一道女子奥赛题的多种证法

<正>如图1,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,延长O1A交⊙O2于点C,延长O2A交⊙O1于点D,过点B作BE∥O2A交⊙O1于点E,若DE∥O1A,求证:DC⊥CO2.这是2014年中国女子数学奥赛第一题,笔者从多角度来添设辅助线证明本题,供同学们参考.证法一如图1,分别连接DB、O1O2、AB,延长EB交⊙O2于H,连接AH.∵∠ABH=∠EDA=∠O1AO2=∠DAB,     

与教材中的一个例题相关的中考题

例题如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.纵观近几年的中考试题,与此题相关的试题层出不穷.现举几例加以说明,以供参考.例1(2003年天津)已知,如图2,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若r1、r2分别为⊙O1和⊙O2的半径,且r=2r2,求AB/AC的值.     

数学问题解答

2006年5月号问题解答(解答由问题提供人给出)图11611已知:如图1,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,且⊙O2过⊙O1的圆心O1,由B点引⊙O2的弦BC,连结AC交⊙O1于点F,求证:BC=CF.图2证明如图2,连结AB,O1O2,BF,O1A,O1B,O2A,O2B,延长CB交⊙O1交于D点,连AD.因为AB为⊙O1与⊙O2的公共弦,O1O2为连     

三角形外接圆与内切圆的性质及推广

<正>性质如图1,⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,D、E、F分别是⊙I在三边上的切点,AI、BI,CI分别交⊙O于点R、S、T,则RD、SE、TF、OI四线共点,且△RST∽△DEF.证明设RD交OI于点P_1,SE交OI于点P_2,连结OR、OS、ID、IE,     

八圆定理

定理1⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,⊙O1切⊙O2、⊙O3于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,⊙O4与⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切于D、E、F(如图1),则⊙ADE、⊙BEF、⊙CDF两两外切,且与⊙ABC均内切.先证引理1.引理1⊙O1(r1)、⊙O2(r2)、⊙O3(r3)两两外切,⊙O1与⊙O2、⊙O3切于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,     

一道数学奥林匹克问题的简证

《中等数学》08年第3期《数学奥林匹克问题》初220题为:图1如图1,D是△ABC边BC上的点,DBCD=mn,P是AD上的任意一点,过A、P两点作⊙O1、⊙O2,⊙O1与AB、AC分别交于点M、N,⊙O2与AB、AC分别交于点E、F,M与E、N与F均不重合.求证:MNFE..AACB=mn.笔者认为,此题的参考答案,证明较繁.经     

第1578问题的简单证明、推广及应用

问题1578如图1,⊙O1、⊙O2内切于点P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r.求证:AACP22=R-rR.这是贵刊2005年第11期《数学问题解答》栏中第1578问题,经过我们认真地研究发现,它具有“证法多样、可以推广、应用广泛”的特点,可以说,是一个值得深入研究的好问题.下     

相切圆与平行线——对叶中豪提出的一道几何题的探讨

一、引言众所周知,⊙0_1,⊙0_2均与⊙0相切的情形有三种: Ⅰ⊙0_1,⊙0_2均内切于⊙0; Ⅱ⊙0_1,⊙0_2分别内、外切于⊙0; Ⅲ⊙0_1,⊙0_2均外切于⊙0(如图1)。命题1 设⊙0_1,⊙0_2均与⊙0_3内切,⊙0_1,⊙0_2的内公切线AB,CD分别交⊙0_3于A、B、C、D、求证:AC、BD分别与⊙0_1,⊙0_2的外公切线平行(如图2):     

数学问题解答

20 0 3年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 36　如图 .⊙O1 与⊙O2内切于P ,⊙O1 的弦AB切⊙O2 于C .若⊙O1 和⊙O2的半径分别为R、r.求证 :AC2AP2 =R-rR .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　设PA、PB交⊙O2 于E、F ,连结EF ,过P作⊙O1 与⊙O2 的外公切线MN ,延长PC交⊙O1 于Q ,再连BQ、CF .因为MN是⊙O1 与⊙O2 的外公切线所以∠EFP =∠APM =∠ABP所以EF∥AB ,所以CE =CF所以∠APC=∠BPC又因为∠A =∠Q所以△APC ∽△QPB、△APC∽△QBC所以 ACAP =BQPQ ( 1 )　　 ACAP =CQBQ (…     

