一道高考试题的推广和应用

题如果棱台的两底面面积分别是S、S’，中截面的面积是S0，那么（）．此为1998年高考数学试题中的第（9）题．此题可作如下推广：推广1如果棱台的两底面积分别为S1、S2，一平行于底面的截面将棱台的高自上而下分成的高的比为λ，则截面面积满足推广2如果核台的两底面面积分别为S1、S2，一平行于店面的截面将棱台分成自上而下两部分体积的比为λ，则截面面积满足证明（1）如图1，设截面面积为S，截面到上底面距离为λh，到下底面距离为h，将台体补成锥体后，设锥顶P到上底面距离为x，由截锥体性质定理得当λ＝1时为中截面面积公式．（2）…     

对台体截面性质的再认识

有这样一个已被大家所了解的台体截面性质——如果台体 (棱台、圆台 )上、下底面积分别为 S上 、S下 ( S上 相似文献   

公式2(S_0)1/2=S1/2 (S′)1/2的推广与应用

在高一《立体几何》中 ,关于台体 (棱台、圆台 )的中截面有这样的一个性质 :2Ｓ0 =Ｓ Ｓ′(《立体几何》Ｐ64 例 2及Ｐ80 习题十第 1 1题 ) .换句话说 ,台体 (棱台、圆台 )的上底面面积Ｓ′、中截面面积Ｓ0 、下底面面积Ｓ的算术平方根Ｓ′、Ｓ0 、Ｓ组成了一个等差数列 ,公差ｄ =12 Ｓ -Ｓ′ .是不是只有中截面与上、下底面的面积具有这种性质 ?其它截面与上、下底面的面积是否具有类似的性质 ?我们不仿看一下 .设台体 (棱台、圆台 )的上、下底面面积分别是Ｓ′、Ｓ ,台体 (棱台、圆台 )的高为ｎｈ ,设Ｓ1 、Ｓ2 …Ｓｎ- 1 分别是过台体 (…     

2000年普通高等学校春季招生考试(北京、安徽卷)数学(理工农医类)

本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 .共 15 0分 .考试时间 12 0分钟 .第 卷 (选择题共 60分 )参考公式 :三角函数和差化积公式sinθ sinφ=2 sinθ φ2 cosθ-φ2sinθ-sinφ=2 cosθ φ2 sinθ-φ2cosθ cosφ=2 cosθ φ2 cosθ-φ2cosθ-cosφ=-2 sinθ φ2 sinθ-φ2正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 ( c′ c) l其中 c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体 =13 ( S′ S′S S) h其中 S′、S分别表示上、下底面积 ,h表示高一、选择题 :本大题共 14小题 ;第 ( 1)— ( 10 )题每小题…     

棱台截面的一个性质及其应用

《立体几何》教本中，’‘棱台”这一节里，有一道例题（P64例2）：设棱台的两底面积是S、S．它的中截面面积是S0，求证：本例所给出的结论．显然是有应用价值的．而其证明方法，更有参考意义．下面．笔者执破一般情形，推导平行于梭台底面的技面面和公式．按台的上、下底面面积分别为S。、ST，平行于店面的钱面将按台的高分成上、下两段之比为声：】，记S。为截面面积，求证：汪清1设花得此技台的原校锥的顶点到上庆面的距离为X，高被截面分成的上、下两段的长为p，，。，qm．则据棱雄的重要性质得由（1）、（2）有当P—q时，即得棱台…     

公式2(√S0)=(√S)+(√S')的推广与应用

在高一<立体几何>中,关于台体(棱台、圆台)的中截面有这样的一个性质:2(√S0)=(√S)+(√S')(<立体几何>P64例2及P80习题十第11题).换句话说,台体(棱台、圆台)的上底面面积S'、中截面面积S0、下底面面积S的算术平方根(√S')、(√S0)、(√S)组成了一个等差数列,公差d=12((√S)-(√S')).     

一个近似公式

在中等工业技术学校里,学生应該习慣于利用表格和手册。在技术手册中,常常遇到一些熟悉的面积和体积公式,本文的目的是使讀者认識这些公式的来源。 1.現在,我們分析梯形的面积。假定梯形的上下底为y_1和y_3,高为h。梯形的中位綫用y_2表示。面积 S=h(y_1 y_3)/2=(h/6)(3y_1 3y_3) =(h/6)[y_1 y_3 2(y_1 y_3)] =(h/6)(y_1 y_3 (4y)_2).結果 S=h/6(y_1 y_3 (4y)_2). 2.分析棱台的体积,可以得到类似的公式。假定这个棱台的上下底面为y_1和y_3,高为h,它的平行中截面用y_2表示。我們有 y_1:y_2:y_3=a_1~2:a_2~2:a_3~2,其中a_1,a_2,a_3为底面和中截面的对应边。由此 (y_1)~(1/2):(y_2)~(1/2):(y_3)(1/2)=a_1:a_2:a_3,但 a_2=(a_1 a_3)/2,     

