根有某种关系的两个一元二次方程系数间的关系及其应用

几个定理设有两个一元二次方程a_1x~2+b_1x+c_1=0 (a_1≠0) (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (a_2≠0) (Ⅱ) 定理1 方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍的充要条件是。 (?) 证明必要性:设x_1、x_2是方程(Ⅰ)的两个根,若方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍,则有 (a_2k~2x_1~2+b_2kx_1+c_2)·(a_2k~2x_2~2+b_2kx_2+c_2)=0此式左边展开后,经整理可得 a_2~2k~4(x_1x_2)~2+a_2b_2k~3x_1x_2(x_1+x_2)     

Orlicz空间中Müntz有理函数逼近的Jackson型定理

正1引言Müntz在文献[1]中研究了Müntz系统{x~(λn)}~∞_(n=1)在C[0,1]中的稠密问题,给出了著名的Müntz定理,这也将Weierstrass定理推广到了更一般的情况.之后学者们逐步转向了考虑Müntz有理逼近速度等问题的研究,而且这类研究正日益深入.设C[0,1]是[0,1]区间上全体连续函数,对非负递增实数序列∧={λ_n}~∞_(n=1)以∏_n(∧)表示n阶Müntz多项式空间,即{x~(λ_1),x~(λ_2),…,x~(λ_n)}的线性组合的全体,以R_n(∧)表示n     

2-CONNECTED k-REGULAR GRAPHS ON AT MOST 3k+3 VERTICES TO BE HAMILTONIAN (CONTINUED)

Let X~* and Y~* be generated by S(?){v_0},where G(S)is Hamiltonian connected and|X~*|=x~*,|Y~*|=Y~* and S_1~*,S_2~*,…,S_(x*)~* be the sets of vertices contained in the opensegments of C between vertices of X~*.Let S_1~*,x_1,S_2~*,x_2,…,S_(x*)~*,x_(?)~* be the segmentsand vertices of X~* in order around C.S_i~* is said to be an X~*(3)-interval if one ofx_(i-1)and x_i belongs to X_j~*—X_2~*.Let S=S_1~*,and S={a_1,c_1,c_2,…,c_1,b_1}.It is easy to see that the statement inLemma 2 can be modified as(?)({a_1,b_1},S_i~*)≤(?)     

带线性约束的变尺度算法

本文利用[1]和[2]中的结果,提出一类算法,求解带线性等式约束条件的规划问题。其中A是行线性无关的m×n矩阵。令A∈R~m,构造函数:其中c_j单调增趋向于 ∞的实参数。我们的算法是。步0:i=j=1,初始点(x~1;∧~1)=(x~1;∧~1),初始正定阵H~1,一般可取H~1=I~((n m)×(n m)),参数c_j=(c_0)~j,c_0>1。步1,转步2;否则,转步3。步2:,转步1。步3:     

幂等矩阵下Yang-Baxter-like方程解的新的显式表达式

正1引言设C~(m×n)表示m×n阶复矩阵的集合,I_n表示n阶单位矩阵.对于矩阵A∈C~(m×n),A~*表示它的共轭转置矩阵.设矩阵A∈C~(n×n),如果A~2=A,则称矩阵A为幂等矩阵;如果A~2=A=A~*,则称矩阵A为正交投影矩阵.设A∈C~(n×n)本文主要研究下面的二次矩阵方程AXA=XAX,(1.1)称之为Yang-Baxter-like方程,因为其与统计物理中分别由Yang[1]和Baxter[2]独立得到的经典Yang-Baxter方程相似.     

关于复方阵的平方根

本刊文 [1]中提出如何判断一个方阵是否存在平方根的问题 .这里 ,我们就 n阶复方阵情形给出三个判别准则 .设 A是 n阶复方阵 ,JA 表示它的若当标准形 ,则存在相似变换矩阵 P,使得 A=PJAP-1 .有关复方阵 A的若当标准形 JA 以及相似变换矩阵P的求法 ,见本刊文 [2 ]或 [3 ] ,本文不再赘述 .定义 1　设 A是 n阶复方阵 ,若存在 n阶复方阵 B,使得 B2 =A,则称 B为 A的平方根 .为书写简便 ,我们用记号 Jr( x) ( r≥ 1)与diag[B1 ,B2 ,… ,Bs]分别表示 r阶若当矩阵和对角块矩阵 :x 1 x 1x∈ Mr( C) ,B1 B2 Bs.用文 [2 ]中给出的计算复…     

