轮换数的求和问题

我曾看过这样一篇文章 ,文中说一个两位数与它的倒转数的和都是 1 1的倍数 ,并且这个和除以 1 1的商 ,正好是这个两位数个位、十位上数字的和 .例如 :6 3+ 36 =( 6 + 3)× 1 1 .看完这篇文章后 ,我不禁想到这样一个问题 :既然两位数有上述规律 ,那三位、四位数是否也有类似规律可寻呢 ?那么就让我们一起来探讨一下吧 !如 :2 34+ 2 4 3+ 32 4 + 342 + 4 2 3+ 4 32 =1 998=2× ( 2 + 3+ 4 )× 1 1 1 ,348+ 384 + 4 38+ 4 83+ 834+ 84 3=3330=2× ( 3+ 4 + 8)× 1 1 1 .观察每个算式左边六个数 ,我发现每个加数都是相同数字组成的三位数在百位…     

初二代数第二学期期中自测题

Ａ组一、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 . ( - 2 ) 2 平方根是 (　 ) .Ａ . - 1 .4 2　　　Ｂ .± 1 .4 2Ｃ . - 2　　　　Ｄ .± 22 .下列各式求值正确的是 (　 ) .Ａ . 3 2 =± 3　　　　Ｂ .± ( - 4) 2 =± 4Ｃ . - ( - 4) 2 =4Ｄ . ( - 3 ) 2 =- 33 .使式子 -ｘ2 有意义的ｘ是 (　 ) .Ａ .全体正数　　　　Ｂ .全体负数Ｃ .零Ｄ .非零数4 .一个自然数的算术平方根是ｘ ,则下一个自然数的算术平方根是 (　 ) .Ａ .ｘ + 1　　　　　Ｂ .ｘ2 + 1Ｃ .ｘ + 1Ｄ .ｘ2 + 15. 1的 2ｎ(ｎ为任意正整数 )次方根为 (　 ) .Ａ . 1　　Ｂ . - 1　…     

数也有形状

今天,刘老师在黑板上写下一串数:1、3、6、1 0…… 毫无疑问,这肯定是让我们找规律,然后说出下一个数.同学们都在心里算了起来,1+2=3,3+3=6,6+4=10,看来,这串数的规律,就是依次“加2、加3、加4……”下一个数很明显,就是10+5=15.     

初二代数第二学期期中自测题

A组一、填空题 ( 1— 5题 ,每小题 3分 ,6— 1 0题每小题 4分 ,共 3 5分 ) .1 .数的平方得 812 5 6,4962 5 的开平方得 .2 . 1 72 -82 的算术平方根是 .3 . -12 是数a的一个平方根 ,则a=.4.若 3 -2x有意义 ,则x=.5 .当a =3时 ,( 2 -a) 2a -2 =.6.(± 13 ) 2 的平方根是 ;9的算术平方根是;-82 7的立方根是 .7.如果a2 =2 5 ,则a3 =;如果 (a -5 ) 2 =5-a ,则a 5 ;如果 -a =3 ,则a =.8.当x =时 ,代数式 2x +3 -x有意义 ;若x<0时 ,则3 x3|x|=;若x+12 +|y -3 |=0 ,则x2 +y2 =.9.若 1 .0 0 7=1 0 0 3 ,1 0 0 7=3 1 73 ,则0 .0 0 1 0 0 7=;若 3 …     

对“从算术到代数”的一些意見

張元鼎著的“从算术到代数”一書中,我認为有下面一些問題值得提出来供大家討論,对不对尚希大家指教。在数学理論上的錯誤 1.第12頁第七行:“除法有分配定律,如(18+6+4)÷2=18÷2+6÷2+4÷2,”我認为把这样的运算称之为除法分配定律是不对的,这种运算实际上是乘法分配定律:     