公式2(S_0)~1/=(S_上)~1/2 (S_下)~1/2的思考

设棱台的两底面积分别为Ｓ上,Ｓ下,棱台中截面面积为Ｓ０,则有２Ｓ０＝Ｓ上＋Ｓ下．此公式的结构使我们易于联想到解析几何的中点坐标公式．下面以三棱台为例探索问题的一般形式．为方便起见,这里约定棱台上、下底面,平行于底面的截面面积分别用Ｓ上,Ｓ下,Ｓ表示．...     

例谈“定比分点坐标公式引出的结论”的运用

文 [1 ]由线段的定比分点坐标公式类比出丰富的结论 ,可把这些结论综述为 :定理 1　设梯形中平行于底边的截线及上、下底边长分别为ａ0 ,ａ1,ａ2 ,用λ1,λ2 分别表示截得的上梯形与下梯形的高、面积的比 ,则ａｉ0 =ａｉ1 λｉａｉ21 λｉ (ｉ=1 ,2 ) .定理 2　设台体 (指棱台或圆台 )中平行于底面的截面及上、下底面面积分别为Ｓ0 ,Ｓ1,Ｓ2 ,用λ1,λ2 ,λ3分别表示截得的上台体与下台体的高、侧面积、体积的比 ,则(Ｓ0 ) ｉ=(Ｓ′1) ｉ λｉ(Ｓ2 ) ｉ1 λｉ(ｉ=1 ,2 ,3) .下面再给出定理 1 ,2的简洁证明 .定理 1的证明　延长梯形的两腰…     

Weisenbck不等式在三维空间中的推广

设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2)S)当且仅当a=b=c时等号成立,这就是著名的Weisenbock不等式。对此不等式,本文将其推广到三维空间中的四面体,六面体,八面体,十二面体和二十面体中去。定理1 若S_1,S_2,S_3,S_4,V分别表示四面体ABCD的四个面的面积和体积,则     

台体体积公式V=1／6h（S上＋4S中＋S下）的应用

台体体积公式 :V =16 h(S上 + 4S中 +S下) ,其中S上 为上底面的面积 ,S下 为图形的下底面的面积 ,S中 为图形平行于上、下底面且到上、下底面的距离相等的截面的面积 .这个公式有很多应用 ,它不仅可以用于计算我们熟悉的图形的体积 ,也可以用于计算一些条件特殊的立体图形的体积 .1　常见几何体中公式的应用1)棱 (圆 )柱 (已知底面积和高 ) :因为S上 =S中=S下 =S ,所以V =16 h(S上 + 4S中 +S下) =Sh .2 )棱 (圆 )锥 (已知底面积和高 ) :根据中截面和底面相似 ,且相似比为 1∶4 ,易知 :S上 =0 ,S中 =14S ,S下 =S ,代入V =16 h(S上 …     

巧证几何不等式

<正>在△ABC中,D、E分别为边BC和CA上的点,T是DE上的点,S_1、S_2、S分别表示△ADE、△BDT、△ABC的面积,则(S_1/S)^(1/3)+(S_2/S)(1/3)+(S_2/S)^(1/3)≤1.     

有趣的比入

下列命题是大家所熟知的: 设棱台的底而面积分别是二/、S、它的中截面的面积是万。贝任2了之。=了。+了之/. 假如对上述结论稍作变换,卿可得:丫乙。一了态,了S一护含。=1对这个富有特点的式子,结合棱台的中截面,使人容易联想到式中右端的1恰可看作截面分高之比.推而思之,若刃、.”_‘_:台的高之比为只,那么是否会有了夕。一护5,了S一了S。~只呢? 如图所示,因为载而与两底而平行,所以多边形了。尸。户00。Eo,ABCDE,月,石,C,力,石,川似,则有:冬二二A,夕’又二月尸5。A oB。么’S。月。尸。么斌占/了万。乙,七,月oB。’了S召万。ABA o…     

