例说用解几知识解三角题

用解析法解决问题直观、清晰、深刻．在学习三角知识的过程中,试图用解析法来解决一些三角问题,能另辟解题途径,使得题解构思新颖,方法巧妙、过程简捷．下面举例说明．１　求三角函数值 解 设直线由条件等式知ｌ１与ｌ２重合．显然ｌ１是过单位圆ｘ２＋ ｙ２＝１上的点（ｃｏｓ α,ｓｉｎα）的切线,而ｌ２与ｌ１重合,则ｌ２也是单位圆的切线．于是由圆心到切线ｌ２的距离等于圆的半径,有 ,代入已知等式得 例２ 设方程 ａｃｏｓ ｘ＋ｂｓｉｎ ｘ＋ｃ＝０（ａ～２＋ ｂ～２≠０）在［０,π］中有两个相异实根ａ和β,求ｓｉｎ（ａ …     

两个三角不等式

定理１在任意△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ表示其三内角，则ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ≥３８．（等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立）证明由三角恒等式ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝（２Ｒ＋ｒ）３－３ｓ２ｒ４Ｒ３－１（Ｒ、ｒ、ｓ为△ＡＢＣ的外接圆半...     

一个三角不等式的加强及推广

一个三角不等式的加强及推广湖南岳阳县熊市乡中学陈宽宏诸多书刊中有这样一个三角不等式：△ＡＢＣ是锐角三角形，则ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ（１）证明，见［１，Ｐ６０］或［２］．本文以（１）的等价变形为出发点来加强及推广（１...     

一类有趣的三角不等式

最近,本文作者通过研究、探索,发现了一类新颖、奇特的三角不等式．定理１在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＞３４．（１）证∵ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ２＝２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２＞０,∴ｃｏｓＢ－Ｃ２＞ｓｉｎＡ２,∴ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ...     

构造法简证一类三角不等式

１９９６年,周永良先生在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出如下三角不等式在锐角三角形ＡＢＣ中,有ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（Ｃ－Ａ）ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ≥６（１）ｃｏｓＡｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＋ｃｏｓＢｃｏｓ（Ｃ－Ａ）＋ｃｏｓ...     

谈“两角和与差的三角函数”的教学——中学数学笔谈之十一

手边有关三角函数的教材中,论证两角Ａ,Ｂ和的余弦公式ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ｃｏｓＡｃｏｓＢ－ｓｉｎＡｓｉｎＢ①时,用的是几何方法（图１）：写出单位圆上各点的坐标Ｐ１（１,０）,Ｐ２（ｃｏｓＡ,ｓｉｎＡ）,Ｐ３（ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）,ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ））,Ｐ４（...     

一组三角不等式的简单证明

一组三角不等式的简单证明宋庆（江西永修县一中３３０３０４）王伯英先生在文［１］、［２］中利用控制不等式证得一些不同寻常的三角不等式，其中有：ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ２＋１，（１）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ１＋２２，（２）ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉ...     

一个三角恒等式的应用

一个三角恒等式的应用吴爱军（江西广播电视学校３３００２９）在《数学通报》１９９６年第４期４月号数学问题１００１题中，叶军、王申怀两位老师给出了下面一个三角恒等式：已知△ＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ，试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ...     

用(a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2解三角题

高中《代数》（必修）下册第１５页第６题可改述为：（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）≥（ａｃ＋ｂｄ）２○＊当且仅当ａ／ｃ＝ｂ／ｄ时取等号．灵活巧妙地运用○＊式，可使某些三角问题简捷获解．例１已知Ａ，Ｂ都是锐角，且ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝３／２，...     

利用单位圆求解三角题

利用单位圆求解三角题２２４ｚ００江苏射阳县中学生朱胜强根据｜ｓｉｎα｜≤１，｜ｃｏｓα｜≤１的特征，我们常可利用单位回来求解某些三角题．例１已知０≤α＜β＜γ＜２π，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝０．ｓｉｎａ＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝０，求β—ａ，γ－γ...     

一道常见三角习题的推广

笔者在做一道常见习题：“在△ＡＢＣ中，已知ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝１，求证：角Ａ、Ｂ、Ｃ中必有一角为２３π”时，意外地得到了该问题的一个推广，现把它整理出来，供大家教学时参考．命题设角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，（１）若ｍ为奇数，则ｃｏ...     

构造解几模型求三角最值

构造解几模型求三角最值侯守一刘文博（天津市津南区咸水沽一中３００３５０）有些三角最值问题，如果用常规方法，求解过程往往比较繁杂，若能根据所给条件．设计解几模型，求三角最值，新颖而巧妙．１构造点到直线的距离模型例１求证：（ｓｉｎ２α－２）２＋（ｃｏｓ２...     

圆锥曲线上四点共圆的充要条件

设ｃ是非退化圆锥曲线Ａｘ２＋Ｃｙ２＋２Ｄｘ＋２Ｅｙ＋Ｆ＝０①且Ａ≠Ｃ，即ｃ非圆．因ｘｙ项系数为零，ｃ的对称轴（主直径）平行于坐标轴．Ａｉ（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，４）是ｃ上不同四点．引理设Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４是ｃ上不同四点，直线Ａ１Ａ２和Ａ３...     

三角形三边定理

本文的目的是想在任意三角形中,建立三边之间的关系式即ｆ（ａ,ｂ,ｃ）＝０．１三角形的三角余弦定理在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ＝１,这里略去它的证明．（见高中代数教材中介绍的证明）或者用行列式表示出...     

一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…     

三角形一个重要公式及其应用

在三角形中，我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线．下面给出分角线长的一种公式．定理　如图１，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上一点，设ＡＢ、ＡＣ分别为ｃ、ｂ，∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＡＤ＝β，图１则　　　　ＡＤ＝ｂｃｓｉｎ（α＋β）ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ．（１）当ＡＤ是∠Ａ的平分线时，　　　ＡＤ＝２ｂｃｃｏｓＡ２ｂ＋ｃ；（２）当ＡＤ是中线时，　　ＡＤ＝ｂｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎα＝ｃｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎβ；（３）当ＡＤ是高线时，　　　ＡＤ＝ｃｃｏｓα＝ｂｃｏｓβ＝ｂｃｓｉｎＡａ．（４）证明　在…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

THE PERIODIC SOLUTIONS OF CERTAIN EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｐｅｒｉｏｄｉｃｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔｓｘ＝Ａ（ｔ）ｘ２＋Ｂ（ｔ）ｘ＋Ｃ（ｔ），（１．１）ｘ＝－Ａ（ｔ）ｘ２＋Ｂ（ｔ）ｘ＋Ｃ（ｔ），（１...     

有心圆锥曲线的一个性质

有心圆锥曲线的一个性质７３００７０西北师大张定强有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）的两个焦点到它的任意一条切线的距离之积是一常数．证明不妨设有心圆锥曲线的两个焦点在ｘ轴上，分别为（－ｃ，０）、（ｃ，０），其中．由于Ａｘ２＋Ｂｙ...     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...