公式V=1／6h（S上＋4S中＋S下）的应用

台体体积公式 :V =16 h(S上 + 4S中 +S下) ,其中S上 为上底面的面积 ,S下 为图形的下底面的面积 ,S中 为图形平行于上、下底面且到上、下底面的距离相等的截面的面积 .这个公式有很多应用 ,它不仅可以用于计算我们熟悉的图形的体积 ,也可以用于计算一些条件特殊的立体图形的体积 .1　常见几何体中公式的应用1)棱 (圆 )柱 (已知底面积和高 ) :因为S上 =S中=S下 =S ,所以V =16 h(S上 + 4S中 +S下) =Sh .2 )棱 (圆 )锥 (已知底面积和高 ) :根据中截面和底面相似 ,且相似比为 1∶4 ,易知 :S上 =0 ,S中 =14S ,S下 =S ,代入V =16 h(S上 …     

五、多面体与旋转体

A 组一、填空 1.圆柱底面面积为Q,轴截面面积为S,则圆柱的体积为___。 2.矩形边长的比为l:2,以其边为轴旋转一周,则得到的两个圆柱的体积的比为__。 3.正三棱柱的棱长均为a,过底面一边和两底中心连线的中点作截面,则截面面积为__。 4.用平行于底的平面S截圆锥V,①若S把V分为体积相等的两部分,则截得的圆台与小圆锥的高之比为__;②若S把V分为侧面积相等的两部