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1 三角形等积点的定义设P是△ABC所在平面内一点,若a·PA=b·PB=c·PC,则称P是△ABC的等积点(其中BC=a,CA=b,AB=c).2 三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文[1].命题1 分别以△ABC的三边为边,向形外作等边△ABC1、△BCA1、△ACB1,则AA1=BB1=CC1=f1,且直线AA1、BB1、CC1共点,这点叫△ABC的正等角中心,本文用F1表示此点.其中f1=12(a2+b2+c2+43△),△表示△ABC的面积.命题2 分别以非正△ABC的三… 相似文献
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在中学数学教学过程中,经常见到如下的练习题:设过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线与直线l:Ax+By+C=0相交于点P(不同于点P2),则点P分P1P2所成的比λ为λ=-Ax1+By1+CAx2+By2+C①(λ可称为直线l分P1P2... 相似文献
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由费马点引出的若干竞赛问题 总被引:1,自引:0,他引:1
费马点及其性质如果F为△ABC的费马点,a、b、c和S分别为△ABC的三条边长和面积,FA=x,FB=y,FC=z,f=x+y+z(下同),那么费马点F有下述性质:定理当△ABC的三内角均小于120°时,f=22a2+b2+c2+43S(1)当△AB... 相似文献
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位似变换与三角形的“三心共线”续铁权(青岛教育学院266071)设有△ABC.对于平面上任意一点P,记△PBC,△PCA,△PAB的有向面积为S1,S2,S3,若μ1∶μ2∶μ3=S1∶S2∶S3,称μ1∶μ2∶μ3为点P的重心坐标,记作P=(μ1∶... 相似文献
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Erdo¨s-Mordel定理的简捷证明李汉丰(山东胜利油田教育学院257097)1935年,Erdo¨s提出了如下猜想:命题设P为△ABC内部或边上一点,P到三边a=BC,b=CA,c=AB的距离分别为r1,r2,r3(如图),则PA+PB+PC≥... 相似文献
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我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线.那么,任意一条封闭折线(不一定是平面的),它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢?本文将探讨此问题. 为此,先给出如下引理: 引理 1 △ABC中,AB+AC≤ BC·cscA/2.其中当且仅当AB=AC时取等号. 证明 在△ABC中,由余弦定理,得BC~2=AB~2+ AC~2—2·AB·AC·cos A 引理2 设P1>0,a1>0(i=1,2,…,n),则 引理2是加权幂平均不等式M1(a,p)≤M2(a,p),在许多文献(例如文[1]… 相似文献
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文〔1〕、〔2〕分别给出了勾股定理的两个简短证明,下面再给出一个简短证明:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,设其内切圆半径为r,则2r=(BC-BD)+(AC-AF)=BC+AC-(BD+AF)=BC+AC-AB∴S△ABC=12r·a+12r... 相似文献
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设P是△ABC的费马点,记P点到△ABC三个顶点距离之和为l,关于l的下界问题近来不少文章作了探讨.例如文[1]得出的结果是:l>s,其中s是△ABC的半周长.本文得出一个更优的结果,首先引入:引理1[1]l2=0.5(a2+b2+c2)+23△.引... 相似文献
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三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔,何琴(湖北武穴师范436400)在三角形内,发现下述一个新不等式:命题1P在△ABC的边AC上(图l)D和E在边BC上,且BD=DE=EC;BAD与AE分别与BP交于F、G,则证明整理得S2△ABP≥9S2△AFG... 相似文献
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1999年全国初中数学联合竞赛第一试第2道题是:△ABC的周长是24,M是AB的中点,且MC=MA=5,则△ABC的面积是().(A)12(B)16(C)24(D)30解∵MA=MB=MC=5,∴∠ACB=90°.已知周长是24,则AC+BC=14,... 相似文献
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等腰三角形的一个新定理黄全福(安徽省怀宁江镇中学246142)在教学工作之余,笔者偶然发现关于等腰三角形的一个新定理.叙述如下:“在等腰三角形ABC的底边BC上任取两点P,Q,过A,P,Q三点的圆分别交AB,AC于M,N.则有:PA2+PM·PN=Q... 相似文献
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对于生长曲线模型该文在1中定义了的三种相对效率,即:其中,B=(A’∑~(-1)A)~(-1)A’∑’~(-1)YV~(-1)~C’(CV~(-1)C’)~(-1),B=(A’∑~(-1)A)~(-1)A’∑~(-1)YC’(CC’)\+-1,μ=ABC,μ·=AB·C.在2,3,4中分别给出了它们的上界,并给予了证明. 相似文献
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二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式 总被引:2,自引:0,他引:2
对于二元二次多项式f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(其中A,B,C不全为零),设h=2CD-BEB2-4AC,k=2AE-BDB2-4AC,F1=f(h、k)=12Dh+12Ek+F,△=2ABDB2CEDE2F=-2(B2-4A... 相似文献
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题目 设I为△ABC的内心,K、L、M分别为△ABC的内切圆在BC、CA、AB上的切点,已知通过点B与MK平行的直线分别与直线LM及LK交于R、S两点,求证∠RIS为锐角.证明 记△ABC的内切圆半径为r,∵ RS∥MK且△MKL为切点三角形,故 ∠RSK=∠MKL=∠LMA,∴ S、L、M、B四点共圆.故 RB·RS=RM·RL.但R是圆I外一点,RM·RL=RI2-r2,∴ RB·RS=RI2-r2(1)同理可知 SB·SR=SI2-r2(2)由(1)、(2)有RI2+SI2-2r2=RS… 相似文献
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在△ABC中,无论是锐角、或直角或钝角三角形,总有A2+B2+C2=90°.从而也有(90°-A2)+(90°-B2)+(90°-C2)=180°(1)A2+B2+(90°+C2)=180°(2)B2+C2+(90°+A2)=180°(3)C2+A2... 相似文献