用平面简单示意图代替多面体的直观图

在解答与棱锥、棱台底面平行的截面有关的问题时 ,用平面简单示意图代替直观图 ,既能省去画直观图的麻烦 ,又能起到想象出它们构造特点的作用 .再利用相似比 ,能顺利地解答这方面的问题 .例 1　已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的侧面积为Ｑ ,Ｍ为高ＰＯ上一点 ,且ＰＭ =13ＰＯ ,过Ｍ作平行于底面的截面 ,求截面与棱锥底面之间棱台部分的侧面积 .图 1　例 1图解　如图 1,设过Ｍ且平行于底面的截面为底的小棱锥的侧面积为Ｓ0 ,棱锥的高为 3ｈ ,则小棱锥的高为ｈ ,由相似比得Ｓ0Ｑ =( ｈ3ｈ) 2 =19,得Ｓ0 =19Ｑ .故所求棱台部分的侧面积为Ｑ -Ｓ0 =Ｑ - 19…     

平面图形的射影在立体几何中的应用

我们知道如果多边形Q与平面P成二面角为α,它在平面P内的射影为Q′,则S_(多边形Q′)=S(多边形Q)cosα。上式也可变化为: (1) cosα=S_(多边形Q′)/S_(多边形Q) (2) S_(多边形Q)=S_(多边形Q′)/cosα上面一组公式应用于求二平面所成的二面角以及求截面面积,往往比较简单。有时也可省去一些因作图而带来的麻烦。例1 已知:正方体AC′,过AA′的中点M和顶点B、C′作△MBC′。求△ABC′与□A′B′C′D′所成的二面角。象这类问题的一般解法是通过作图求出二平面的交角,而后再通过计算求出这二面角的平面角。解法如下:     

基础知识自测

一、选择题二.在斜棱柱的侧面中,矩形最多有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.已知长方体的高为h,底面面积为Q,垂直于底面的对角面的面积为R,则此长方体的侧面积S等于 ( ).3.一个正四棱锥的中截面面积是9,它的底面边长是 ( ).(A)9/4 (B)3/2 (C)3 (D)64.一个正三棱台上、下底面的边长分别为2和6,侧面与下底面所成的二面角为60°,则此棱台的高为     

Simpson公式的联想

文 [1 ]、[2 ]所介绍的 Simpson公式是指如下的定理　夹在两平行平面之间的几何体 ,如果被平行于这两个平面的任何平面所截 ,截得的截面面积是截面距底平面高度的不超过三次的多项式函数 ,则此几何体的体积为V=h6( S上 +4 S中 +S下 ) , ( 1 )其中 h是几何体的高 ,S上 、S下 和 S中 分别表示几何体的上、下底面和中截面面积 .( 1 )式很容易利用平行截面面积为已知 ,立体体积的定积分方法得到 .设此立体的底面垂直于 x轴 ,下底面过坐标原点、立体的高为 h,平行于底面的截面面积 S( x)=ax3 +bx2 +cx+d,其中 a,b,c,d为常数 ,则此立体体积V=…     

一阶三角样条插值投影算子的模

§1.引言 设区间[0,1]的分划如下: △:0=x_0相似文献   

由x_0=(x_1 λx_2)/(1 λ)所想到的

众所周知 ,解析几何中有向线段的定比分点公式是 x0 =x1 λx21 λ ,在各类数学问题中有与此相类似的结构 .命题 1　梯形的上底长为 l1,下底长为 l2 ,过腰上一点 P作底的平行线 ,交另一腰于 Q.且 APPB= λ( λ≠ - 1 ) .设 PQ长为 l0 ,那么 l0 =l1 λl21 λ.证明 :设 BA 延长线交CD延长线于 E,如图 1 .由△AED∽△ PEQ 可得 :AEAE λPB=l1l0( 1 )由△ AED∽△ BEC得 :AEAE λPB PB=l1l2( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　l0 =l1 λl21 λ.特殊地 :当λ=1时 ,即可得到梯形的中位线定理 .　　命题 2　棱台上底面积为 S1,下底面积…     

台形容器注水问题的函数模型——函数y=a（x-h）^3＋k的一种应用

函数 y =a(x -h) 3 +k (a >0 )的图象可以看作是由函数 y =ax3 图象把对称中心移到O′(h ,k)而进行平移得到的 .所以 y =a(x -h) 3 +k (a >0 )的对称中心为 (h ,k) ;图象在 (-∞ ,+∞ )内单调上升 .在x≥h时 ,图象下凸 ;在x≤h时 ,图象上凸 .图 1如图 1.本文中 ,我们将建立棱台 (圆台 )形容器注水问题中注水量V关于水深h的函数关系式 .为此 ,将会用到以上的函数 y =a(x -h) 3+k (a >0 ) .例 1　如图 2棱台、图 3圆台形容器 ,上口面积S1,下底面积为S2 (S1>S2 ) ,高为H ,把棱台 (圆台 )的底面水平放置 ,往此容器内注水 ,如注水深度为h时注…