Mathematica软件快速上手指南（7）——用图元作图

前面的内容中涉及的作图是由有关表达式(显函数或参数方程，极坐标方程形式)生成的，这哩介绍图元作图．它对于平而儿何与立体几何作罔是有帮助的．     

两种类型二元三角方程的图形的描绘

在中学数学里 ,我们讨论了ｙ =ｓｉｎｘ、ｙ =ｃｏｓｘ等特殊二元三角方程的作图方法 ,在 2 0 0 0年全国高考试卷中 ,出现了二元三角方程ｙ =-ｘｃｏｓｘ的图形 ,在这里我们通过例题讨论另两类二元三角方程的作图方法 ,通过讨论这两类二元三角方程的作图 ,可以加深对三角知识的理解 ,加强三角知识和平面解析几何知识之间的联系 ,也可以提高师生的作图技能 .1　形如Ｆ(ｃｏｓωｘ ,ｓｉｎｕｘ) =0的方程的图形例 1　画出在 0≤ｘ≤ 2π ,0 ≤ｙ≤ 2π范围内ｓｉｎ2 2ｘ ｃｏｓ2 ｙ =1的图形 .解　∵ｃｏｓ2 ｙ=1 -ｓｉｎ2 2ｘ,∴ｃｏｓ2 ｙ=…     

从运用图形计算器探索数列看掌上技术对数学教育的影响

以创建国际知名的Ｔ3(ＴｅａｃｈｅｒｓＴｅａｃｈｉｎｇｗｉｔｈＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ)在职教师发展计划的美国俄亥俄州立大学教授ＢｅｒｔＫＷａｉｔｓ博士曾经说过 :“我相信图形计算器 (ＧｒａｐｈｉｃＣａｌｃｕｌａｔｏｒ)———被有强烈求知欲的学生和有见识的教师所使用的图形计算器 ,对今天积极的数学教育改革来说是最伟大的力量 .”也许这句话在我们看来不免过多地带有西方人的自信 ,但是它从另一侧面反映了掌上技术 (Ｈａｎｄ -ＨｅｌｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ)对数学教育带来的不可忽视的影响 .从最近的研究报告看 ,人们在这一点…     

Mathematica软件快速上手指南(5)——显函数图形

1　基本一元函数作图在“快速上手指南 ( 2 )”里已经提到作图命令Ｐｌｏｔ ,但没有涉及图形的比例 ,颜色等问题 ,即所谓可选项 .一元显函数ｙ =ｆ(ｘ)的作图可由系统的命令函数Ｐｌｏｔ实现 ,考虑可选项之后这个函数使用格式有如下两种 :Ｐｌｏｔ[表达式 ,{变量 ,下限 ,上限 } ,可选项 ];Ｐｌｏｔ[{表达式 ,表达式 ,… } ,{变量 ,下限 ,上限 } ,可选项 ].这里 ,变量是指表达式中所含有的变量 ,其下限、上限必须是有限的 .对于任何一个具有可选项参数的命令 ,使用时如果指定可选参数 ,这些可选参数都应当放在必要参数的后面 .每一个可选参数…     

用Equation Grapher探究函数问题

EquationGrapher是一个用来绘图并进行函数分析的工具软件 .你只要输入一个正确的函数表达式 (无论多么复杂 )它就能迅速画出图像 ,并对多个函数图像给予 12种不同的曲线图色来区别 .EquationGrapher还带有强有力的计算功能 ,作出函数图像后 ,程序可自动寻找根、最值、交点 ,根据x值找y值或反过来 ,当然也具有显示积分区、求某点的切线、法线方程等运用高等数学知识的功能 .对于画出的图像你可以进行复制和粘贴到文字处理器中 .其他功能包括缩放、网络背景、X/Y轴标注更改、图形存储 (BMP/GIF)、图形打印/剪贴等等 .原版本有英语或瑞典…     

抛物线描点尺的制作及原理

由抛物线方程作曲线,通常采用列表、描点作出它的图形。下面介绍一种用直尺作其图形的方法。为便于理解作图原理,先考察下述问题: 设F为拋物线y~2=2px(p>O)的焦点,M为抛物线上的任意一点,过M作它的切线分别交x轴、y轴于A、B两点,则BF是AM     