Orlicz空间内的一类Müntz有理逼近

正1引言设C[0,1]是[0,1]区间上全体连续函数,对非负递增实数序列Λ={λ)n}_(n=1)~∞,以П_n(Λ)表示n阶Müntz多项式空间,即{x~(λ_1),x~(λ_2),...,x~(λ_n)}的线性组合的全体,以R_n(Λ)表示n阶Müntz有理函数空间,即     

弱半正矩阵与弱对角稳定矩阵的一些特性

设 R~(n,n)为 n 阶实阵集合。A∈R~(n,n)称为弱半正矩阵,假如对某 x>0,Ax≥0;A∈R~(n,n)称为弱对角稳定矩阵,假如对某正对角阵 D,AD+DA~T 是半正定阵。显然,这两种矩阵类分别是通常的半正矩阵类与对角稳定矩阵类的超类,分别用 WS 与 WA 表示它们。若只考虑 R~(n,n)中非对角元为非正的矩阵类 Z~(n,n),则 WS 中每个矩阵为(行)广义对角占优阵,且WS 与 WA 都是“具有性质 C”的 n 阶 M—阵的真子类。(见[2]第六章)。近年来,有许多     

关于一篇论文的注记

文[1]讨论3维Lotka-Volterra合作系统的全局稳定性,其中定理2给出:系统唯一的正平衡点渐近稳定的充要条件是线性变分阵B的行列式小于零.此定理的充分条件是成立的,但必要条件未必成立.当平衡点渐近稳定时,B的特征根未必均具负实部,因此未必│B│<0.因为当B具有一零特征根或一对纯虚特征根而其它特征根具负实部(相应于Liapunov稳定性的第一、第二临界情形)时,对应的非线性系统仍可以是渐近稳定的.特别要提的是文[1]中的定理3:存在实对角正定阵C使CA A~TC=-I的充要条件是│A│<0(等价于A的特征根均是负实部).此定理仅对一般的正定阵C成立,而对于对角正定阵C一般是不成立的,而在文[1]中是根本不成立的。现简析如下.设C=diag(C_1,C_2,C_3)>0,则     

矩阵对角占优性的推广及应用

§1.引言设 A=(a_(ij))_(n×n)为一复矩阵,若有一正向量 d=(d_1,d_2,…,d_n)~T 使得d_i|a_(ij)|≥sum from j≠1 d_j|a_(ij)|,(1)对每一 i∈N={1,2,…,n}都成立,则称 A 为广义对角占优矩阵,记为 A∈D_0~*;如若(1)式中每一不等号都是严格的,则称 A 为广义严格对角占优矩阵,记为 A∈D~*.特别地,当 d=(1,1,…,1)~T 时,A∈D_0~*及 A∈D~*即是通常的对角占优与严格对角占优,分别记作 A∈D_0及 A∈D.利用矩阵的对角占优性质讨论其特征值分布是矩阵论中的重要课题,文献[5]—[10]给出了这方面的重要结果.n 阶实方阵 A 称为 M-矩阵,如果 A具有形式:A=sI-B,s>ρ(B),其中 B 为 n 阶非负方阵,ρ(B)表 B 之谱半径,利用广义严格对角占优的概念,文[1]给出了 M-矩阵的等价表征:若 n 阶实方阵     

组合合成阵本原指数的一个上界

讨论n阶正对角元本原矩阵A的r级组合合成Cr(A)，得到了它的本原指数的上界：r(Cr(A))≤n-r，r=1，2，…，n，解决了文[4]中的一个猜想．进而得出，设Mr={Cr(A)|A是n阶正对角元本原矩阵}，Mr中所有合成阵的本原指数集填满{1，2，…，n-r}．     

矩阵可对角化的一个充要条件

本文给出矩阵可对角化(即可与对角矩阵相似)的一个充要条件,并推广了文[1]中的一个结果。首先叙述如下: 引理设A,B都是n阶矩阵,则有秩(AB)≥秩A+秩B-n 证明可见[2],这里从略。定理设A是数域F上的一个n阶矩阵,     

Grunwald插值多项式算子的逼近阶

设J_n~(α,β)(x)(α,β>-1)是在[-1,1]上以ρ(x)=(1-x)~α(1+x)~β为权函数的n阶Jacobi正交多项式。l_k~(n)(x)(K=1,2,…,n)是以J_n~(α,β)(x)的零点{x~(n)_1,x_2~(n),…,X_n~(n)}为基点的Lagrange插值基本多项式,对于f(x)∈C[-1,1],其Grunwald插值多项式算子是(见[1]第Ⅲ部分;[2]P.196)     

