用三点共线求线段之和的最小值

我们知道,两点间以连结这两点的线段的长为最短．给定两点A、B及第三个点P,则PA＋PB≥AB,当且仅当点P在线段AB上（含A、B）时,PA＋PB取得最小值AB,我们称之为三点共线原理．利用这一原理可以巧妙地解决一些与线段之和最小的相关问题．     

平几性质给力“圆”题展现风采——几道椭圆问题的“圆”理揭示

1。问题与困惑 引例 已知点P（1,2/3）,为椭圆4/x2＋3/y2=1上一点,过点P作直线PA,PB交椭圆于A,B两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,则直线AB的斜率是否为定值,若是,求出该定值,不是,请说明理由。     

转换视角看新定义问题

<正>1原题及分析(2023年海淀初三期末)在平面直角坐标系x Oy中,对于点P和线段AB,若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点,则称点P为线段AB的融合点．(1)已知A(3,0),B(5,0),(1)在点P1(6,0),P2(1,-2),P3(3,2中,线段AB的融合点是_____;     

一道浙江竞赛题的研究

题目 设P为椭圆x^2/25＋y^2/16=1长轴上一个动点，过点P斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．若｜PA｜^2＋｜PB｜^2的值仅仅依赖于k而与P无关，求k的值．     

直线参数方程的应用

试题（2012年浙江省高中数学竞赛试卷第19题）设P为椭圆x2/25＋y2/16=1长轴上一个动点，过P点斜率为k直线交椭圆于A，B两点．若｜PA｜2＋｜PB｜2的值仅依赖于k而与P无关，求k的值．     

利用对称性求线段的长

<正>我们已解决了如下几个问题:(1)已知:点A、B在直线l两侧,在l上任取一点P,使PA+PB的值最小,确定点P的位置.(见图1)(2)若点A、B在直线l的同侧,确定P点的位置,使PA+PB的值最小.(见图2)(3)如图3,若P为∠AOB内一点,在OA、OB上分别取点M、N,使△PMN周长最小.     

光反射原理解题例说

光学和几何学本来就是紧密关联相互渗透的,有些几何问题实际上也是光学问题,现在我们看一个常见的问题。已知,直线l和l同侧的两点A、B,在l上找一点P,使PA PB最小。易知,作B点关于l的对称点B′,连AB′交l于一点,此点即为所求的点P,也就是说PA PB最小。这个问题其实是由A点发出的光线经l上的那一点反射后过点B的问题,PA PB的最小性是极易证明的,当然从光学角度看光走最短路线,这是众所周知的。现把上面的问题深化一下。     

综合题新编选登

题191已知椭圆x24 34y2=1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点,满足PA·PB=0,2|PA|=|PB|.1)求点P的坐标;2)若椭圆上存在两点C,D(异于A,B)且(PC|PC|) PD|PD|)·OA=0,问是否存在实数λ使得AB=λCD,说明理由.解1)如图1,由题意知△OPA是以P为直角顶点的等腰三角形,设P(x,y)则x24 34y     

三角形中一个向量性质及推广

性质1 如图1，在△PAB中，M是边AB上任意一点，Q是PM上的任意一点，过点Q的任意一条直线交边PA，PB于A′，B′，若→AM=λ→AB，→PQ=t→PM，→PA′=x→PA，→PB′=y→PB，则1-λ/x＋λ/y=1/t.     