引无数英雄竟折腰的3x+1猜想

当代 ,有一个风靡世界有趣的“3ｘ +1问题” ,人人都会演算 ,但要证明它却像对付坚硬的磐石 ,它似乎能轻而易举地挫去你智慧的锋芒 .1　 3ｘ+1问题由来大约在 2 0世纪 3 0年代 ,世界许多国家流传着这样一道题目 :“任取一个自然数ｘ ,如果它是偶数 ,则除以 2 ;如果是奇数 ,则将它乘以 3加 1 ,这样反复运算 ,最后结果必然是 1 .例如　取ｘ为 6,6→ 6÷ 2 =3 → 3× 3 +1= 1 0 → 1 0÷ 2 =5→ 5 × 3 +1 =1 6→ 1 6÷ 2 =8→ 8÷ 2 =4→ 4÷ 2 =2 → 2÷ 2 =1 .有趣的是 ,不管你取什么自然数 ,依照上面规则 ,最后总是“百川归大海” ,都会得…     

乘数有9、3、6的计算技巧

简捷乘算技巧的基础是利用三个特殊数码1、2、5。这三个特殊数码有其自身的特点,导致了在它们为乘数时,乘法运算就非常简捷了。 任何一个数乘以1即其本身;乘以2即自身的倍数;乘以5则为自身之半数。一个数的倍数和半数用心算的方法是很容易求出的。因此乘算的技巧就是想方设法使乘数能和这三个基础数码挂上钩。 1.乘数有9 在诸多的数码中,和基础数码最有“缘分”的,当数9。众所周知,9之所以倍受人们青睐,是因为9和1是好朋友的缘故。因9=1(?);99=10(?);999:100(?)……且有2×9=2(?);3×9=3(?)……这就使凡9的倍数作乘数均可使运算带来简捷。     

魔数98765432

98 76 5 4 32是一个奇妙的数 ,可称之为魔数 ,也可说是“九缺一” ,因为在九个非零数字中 ,它拥有八个数字 ,只缺一个 ,而缺少的一个 ,恰好是数字“1” .魔数不仅自身具有“九缺一”的特性 ,对它进行一些运算 ,所得结果仍然保留有类似的性质 .1) 9876 5 4 32÷ 2 =4 9382 716 ,商数缺 5 .2 ) 4 9382 716÷ 2 =2 4 6 9135 8,商数缺 7.3) 2 4 6 9135 8÷ 2 =12 345 6 79,商数缺 8.4 ) 12 345 6 79× 5 =6 172 8395 ,乘积缺 4 .5 ) 6 172 8395 +2 4 6 9135 8=86 4 1795 3,和数缺 2 .6 )用 9分别去乘魔数以及 1)到 5 )的得数 ,可得如下结果 :魔…     

x~3+y~3+z~3=0无整数解的证明

<正> 文1证明了x~3+y~3+z~3=0无xyz≠0的整数解。其中重要的根据是;若s~3=a~2+3b~2,(a,b)=1,(a,b)的最大公约数,记为(a,b),则有s=n~2+3v~2,且a=n(n~2-9n~2),b=3v(n~2-v~2).例如91~3=836~2+3·135~2,求得上述的s=4~2+3·5~2,而不是4~2+3·5~2.     

初二代数第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 36分 )1.916 的算术平方根是 ,2 7的立方根是 .2 .4的平方根是 ,立方根是 .3.化简下列各式 :94 9= ;27=;2ａａ+ｂ=.4 .已知ａ =2 ,ｂ =3,ｃ=5,则 ｂ2ａｂｃ的值是 .5.若 (ｘ - 5) 2(ｘ - 6 ) 2 =ｘ - 5ｘ - 6 ,则ｘ =.6 .计算 :( 1) 1010 0 0 =;( 2 ) 0 .0 1× 6 40 .36× 5=.( 3) 12÷ 2 7× 50 =.7.合并下列各式中的同类根式 :8+ 33+ 13- 52 =.ｘ4 + 2 1ａ - 4ｘ +ａ =.8.已知 5≈ 2 .2 36 ,3≈ 1.732 ,则 45- 3的值 (精确到 0 .0 1)是 .9.若ａｂ <0 ,则ａｂ2 =.10 .计算 ( 3+ 2 ) 2 0 0 3 ·( 3- 2 ) 2 0…     