单调减凝聚映象的不动点定理

郭大钧[1]和[4]给出了单调减全连续映象的不动点定理,并用于核物理中一个非线性积分方程的求解。本文把它拓广到凝聚映象,从而拓广了[1]和[4]的结果。 定理 设E是Banach空间,P是E中一个正规锥,A:P→P是单调减凝聚映象。那末(i)A在P中至少有一个不动点x~*,θ≤x~*≤Aθ;(ⅱ)A~2在P中的不动点唯一时,A在P中的不动点唯一并且对任何x_0∈P作迭代序列     

圆锥曲线的切线和切点弦方程的应用

<正>定理1过圆锥曲线C:Ax~2+By~2+Dx+Ey+F=0(A、B不同时为0)上一点P(x_0,y_0)的切线方程为:Ax_0x+By_0y+D(x_0+x/2)+E(y_0+y/2)+F=0.证明设切线方程为x=m(y-y_0)+x_0,代入曲线方程C中有:A[m(y-y_0)+x_0]~2+     

标准Jacobi矩阵的混合型特征反问题

0 引言 本文讨论如下标准形式的Jacobi矩阵 其中a_i>0(i=1,2,…,n),b_i>0(i=1,2,…,n-1)。 对于Jacobi矩阵(对称三对角矩阵)的特征反问题,已有的成果[1],基本上集中在由两组频谱或两个特征对(指特征值及相应的特征向量)构造Jacobi矩阵的元素这样两类问题上,习惯上称之为频谱型或特征向量型反问题。本文提出且求解了第三类型——混合型特征反问题。即由一组频谱数据和一个特征向量构造矩阵元素的问题: 问题Ⅰ 给定正数λ~(1),λ~(2),…,λ~(n)和实向量x=(x_1,x_2,…,x_n)~T,其中x_1=1。构造一个标准形式的Jacobi矩阵J,使其第k阶顺序主子阵恰以λ~(k)(k=1,2,…,n)为其特征值。且(λ~(n),x)为其特征对。 问题Ⅱ 给定正数0<λ_1~(n)<λ_1~(n-1)<…<λ_1~(1)和正向量x=(x_1,x_2,…,x_n),其中x_=,x_k>0(k=2,…,n),构造一个标准形式的Jacobi矩阵J,使其第K阶顺序主子阵恰以λ_1~(k)为其最小特征值,而(λ~(n),x)为J的特征对。 问题Ⅲ 给定n个实数0<λ_1)<λ_2<…<λ_n和m个实数λ~(1),λ~(2),…,λ~(m)及m维向量x=(x_1,…,x_m)~T。构造n阶标准形式的Jaeobi矩阵J,使其第K阶顺序主子阵恰以λ~(k)(k=1,2,…,m)为其特征值,而(λ~(m),x)为第m阶顺序主子阵的特征对,且λ_k(k=1,2,…,n)为J的特征值。这里系大于或等     

复旦大学1984年硕士研究生入学考试试题

1.设x_0,x_1,…,x_n,x是n+2个相异点,证明 f(x_0,x_1,…,x_n,x)=sum from i=0 to n(f(x_j,x)/(multiply from (?) to n(x_j-x_1))) 其中f(xj,x)和f(x_o,x_1,…,x_n,x)分别表示函数f(x)的一阶和n+1阶差商。 2.设n阶线性方程组Ax=b中n×n矩阵A的顺序主子式det(A1)≠0(i=1,…n),令(n+1)×(n+1)矩阵B为     

对称平均数在矩阵中的一个应用

n个正数x_1,x_2,…,x_0的r次对称平均数(r=1,2,…,n)定义为: 在[1]中证明了对称平均数的基本定理,即∑_n~1≥∑_n~2≥…≥∑_n~n,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立。 下面利用这个结果导出正定Hermite矩阵的一个     

评《关于膨胀算子不动点定理的注记》一文

在文献[1]中,于挺同志证明了下述定理: 定理1设(X,d)是紧度量空间,T是X→X的连续映射,如果存在h>0,对任意x,y∈X,有 d(TX,TY)≥hd(x,y) (1)则T在X中有唯一不动点x_*,且对任意x_0∈X,x_n=TX_(n-1)(n=1,2,…),有=x_*。 我们可以证明: 当X至少有两个点时,满足定理1条件的映射不存在。 证明 用反证法,设存在映射T满足定理1的条件。由X至少有两个不同的点及(1)式易知T≠Ⅰ(Ⅰ是X→X的恒等映射)。     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理:定理1椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A(a,0),直线l与椭圆交于C,D两点,则AC⊥AD(?)直线l过定点((a(a~2-b~2)/(a~2 b~2)),0).笔者受其启发,给出以下几个定理.定理2点P(x_0,y_0)在椭圆b~2x~2 a~2y~2= a~2b~2(a>b>0)上直线l交椭圆于C,D两点(C,D异于P),则:PC⊥PD(?)直线l过定点