函数不等式e~x≥x+1及其变形在高考压轴题中的应用

1.不等式ex≥x+1(x∈R)的证明记f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.令f′(x)=0得x=0,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,∴f(x)在R上的最小值为f(0)=0,∴ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时等号成立.     

定积分的一个性质在证明不等式中的应用

高等数学中证明不等式的方法很多,本文介绍用读者熟知的定积分的如下性质,证明不等式的一些例子.性质 如果函数f(x),g(x)都在闭区间〔a,b〕上连续,且f(x)≤g(x)(X∈〔a,b〕),则integral from n=a to ∞(f(x)dx)≤integral (?)((x)dx);当且仅当f(x)=g(x)(X∈〔a,b〕)时,等式成立.     

“三招齐下”破解含参数函数的导数应用的题

导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”,具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.导数是解决函数、方程、不等式、数列和曲线等问题的利器,是沟通初等数学与高等数学的桥梁.以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.对导数应用的考查的广度和深度也在不断拓宽、加深.尤其是运用导数确定含参数函数的参数取值范围的问题,这类问题不仅综合性强、难度高,而且解题思路妙、方法巧,学生不容易掌握.例1(2010年全国Ⅱ理科)设函数f(x)=1-e(-s)(Ⅰ)证明:当x＞-1时f(x)≥者;(Ⅱ)设当x≥0时f(x)≤x/(ax+1),求a的取值范围.参考答案(Ⅰ)要证明当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1),只需证明ex≥1+x.令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.当x≥0时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数;当x≤0时,g′(x)≤0,g(x)在,(-∞,0]是减函数.于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈ R时,g(x)≥g(0),即es≥1+x.所以当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1).     

柯西不等式的证明及应用

<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n).     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

用好教材上的经典不等式 ——兼谈2018年浙江高考数学第10题

<正>教材上的例题、习题介绍了一些经典的函数或不等式,可将这些函数或不等式作为引理来证明数列不等式或解决与数列有关的不等式.如高中新课标教材数学选修2-2(人教版)《导数及其应用》P32习题中非常经典的不等式:1+x-1,当且仅当x=0时取等号,或lnx≤x-1,x>0,当且仅当x=1时取等号).     

应用函数值符号妙解竞赛中的不等式问题

构造函数解决与不等式相关问题是很常见的,但通常都是构造单调函数,并利用其单调性来完成解答.本文介绍一种新的构造方法,它不是利用函数单调性,而是应用函数值在其变量取值范围内有确定符号来解题.下面分别举几例来加以说明.例1已知a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈[1,2],且∑ni=1ai2=∑ni=1b2i.求证:∑ni=1ai3bi≤1107∑i=n1b2i.证明:构造f(x)=x-12(x-2)x+52,则当21≤x≤2时,f(x)≤0故x3-1201x2+52≤0,即x3≤1210x2-52.又21≤baii≤2,所以bai3i3≤2110bai22i-25,ba3ii≤1210ai2-25b2i.故∑ni=1ai3bi≤1210∑i=n1a2i-52∑i=n1b2i=1210∑i=n1b2i-5…     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有:(1/(b c)-a)(1/(c a)-b)(1/(a b)-c)≥(7/6)3(1)当且仅当a=b=c=13时,不等式(1)取等号.文[1]的证明方法虽然精妙,但过程繁琐且不宜推广,现给出不等式(1)的一种简单证法.证明由a b c=1可得a=1-(b c),b=1-(a c),c=1-(a b),故不等式(1)等价于(1b c b c-1)(1c a c a-1)(1a b a b-1)≥(76)3(2)令f(x)=ln(1x x-1),00,故f(x)为(0,1)上的下凸函数,从而由Jensen不等式,有f(b c)…     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

一个不等式的改进及证明

文 [1 ]中四川师大的徐丹老师和杨露老师给出了如下定理及其证明 :定理　设a1 ,a2 ,… ,an ∈R+,且a1 +a2 +… +an =s,k∈N ,k≥ 2 ,则有ak1 s-a1+ ak2s-a2+… + akns-an≥sk- 1(n - 1 )nk- 2 .其中当且仅当a1 =a2 =… =an 时 ,不等式的等号成立 .笔者认为k∈R ,k>1时 ,定理是成立的 ,证明如下 :证明　设f(x) =xks -x,x ∈ ( 0 ,s) ,由于f′(x) =kxk- 1 (s -x) +xk(s-x) 2 ,f″(x) =k(k- 1 )xk- 2 (s-x) +kxk- 1(s- 2 ) 2 +kxk- 1 (s-x) 2 + 2xk(s-x)(s-x) 4所以 ,当x ∈ ( 0 ,s) ,k>1时 ,f′(x) >0 ,f″(x) >0 ,即f(x)为递增下凹的函数 .…     