对一道题目的探究

初二、初三年级的同学都解过这道题 ,但这道题究竟是两解 ,还是多解 ?在许多同学心中至今还是个谜 .下面笔者与大家共同对这道题作一研究 .题目　若一元二次方程的两根之比是2∶3 ,其判别式的值等于 4,求这个方程 .分析　一般同学们的解法是先将方程的两根分别设为 2k、3k .利用韦达定理作一个一元二次方程 .利用已知条件Δ =4,建立关于k的方程 ,从而求解 .解法一　设所求方程的两根为 2k、3k .故所求方程为x2 -(2k + 3k)x + 2k·3k =0 ,即　x2 -5kx + 6k2 =0 .因为　Δ =4,所以　 2 5k2 -4× 6k2 =4,即　k2 =4,所以　k =± 2 .所以所求的方…     

不等式(a+b+c)/3≥(abc)~(1/3)的应用三例

在高中教材中有一个重要不等式为 :如果ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ +ｂ +ｃ3≥ 3ａｂｃ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取等号 .灵活应用这一重要不等式往往可以收到很好的解题效果 .下面举三例说明 .例 1　比较 (12 ) 13 与ｌｏｇ1312 的大小 .分析 :这两个数大小比较初看起来不易运用常规办法处理 ,如果分析 (12 ) 13 这一个数而应用公式1ａ+1ｂ+1ｃ3≥31ａ·1ｂ·1ｃ ,即 3ａｂｃ≥31ａ+1ｂ+1ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ+ )进行放缩处理 ,问题就会迎刃而解 .解　∵ (12 ) 13 =312 =312 ·1·1>32 +1+1=34,而 34=ｌｏｇ3 (3) 3 4 =ｌｏｇ342 7>ｌｏｇ3416=ｌｏ…     

高階等差級数

1+1+1+…+1=n,1+2+3+…+n=(1/2)n(n+1),1+3+6+…+(1/2)n(n+1)==(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)1+4+10+…+(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)==(1/1·2·3·4)n(n+1)(n+2)(n+3),…………………要証明这些式子是不困难的。例如:因为     

整数的一个令人惊奇的性质

文〈1〉提出了整数的一个令人惊奇的性质 :对任意的一个整数 ,以你喜欢的任意方式重新排列 ,则开头的数与新的数之间的差 ,永远会被 9整除 !例如 :原数为 1 2 56 3 ,重排后的新数为 2 3 6 51 ,它们的差为 1 1 0 88,1 1 0 88÷ 9=1 2 3 2 ;原数为 3 3 3 3 3 ,重排后还是 3 3 3 3 3 ,它们的差为 0 ,0÷ 9=0 ;原数为 6 72 6 3 6 ,重排后为6 6 6 3 72 ,差为 6 2 6 4,6 2 6 4÷ 9=6 96 .以上选出的三个数都具有这个性质 ,有兴趣的话你可以任选整数进行尝试 .这个性质如果要进行严格的证明 ,似乎无从入手 .我们就先从两位数入手 .设原两位数为ａｂ…     

談当前高三学生的数字运算能力

一、情况严重目前我們的高三学生在数字运算方面,存在着极其严重的問題。主要表現在: (1) 运算方法不合理。例如某生在解“将三个直径分别为6cm,8cm,和10cm的三个小球熔成一个大球,試求大球直径”。一題时,他作出了如下的解答: 設三个小球体积分別为V_1,V_2,和V_3。大球为V; V_1=4/3πr_1~2=4/3×3.14×3~3=110.14, V_2=4/3πr_2~3=4/3×3.14×4~3=265.813, V_3=4/3πr_2~3=4/3×3.14×5~3=145.37, ∵ V=V_1+V_2+V_3, ∴ 4/3πr~3=110.14+265.813+145.37=     