函数图像变换问题的通法

<正>数学里的变换,是指一个图形(或表达式)到另一个图形(或表达式)的演变.图像变换是函数的一种作图方法.已知一个函数的图像,通过某种或多种连续方式变换,得到另一个与之相关的函数的图像,这样的作图方法叫做图像变换.为了确定经过变换后函数图像的函数解析式,我们通常在所求的函数图像上任取一点P(x,y),然后根据变换找到这个点的坐标与原函数图像上点的坐标之间的关系,从而确     

疑难与解惑：关于“曲线与方程”在极坐标系和直角坐标系下的区别

考虑极坐标系下的两条曲线ρ =11-ｃｏｓθ ( 1)和 ρ =2ｃｏｓθ- 1( 2 )曲线 ( 1)是我们所熟悉的抛物线 ,关于极轴对称 ,开口向右 ,且顶点坐标是 ( 12 ,π) .图 1　蜗线曲线 ( 2 )是一条蜗线 ,关于极轴对称 ,同学们不妨用描点法把它作出来 ,其形状如右所示 .现在的问题是 ,这两条曲线有交点吗 ?如果有 ,有多少个 ?如何求交点 ,按照直角坐标系下的办法 ,只要求出它们方程的公共解就可以了 .由此 ,我们将方程 ( 1)和 ( 2 )联立起来 ,消去 ρ ,得11-ｃｏｓθ=2ｃｏｓθ - 1,整理 ,得2ｃｏｓ2 θ - 3ｃｏｓθ 2 =0 ( 3)令ｃｏｓθ=ｔ ,得2ｔ…     

直线的方程、两条直线的位置关系

本单元知识点及重要方法基本概念有 :直线的倾斜角、斜率 ,直线的四种形式的方程 ;两条直线的平行与垂直 ;两条直线所成的角和ｌ1 到ｌ2 的角 ;点到直线的距离和两条平行线间的距离 .基本运算有 :由直线的方程求出直线的斜率、倾斜角和截距 ;由已知条件求直线的方程 ;根据直线的方程判定两条直线的位置关系 ;求两相交直线的夹角、交点 ;求点到直线或平行线间的距离 ;求点 (或线 )的轴对称图形 .重要方法有 :待定系数法 ,转移法 ,几何法 .练习选择题1　直线 3ｘ ｙ 5=0的倾斜角为 (　　 )(Ａ)ａｒｃｔｇ3 .　　　　 (Ｂ)π -ａｒｃｔｇ3 .(…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

见到中点,你想到什么

线段的中点是几何图形中一个特殊的点.见到中点我们应当构造出等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线、中心对称图形、三角形与梯形中位线等基本图形;掌握添加辅助线的方法:中点、中线、延长线、平行线.     

非线性横截入射波在边界上的反射

ＭｉｃｈａｅｌＢｅａｌｓ和ＧｒｕｙＭｅｔｉｖｉｅｒ［１］［２］在余法分布空间的框架下研究了多维高阶方程半线性波的反射问题，但文中均要求非线性自由项ｆ不依赖于ｍ－１ｕ（ｍ是方程的阶数）．本文试图去除上述不自然的假定，运用的方法主要是定义了一类所谓三指标余法分布空间，发展了对非光滑系数拟微分算子的切向微局部分析，在两个互补的锥邻域内，分别利用奇性沿次特征线传播的有关定理和能量估计方法并依赖交换子技术来得出我们的结论．     

笛沙格定理与截面作图

培养空间想象能力是立体几何教学的重要任务,解答立体的截面的作图问题是培养这种能力的有效途径之一。研究立体截面的图形,必须充分应用平面图形的性质,它的主要依据是关于点、线、面之间的从属关系的三条公理。公理1.如果一条直线上有两个点在一个平面上,则这直线上所有的点都在这个平面上。公理2.过不在一直线上的三个点能且只能作一个平面。     