函数f(x)=a/(sin~nx) b/(cos~nx)最小值猜想的推广

文[1]中猜想:f(x)=a/sin~nx b/cos~nx(00,由均值不等式得:nAsin2x 2amsinmnx=Asin2x Asin2x … Asin2x asinmnx sinamnx … sinamnx≥(n 2m)(Ana2m)n 12m.nAcos2x 2bmcosmnx=Acos2x Acos2x … Acos2x bcosmnx cosbmnx … …     

权方和不等式的改进及其姊妹不等式

1 权方和不等式的改进 不等式:xm+1/1/ym/1+xm+1/2/ym/2+…+xm+1/n/ym/n≥(x1+x2+…+xn)m+1/(y1+y2+…+yn)m (A) (其中xi,yi∈R+,i=1,2,…,n,m＞0),当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn时取等号.     

应用均值不等式的“技巧”

均值不等式槡(ab)～(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解某些函数最值问题的有效工具.应用均值不等式有三个必要条件:一正二定     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

多元函数微分法在证明不等式中的应用

运用多元函数微分法可以证明一些不等式,现举例说明如下.例1设n≥1及x≥0,y≥0,证明不等式(x~n+y~n)/2≥((x+y)/2)~n证当x=0或y=0或n=1时,所论不等式显然成立.现讨论x≠0,y≠0 ,n>1的情形.考虑函数z=1/2(x~n+y~n)在条x+y=a件下的极小值,其中a为正常数.     

国外试题选登

<正> (苏)(1)求极限(2)设x>0时,f(x)=(1+x)~(1/(?)),证明当x→0~+时,f(x)-e+Ax+Bx~2+o(x~2),并求A、B两常数. (3)证明不等式(sinx)~(-2)≤x~(-2)+1-(4/(π~2))x∈(0,(π/2)).     

切比雪夫定理的初等证明

记 Tn( x) =cos( narccosx) ,这是一个首项系数为 2 n- 1的关于 x的 n次多项式 ,称为切比雪夫多项式 .在函数逼近论中 ,切比雪夫用连续函数的方法证明了一个基本结果 :定理 1 (切比雪夫 )　记Ωn={f( x) | f( x) =xn+ an- 1xn- 1+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an- 1∈R},则对任意 f( x)∈ Ωn,都有 max- 1≤ x≤ 1| f( x) |≥ 12 n- 1,且等号成立当且仅当 f( x) =12 n- 1Tn( x) .容易证明定理 1等价于下面的 :定理 2　记Mn={f ( x) | f ( x) =anxn+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an∈ R ,且当 - 1≤ x≤ 1时 ,| f ( x) |≤ 1 },则对任意 f( x)∈ …     

一个重要对数不等式及其应用

<正>在研究利用导数证明不等式时,利用一个重要的对数不等式ln(1+x)≤x(x>-1),可以证明一些不等式,达到事半功倍的效果.一、对数不等式ln(1+x)≤x(x>-1)的证明求证:ln(1+x)≤x(x>-1).证明构造函数f(x)=ln(1+x)-x,     

含参不等式恒成立问题的几种类型

对于含参不等式恒成立问题,涉及知识面广,具有较高的解题技巧.下举例介绍含参不等式恒成立问题的类型及求解方法.一、对于一次函数f(x)=kx+b,若f(m)>0,f(n)>0,则当x∈[m,n]时,f(x)>0.例1已知y=(log2x-1)(olgab)2+log2x-6log2x·logab+1(a>0,a≠1),当x∈[1,2]时,y的值恒为正,求b的取值范围.解由y=(log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1=[(logab)2-6logab+1]·     

另解两值联赛题

(一)2010年全国高中数学联赛一试试题(9)已知函数f(x)=ax~2+bx~2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1,| f′(x)≤1 |,试求a的最大值.解由于f′(x)=3ax~2+2bx+c当a>0时,表示一条下凹的抛物线,从题设条件,可知0≤x≤1,-1≤f′(x)≤1.从图线中可以得到