例说解排列组合应用题的常用方法

排列组合应用题，在历年高考数学试题中都是必考内容．在使用新教材后，其地位更加重要，它是解决概率应用问题的基础．排列组合应用题的常用解题方法，本文归纳如下． 1 加法与乘法 点拔：分类问题用加法原理，注意完成一件事的几类方法之间的独立性，计数时做到不重不漏；分步问题用乘法原理，注意完成一件事的几步方法之间的连续性，计数时做到不跳不乱．     

从染色问题谈两个计数原理的教学

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解排列组合问题和后续的概率统计问题的重要基础.这两个基本原理可简述为:完成一件事有几种不同方案,那么完成这件事的不同方法数只须将几种不同方案的方法数相加--即分类加法计数原理;完成一件事需要几个步骤,那么完成这件事的不同方法数只要将这几个步骤的方法数相乘--即分步乘法计数原理.……     

加法原理与乘法原理

加法原理与乘法原理福建省松溪一中刘桦【基本概念】加法原理做一件事，完成它可以有ｎ类办法，在第ｋ类办法中有ｍｋ种不同方法（ｋ＝１，２，…，ｎ），那么完成这件事共有Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋…ｍｎ种不同的方法．乘法原理做一件事，完成它需要分成ｎ个步骤，做第ｋ步有ｍ...     

排列组合问题的对比分析

解答排列组合应用题 ,其一是要将实际背景转化为数学模型 ,其二是需要较强的逻辑思维能力和分析问题的能力 .下面进行对比分析 ,希望能对同学们有所帮助 .1　加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理是排列、组合计数的理论依据 ,关键是分清“类”与“步” .加法原理与分类有关 ,一般按元素或位置的性质进行分类 ,这时要注意类与类之间的独立性 ;乘法原理与分步有关 ,一般按事件发生的连续过程进行分步 ,这时要注意步与步之间的相依性 .2　排列问题与组合问题区别排列、组合问题的关键在于事件是否与次序有关 ;若与次序有关 ,则它是排列问题 ;…     

排列组合中几种常见的"重复性"错误

众所周知 ,重复性错误是排列组合问题的主要错误之一 ,而且还常常不知道错在什么地方 ,不知道为什么错 .本文试图就排列组合中几种常见的重复性错误作一分析说明 .1　分组重复例 1　将 9份不同的礼品 ,平均分成 3份 ,有多少种不同的分法 ?错解　分三步 :第一步 ,从 9件不同的礼品中 ,选出 3件有 C3 9种 ;第二步 ,从剩下的 6件中选 3件有 C3 6 种 ;第三步 ,从余下的 3件中选3件有 C3 3 种 ,由乘法原理有 C3 9C3 6 C3 3 =1680种不同的分法 .分析　实质上 ,本题属于平均分组问题 ,造成错误的原因在于分步的本身就在排序 ,而平均分成的 3份 ,…     

分步计数中的重复与遗漏

在解排列组合应用题时，可以将一件事情的完成情况划分成几个不同的步骤进行分步处理后，再用乘法原理求出完成这件事的方法总数，这就是分步计数法，它是排列组合中最常用的方法之一，在这种方法中，由于人为的规定了“步骤”，如果对“步骤”把握不准，就会导致令人难以察觉     

错位排列

1 问题的提出 问题1 编号为1，2，3，4的信投入编号为1，2，3，4的信箱，每个信箱投一封，但信的号码与信箱号不能相同，问有多少种不同的投法？ 解 将1号信投入信箱只有3种投法，分别为2，3，4号信箱，若投入2号信箱，则2号信只能投入1，3，4号信箱，3号和4号信分别只有一种投法．     