在解题教学中如何训练学生的观察能力

在数学教学中培养学生的观察能力,是学生学好数学的关键之一,也是培养其他思维能力的基础。下面浅谈一下在这方面的做法与体会。一、引导学生观察条件中的数字或字母的变化规律及位置特点例1 已知数列{a_n}的前五项是1,2,4,7,11,试写出这个数列的一个通项公式。解:细心观察后知:相邻两项中后项与前项的差有规律: a_z-c_1=2-1=1, a_3-a_2=4-2=2, a_4-a_3=7-4=3, a_5-a_6=11-7=4, 由此可得 a_n-a_n-1=n-1再把上面(n-1)个式子相加得左边=a_n-a_1;右边=1+2+3+……+(n-1)=(n-1)/2     

八年级数学(北师大版)第一学期期中自测题

一、填空题(每小题3分,共30分)1.比较大小:57411(填“<”或“>”).2.下列各数:①3.141;②0.3333……;③5-7;④π;⑤±2.25;⑥-23;⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2);⑧(7-2)(7+2)中是无理数的有(填序号).3.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为.4.现在是北京时间12点半.13点时,分针旋转了度.5.如图,菱形ABCD中,点E在BC上,若∠B=∠EAD=70°,那么,∠AED=∠DEC=.6.正方形面积为25cm2,则对角线长是.7.10x2=2.5,那么未知数x的值是.8.估算面积是20平方米的正方形,它的边长是(保留一位小数).9.已知一个多边形的内角和为1080°…     

前n个正整数的k次方的和的组合表示

一般来讲 ,我们可以用若干个形如 (n+ 1 ) k+ 1的展开形式来求 ∑ni=1ik.例如 ,由(n+ 1 ) 3 =n3 + 3n2 + 3n + 1 ;　n3 =(n- 1 ) 3 + 3(n- 1 ) 2 + 3(n- 1 ) + 1 ;……　 33 =2 3 + 3× 2 2 + 3× 2 + 1 ;　 2 3 =1 3 + 3× 1 2 + 3× 1 + 1各式相加得(n+ 1 ) 3 =1 + 3∑ni=1i2 + 3∑ni =1i+n .从而可以算出∑ni=1i2 =n(n+ 1 ) ( 2n+ 1 )6 .由上面的例子不难看出 ,用这个办法求前n个正整数的k次方的和 ,必须先求出他们的 1 ,2 ,… ,k- 1次方的和 ,因此求 ∑ni=1i10 将是一件很麻烦的事 .我们现在来研究一种较为方便的求法 .引理 1　对于任何…     

数学问题解答

1431　如图 ,在△ABC中 ,D、M、E是四等分BC的三个分点 ,一直线顺次交AB ,AD ,AM ,AE ,AC于K1 ,K2 ,K3,K4,K5.求证 :AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)(贵州安顺师专培训部　李慎东　 5 61 0 0 0 )证明　注意到M是BC之中点 ,过B ,C两点分别作l的平行线BV ,CT(见图 )则有 :ABAK1 =AVAK3,ACAK5 =ATAK3　因为TM =VM　所以AV +AT=2AM故 ABAK1 + ACAK5 =2 ·AMAK3………①同理 ,可得ADAK2 + AEAK4=2 · AMAK3………②① +②整理得AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)1 432　四面体…     

2003年中考数学模拟试题(7)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .计算 ( -2 ) - 2 得 (　 ) .Ａ .4　　Ｂ .-4　　Ｃ .14　　Ｄ .-142 .在2 27,3 ,3 .1 4,-1 6,3 9,π ,1π 等各个数中 ,无理数共有 (　 ) .Ａ .3个　　　　　Ｂ .4个Ｃ .5个　　　　　Ｄ .6个3 .下列方程中 ,没有实数根的是 (　 ) .Ａ .2ｘ2 =7　　　　Ｂ .5ｘ2 -7ｘ +5 =0Ｃ .2ｘ2 +3ｘ =4Ｄ .1 6ｘ2 +9=2 4ｘ4.下列计算正确的是 (　 ) .Ａ .( -ａ3) 2 =ａ6 　　　　Ｂ .ａ6 ÷ａ3=ａ2Ｃ .ｘ +ｙ-ｘ -ｙ=1Ｄ .1ａ +12ａ=23ａ5 .下列右边四个图形中哪个图形是左边立方体的展开图 (　 ) .6.已…