调和点列的性质与一类竞赛题的证明

设A、B、C、D是共线的四点,若满足条件面AC/CB=AD/DB,则称A、C、B、D为调和点列,亦称线段AB被C、D调和分割,或线段CD被A、B调和分割,若从共点直线外一点P引射线PA,PC,PB,PD,则称PA,PC,PB,PD为调和线束,为了证明一类竞赛题,我们先介绍调和点列的几条结论：     

从一道题的解答看数学思想方法的灵活选择

1．题目 如图1,设P为x轴上的任一点,过点P作圆E：x2＋（y-2）2=1的两条切线PA,PB,A,B为切点,AB与EP交于点M．     

三角形中的一个定理及应用

1．定理及推论 定理 如图1，在△PAB中，M是边AB上任意一点，Q是PM上的任意一点，过点Q任作一条直线交边PA，PB于A′，B′，若PA=xPA,PB=yPB,     

斜率带来的“盲点”

例1 已知圆x^2＋y^2-4x＋2y-3=0和圆外一点M（4,-8）,过点M作圆的割线交圆于A、B两点,若｜AB｜=4,求直线AB的方程．     

过定点且与线段相交的直线斜率问题

求过定点且与定段相交的直线斜率问题 ,是高中数学教学的一个难点 ,本文将就这类问题归纳总结 ,以达到化难为易的目的 .实例 :已知直线l过定点P(x0 ,y0 ) ,且与定线段AB相交 ,其中A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,求直线l的斜率k的取值范围 ?先考虑直线PA、PB斜率均存在的情况 .设PA、PB的斜率分别为k1 ,k2 不妨设k1 相似文献   

三角形费马点的再推广

1问题的提出1640年,费尔马提出如下问题:“在平面上给出A、B、C三点,求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小.”这就是数学史上著名的“费尔马问题”.特别地,点A、B、C三点不共线时,使PA+PB+PC最小的点P称为△ABC的费尔马点.文[1]把费马点问题推广到“两定点、一条定直线”的情形,下面笔者再对“费马点”问题做出如下推广:推广一在平面内,已知三条定直线l1、l2、l3,在平面内求一点P,使点P到直线l1、l2、l3的距离之和最小.     

例说解析几何中距离计算的转化策略

解析几何中，已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其间的距离由公式来求，但在涉及到直线与曲线相交等问题时，两点问的距离若用这个公式来求解，会显得复杂，而通过恰当的转化，则简单易求．这里总结常见的距离计算的转化方式，供复习参考．1距离与斜率的转化求直线与曲线相交时两交点间的距离，通常利用韦达定理转化为用直线的斜率k或线的交点坐标．例1椭圆与直线x＋y=1相交于A、B两点，C为AB中点，若O为坐标原点，OC斜率为，求a、b．例2已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，记．（1…     

射影法在解析几何中的应用

利用点或线段在坐标轴上的正投影来解题,化两点间的距离(二维)为有向线段的数量的绝对值(一维),思路简捷、运算简便、兹举几 例1 已知椭圆中心在原点,以坐标轴为对称轴,直线x y-1=0交它于A、B两点,若AB=2 2~(1/2),且 AB中点M与椭圆中S心连线的斜率为2/2~(1/2),求椭圆方程.     

一道高中数学联赛省级预赛试题的探究

<正>1问题呈现(2019全国高中数学联赛福建省预赛)已知F为椭圆C:x²/4+y2/4+y²/3=1的右焦点,点P为直线x=4上的动点,过点P作椭圆C的切线PA,PB,A、B为切点.(1)求证:A、F、B三点共线;(2)求△PAB面积的最小值.解析(1)要想证明A、F、B三点共线,我们只要求出直线AB的方程,若点F在直线     

“椭圆与双曲线的两个统一性质”的相关结论

文[1]中介绍了定理1：已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1的左右顶点分别为A1，A2，已知直线l：x=t（｜t｜≠a，t≠0），P为l上一动点（P不在椭圆上），直线PA1与椭圆交于另一点M，直线PA2与椭圆交于另一点N，则MN与x轴交于定点．并对它进行了征明．同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质，对此笔者存有疑异，觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方。     

对一道赛题的探讨

2012年浙江省高中数学竞赛预赛第19题为如下的一个解析几何问题：设P为椭圆x^2/25＋y^2/16=1长轴上的一个动点,过P点引斜率为k的直线交椭圆于A、B两点.若｜PA｜2＋｜PB｜2的值仅依赖于k而与P无关,求k的值.