三类易错的排列组合问题

排列组合是一类思考方式较为独特的问题 ,它对分析问题的能力要求较高 ,解题方法也较为灵活 ,因此也容易出错 .下面谈谈三个方面的问题 .1　不重不漏例 1　在 5 0件产品中有 4件是次品 ,从中任意抽出 5件 ,至少有 3件是次品的抽法共有多少种 ?错解　第一步 :在 4件次品中抽出 3件有C34 种抽法 ;第二步 :再在剩下的 47件产品抽出 2件 ;有 C24 7种抽法 .根据乘法原理 ,有 C34 C24 7=432 4 (种 ) .分析　设有 a、b、c、d 4件次品 .若第一步抽出的 C34 中有 a、b、c三种次品 ,第二步抽出的C24 7中有 d;也可能这样 :若第一步抽出的 C34 中有 b…     

错位排列

1问题的提出问题1编号为1,2,3,4的信投入编号为1,2,3,4的信箱,每个信箱投一封,但信的号码与信箱号不能相同,问有多少种不同的投法?解将1号信投入信箱只有3种投法,分别为2,3,4号信箱,若投入2号信箱,则2号信只能投入1,3,4号信箱,3号和4号信分别只有一种投法.∴共有3×3×1×1=9种     

解排列组合问题要学会“三辨”

对于排列组合的应用问题要学会“三辨”,一辨元素是否能重复,区别问题是重复排列还是不重复排列;二辨元素是否有序,区别问题是排列还是组合;三辨完成一件事是分类还是分步,区别问题是用加法原理还是乘法原理．例1已知a、b为直线y=ax b的系数,且a、b∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},问这样的直线有多少条?分析因为a、6作为系数可以相同,所以可以重复抽取,它属于重复排列问题．元素a有7种取法．元素b也有7种取法,该用分步计数原理．     

数学诗歌二首

排列组合排列组合 ,用处多多 .两个原理 ,先行明确 .一件事情 ,n类法做 ,每类之中 ,各有mi 着 ,总的方法 ,对mi 求和 .加法原理 ,已叙明白 .完成一事 ,步骤n个 ,i步mi 法 ,助你渡过 ,对mi 求积 ,总数不错 .乘法原理 ,勿需再说 .排列数目 ,多少组合 ?公式能算 ,个个记妥 .所需数目 ,依式求得 .组合性质 ,使用灵活 ,证明计算 ,各得其所 .二项定理 ,相关密切 ,通项公式 ,独具特色 .典型例题 ,认真掌握 ,刻苦努力 ,定有所获 .数学归纳法　　有限特殊到一般 ,推理证明具特点 .倘若命题型固定 ,自然数n在里边 .使用数学归纳法 ,简洁明了能过关 .证…     

几例容易重复计数的排列组合问题的剖析

几例容易重复计数的排列组合问题的剖析欧阳陆军（湖南平江四中４１０４１１）学生在解排列组合题时，往往容易出现重复计数的情况，现对几例容易重复的问题举例剖析如下．例１从５本不同的数学书中任取２本，有多少种不同的取法？错解完成这件事可分为两个步骤，第一步从...     

“加法原理”和“乘法原理”

全日制十年制高中数学第三册排列组合一章中提出了加法原理和乘法原理。 现行教材叙述的这两个原理,有一明显的缺陷,就是没有突出应用这两个原理的条件。 例如:找1—10中的所有合数,第一类办法是找含有2的合数,有4个;第二类办法是找含有3的合     

排列组合中“重复”的产生及纠正

有附加条件的排列组合应用题 ,有的类型容易出现错误解法 ,其中原因之一是由于“重复”计算造成的 .对这些误解加以纠正剖析 ,可以提高我们的分析问题能力及抽象思维能力 .“重复”常会出现在下面几种情况中 :1　分步违反“步骤无关”而产生重复例 1　在 10 0件产品中有 3件次品 ,从这些产品中取出 4件 ,至少有 1件次品的抽法有多少种 ?解　先在 3件次品中抽出 1件 ,有Ｃ1 3 种 ,再在其余 99件 (含未被抽出的 2件次品 )中抽出 3件 ,有Ｃ3 99种 ,这样抽出的 4件产品中保证至少含 1件次品 .∴共有抽法Ｃ1 3 ·Ｃ3 99=4 70 54 7(种 ) .剖析 :此…     