发现 归纳 探究 创新——中考压轴题引发的思考

一、中考试题 如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是 ⊙O1和⊙O2的一条外公切线,B、C为切点． (1)求证:AB⊥AC;(2)若R、r分别为 ⊙O1、⊙O2的半径,且R=2r,求AB/AC的值．     

从一道中考试题谈如何求线段长

本文结合2012年北京市中考数学试卷第20题的多种解法谈谈求线段长的方法.题目已知:如图1,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,联结BE.     

一道中考压轴题的探究

笔者有幸参加了2006年宁波市中考数学试卷的批卷及评析工作,对试卷中的第26题感触颇深,现把自已对该题的分析、探索、反思、感悟撰文如下,供同行参考.题目:已知⊙O过点D(4,3),点H与点D关于y轴对称,过H作⊙O的切线交y轴于点A(如图1).(1)求⊙O的半径;(2)求sin∠HAO的值;(3)如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点(与点P不重合),连结并延长DE、DF交⊙O于点B、C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin∠CGO的大小怎样变化?请说明理由.图1图2一、试题的背景特色本题以直角坐标系为载体,融几何、…     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

关于切线和直径的试题的拓展

<正>2015年聊城市中考数学第24题:如图1,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D.过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连结AD并延长,交BE于点E.(1)求证:AB=BE;(2)略.本题是在课本传统例题上改编的考题,证明方法很多,我们选其中几种方法证明,为拓展的证明铺垫思路,本文的核心是两种拓展.一、原中考题的证明证法1如图2,连结OD.∵PC为⊙O的切线,∴OD⊥PC.     

关于圆的一个命题在椭圆中的推广

郭璋老师在<数学通报>2009年第3期"数学问题与解答"专栏中用综合法证明了如下一个关于圆的命题(问题1776):⊙O中,AB,CD是互相垂直的直径,点F1在AO上, 延长OB到F2,使OF1=BF2,直线CF1交⊙O于E1,AE1的延长线交CD的延长线于M1,CF2交⊙O于E2,AE2交CD于M2.     

一道数学奥林匹克试题结论的繁衍与一般化

第六届北方数学奥林匹克邀请赛 原题 如图1,已知PA、PB是⊙O的切线,切点为A、B,过点P的割线交⊙O于点C、D,过点C作PA的平行线,依次交AB、AD于点E、F,则CE=EF（证略）     

数学问题解答

2012年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)2076已知:在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为E,点M1、M2分别在OC与CO的延长线上,且CM1=OM2,AM1交⊙O于点F1,AM2的延长线交⊙O于点F2,DF1交AB于G1,DF2的延长线交AB的延长线于点G2.     

一道关于圆的几何题的多解

<正>例已知△ABC内接于⊙O,(1)如图1,AD⊥BC,证明∠BAD=∠OAC;(2)运用(1)结论,如图2,H为△ABC的垂心,若∠ABC的平分线BE⊥HO,交⊙O于E,⊙O的半径为10,求弦AC的长.(1)证明如图1,延长AO交⊙O于K,连接CK.∵AK为⊙O直径,AD⊥BC,∴∠BDA=∠KCA=90°.又∠B=∠K,由三角形内角和知∠BAD=∠OAC.对于第二问,提供以下四种解题思路.思路1构造等边三角形(2)解如图3,连接BH,BO,连CH并延长交AB于G,交⊙O于F,连接BF,作直     

一道竞赛试题的研究性学习

2007年第4届中国东南地区数学奥林匹克竞赛的第2题如下:如图1所示,设C、D是以O为圆心,AB为直径的半圆上的任意两点,过点B作⊙O的切线交直线CD于P,直线OP与直线AC、AD分别交于E、F.证明:OE=OF.     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,