Mathe matica软件快速上手指南(6)——参数与隐函数方程图形

1　基本二维参数方程作图Ｍａｔｈｍｅｔｉｃａ还能方便地画出参数形式表示的平面图形 ,使用的操作命令是 :ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ .它的使用格式也有两种 :ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ[{ｘ(ｔ) ,ｙ(ｔ) },{ｔ ,下限 ,上限 },可选项 ]ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ[{ｘ1(ｔ) ,ｙ1(ｔ) },{ｘ2 (ｔ) ,ｙ2 (ｔ) },{ｘ3(ｔ) ,ｙ3 (ｔ) },… ,{ｘｎ(ｔ) ,ｙｎ(ｔ) },{ｔ ,下限 ,上限 },可选项 ]其中ｔ可以是一个变量 ,ｘ(ｔ) ,ｙ(ｔ) ,ｘｉ(ｔ) ,ｙｉ(ｔ)等是包含ｔ的表达式 ,它们的意义在解析几何中是很清楚的 ,第一个形式用于作一个函…     

用“五点法”求y=Asin(ωx φ)的表达式

用“五点法”作三角函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ>0 ,ω >0 )的图象是三角函数的重要内容 ,其中心是通过整体换元的思想求关键点的坐标 .而已知三角函数的图象求其表达式的问题 ,恰恰是已知某些关键点的坐标 ,因此 ,可视为作图问题的逆问题 .作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的简图 ,主要是作变量代换Ｘ =ωｘ φ ,由Ｘ取 0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π来求出对应的ｘ的值 ,确定图象五个关键点的位置 .而求其表达式 ,则相当于Ｘ ,ｘ已知 ,求ω与 φ .下面通过例题介绍如何用“五点法”求三角函数的表达式 .例 1　如图 1,写出函数ｙ =Ａｓｉｎ(…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

三角问题的非三角解法两例

三角问题的非三角解法两例６１２５９６四川仁寿县教研室余立峰例１已知ａｂｃ４０，ａ、ｐ、ｙ互不相等，在直线ａｘ＋ｂｙ＋ｃ—０（１）上．又由两点式可得经过Ａ、Ｂ两点的直线是单位圆在Ａ点的切线方程为单位圆上的点Ｂ（ｃｏｓｑ，ｓｉｎｑ）在这条切线上．而过圆上...     

方程思想在解三角问题中的运用

我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1　已知 2ｓｉｎ2 ｘ -ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 6ｓｉｎｘ +3ｃｏｓｘ =0 ,求解 2ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎ2ｘ1+ｔａｎｘ 的值 .解　观察已知条件 ,可把等式看作关于ｃｏｓｘ的一个方程 :-ｃｏｓ2 ｘ + (ｓｉｎｘ + 3)ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ - 3) =0 ,即 (-ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ) (ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3) =0 .∵ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3≠ 0 ,∴ -ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ =0 ,得ｔａｎｘ =12 .又由　…     

Mathematica软件快速上手指南(1)——Mathematica系统的基本概念

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ是由美国Ｗｏｌｆｒａｍ公司研究开发的一个交互式数学软件.利用这个软件,能够完成符号运算、数学图形绘制甚至动画制作等多种操作,是制作数学课件的一个极好工具.我们将在一系列文章中以Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ2.2版(操作系统:Ｗｉｎｄｏｗｓ98中文版)为例,就如何使用这个软件进行介绍.1　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ的数学功能Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ是一个强大的数学专家系统,它能帮助你解决复杂的数学计算、公式推导,能作出数学函数的图形等,归纳起来主要有如下几点:1.1　数值计算它的意义读者易于了解.它可以当作一…     

点参数的应用

借助常见曲线的参数方程 ,恰当地引入点参数解题 ,有时是十分简便的 ,下面例说点参数的几个应用 .1　求动点的轨迹例 1　已知Ｐ为双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上任一点 ,Ｆ1,Ｆ2 是双曲线的两个焦点 ,求△Ｆ1ＰＦ2 的重心的轨迹方程 .解　∵Ｐ点在双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上 ,∴可设Ｐ(4ｓｅｃθ,3ｔｇθ) ,又设△Ｆ1ＰＦ2重心的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,而Ｆ1(- 5,0 ) ,Ｆ2 (5,0 ) ,则ｘ =4ｓｅｃθ- 5+53 =43 ｓｅｃθ,ｙ =ｔｇθ.消去θ ,得 91 6ｘ2 - ｙ2 =1 .由题设知重心不能在ｘ轴上 ,则所求轨迹方程为91 6ｘ2 - ｙ2 =1 (ｙ≠ 0 ) .2　求参数的范围 (…