关于排列与组合、数学归纳法、二项式定理的复习

这三部分内容,具有内容独特、比较抽象的特点。我们在指导学生复习时,应从学生的实际出发,紧扣基本概念、基本知识、基本思想方法,着眼于能力的培养。由于组合恒等式的证明贯穿整章,又是难点,可作为专题,集中于最后一起复习。一排列与组合本章主要内容有:两个基本原理(加法原理和乘法原理);两个基本概念(排列、组合);两个基本公式(排列与组合的计算公式);还有组合数的两个性质,排列组合应用题。这四个“两”是教材的重点,而解应用题是难点。通过复习,引导学生进一步掌握好以下几个环节。 1 扣住原理,把握“四个分”。加法原理和乘法原理是解排列、组合应用题的基础。只有     

排列组合问题的一类错误例析

排列组合是高中学习的难点 .有些同学在解决排列组合问题时出现错误 ,这除了是对排列组合问题的解法缺乏规律性的认识外 ,就是没有及时总结错误 ,找到产生错误的根源 ,从而从本质上改正它 .下面就排列组合的几个实例 ,浅析一类错误 ,抛开错误思路 ,重建思维模式 ,提高解题能力 .例 1　 5本不同的书分给 4个人 ,每人至少 1本 ,共有多少种不同的分法 ?错解 :分两步完成 :1 )从 5本书中先分 4本给 4人有Ｐ45 种 ,2 )还剩 1本书分给 4人有Ｐ14种 ,根据乘法原理一共有Ｐ45 ·Ｐ14 =480种分法 .例 2　某班级有 80名学生 ,其中正副班长各一名 ,现要…     

争鸣

问　题问题 31 　对于集合 {(ｘ ,ｙ) |ｘｃｏｓα +ｙｓｉｎα =1 ,α∈ [0 ,2π]}所表示的图象我们四位老师有两种看法 .共识 :α是参数 ,随着α的取值不同 ,方程表示过单位圆上的点的不同的圆的切线 .分歧 :第一种认为这是集合的形式 ,应为所有直线的并 ,因此表示除单位圆外的所有区域 ;而第二种认为此为分类讨论应分类作答 ,仅表示单位圆的一条切线 .请问谁对谁错 ?问题 32 　在排列组合中 ,加法原理和乘法原理的条件部分只有一个字“类”与“步”的区别 ,其它语言表述完全是一致的 ,但计算方法却有很大差别 :一个必须用加法去计算 ,另…     

加法原理与乘法原理的应用举例

加法原理与乘法原理是解决中学排列、组合问题的关键的两个原理。一般举例甚浅,给人形成一种可有可无的印象,看不到方法的强有力性,作为教科书的补充,今举二例: 例1、在n×n个小方格上,求由若干个小方格刚好拼成正方形的个数。解;设一个小方格的边长为1,完成拼成正方形这件事,有n类办法: 拼成边长为1的正方形,有n~2个; 拼成边长为2的正方形,有(n-1)~2个; 拼成边长为3的正方形,有(n-2)~2个; ……拼成边长为(n-1)的正方形,有2~2个; 拼成边长为n的正方形,有1~2个; 故依加法原理知,刚好能够拼成的正方形共有     

排列组合应用题的八类常见问题

排列组合应用题应用广泛,题型多变,条件隐晦,思维抽象,在解这类问题时,要做到:排列组合分明,分类分步辨明,避免重复和遗漏.本文就排列组合应用题做些归类,并指出一些常用的思考方法.     

一道特殊的证明题

“有人编了一个程序,从1开始交替地做加法或乘法(第一次是加法也可以是乘法).每次加法,将上次运算结果加上2或加上3,每次乘法,将上次运算结果乘以2或乘以3.例如30可以这样得到1+3→4×2→8+2→10×3→30