运用直线系过定点巧解几何问题

若直线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０,ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０相交于点Ａ,则方程（Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１）＋λ（Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２）＝０（λ为任意实数）是通过ｌ１和ｌ２的交点的直线系方程（除去ｌ２本身）．在解析几何问题中,有一类问题,如果用直线系过定点来解,则可使问题轻松地得以解决．例１　求证：无论ａ为何值,直线（ａ－２）ｙ＝（３ａ－１）ｘ－１都过第一象限．分析　此题从表面看,觉得很难下手,但若将ａ看作参数,则该直线即为直线系,若该直线系过的定点就在第一象限,那么问题就迎刃而解了．证明　将…     

运用直线重合的条件解题

运用直线重合的条件解题２２４３００江苏射阳中学钱军先，邓超众所周知，直线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０与直线ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０（其中Ａ１、Ｂ１、Ｃ１、Ａ２、Ｂ２、Ｃ２均不为零）重合的充要条件是．运用这一条件求解某些数学问题，可以收到出奇制...     

巧用直线和圆的位置关系解题

命题　设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ,Ｂ不同时为零）,⊙Ｏ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝Ｒ２,则ｌ与⊙Ｏ有交点｜Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃ｜Ａ２＋Ｂ２≤Ｒ．本文举例说明这一命题在解题中的巧用．一、用于求最值（或值域）例１　如果实数ｘ,ｙ满足等式（ｘ－２）２＋ｙ２＝３,求ｕ＝ｙｘ的最大值．（１９９０年高考试题）解　由ｕ＝ｙｘ得ｕｘ－ｙ＝０,点（ｘ,ｙ）在直线ｕｘ－ｙ＝０以及圆（ｘ－２）２＋ｙ２＝３上．∴２ｕ－０１＋ｕ２≤１－３≤ｕ≤３,∴ｕｍａｘ＝３．例２　求函数ｕ＝２ｘ－１＋５－２ｘ的最大值．解　点（…     

一种新的二次曲线系方程及其应用

确定一个二次曲线：Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０一般需五个独立条件,因此,经过四点的二次曲线一般情况下有无数条,它们组成一个二次曲线系;本文以定理形式介绍一种新的二次曲线系,并举例说明其应用,并以此引伸出一种新的解题方法;１．定理的证明定理　若直线ＡＢ的方程为Ｆ１（ｘ,ｙ）＝０;直线ＢＣ的方程为Ｆ２（ｘ,ｙ）＝０;直线ＣＤ的方程为Ｆ３（ｘ,ｙ）＝０;直线ＤＡ的方程为Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０;则方程Ｆ１（ｘ,ｙ）·Ｆ３（ｘ,ｙ）＋λＦ２（ｘ,ｙ）·Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０表示过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的…     

直线与圆锥曲线相切的充要条件

１直线与圆锥曲线相切的充要条件定理１°直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１相切的充要条件是：Ａ２ａ２＋Ｂ２ｂ２＝Ｃ２①其中Ａ、Ｂ不同时为零（下同），ａ＞０，Ｂ＞０（下同）２°直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝±１相切的充...     

二次曲线分线段的比及其应用

二次曲线分线段的比及其应用西安市西光中学刘康宁为了叙述方便，我们把二次曲线方程Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ａ、Ｂ、Ｃ不全为零）记作Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，经过代换所得方程命题设经过Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ２，ｙ２）两点的直线与二次曲线Ｆ（ｘ...     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

全国各地市1998年高考模拟试题汇编

七、解析几何（一）１．已知Ａ（４,２）,Ｂ（２,４）,则过ＡＢ的中点且斜率为－２的直线方程是（）（Ａ）２ｘ－ｙ－９＝０．（Ｂ）２ｘ－ｙ－３＝０．（Ｃ）２ｘ＋ｙ－９＝０．（Ｄ）２ｘ＋ｙ－３＝０．２．经过点Ａ（２,３）,且垂直于直线ｘ－ｙ－２＝０的直线方...     

一类平几问题的代数解法

平面几何中有一类解比例线段的问题，通常作法是作辅助线（如平行线）或利用三角形相似或利用与之相关的定理（如梅涅劳斯定理）来解决．这些方法对学生的识图能力、逻辑思维能力等有着较高的要求．本文试图利用一个公式，从代数的角度，用“计算”的方法简洁地解决这类问题． 定理 已知两定点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２），直线 ｌ：Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ＝０（点 Ｐ２不在 ｌ上）交Ｐ１、Ｐ２ 所确定的直线于Ｐ点，则Ｐ分有向线段Ｐ１Ｐ２所成的比 该定理证明简单，可参见人教版《平面解析几何》教学参考书附录１． 下百仅以例…     

点 直线 平面之间的对称性的解析表达式

点直线平面之间的对称性的解析表达式艾则孜·卡得尔（新疆和田高等师专数学系８４８０００）命题１Ｐ１（ｘ１，ｙ１，ｚ１）关于Ｐ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）点的对称点的坐标为：命题２平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０外一点Ｐ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）关于该平面的对称点的坐...     

利用点与曲线的位置关系解题

利用点与曲线的位置关系解题８３１５００新疆阜康市一中张志略对于点和曲线的位置关系，我们有命题１设直线１的方程ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ｂ＞０），若点Ｍ（ｘ１，ｙ１）在直线ｌ的上（下）方，则有ｆ（ｘ１，ｙ１）＞（＜）０；若两点Ｍ（ｘ１，ｙ１），...     

1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类)

（１）—（５）,（７）（９）—（１２）,（１４）—（１８）分别与理科试题相同,（２２）与理科（２１）题相同,（２３）与理科（２２）题相同,与理科不相同的试题如下：（６）曲线ｘ２＋ｙ２＋２２ｘ－２２ｙ＝０关于（Ａ）直线ｘ＝２轴对称（Ｂ）直线ｙ＝－ｘ轴对称（Ｃ）点（－２,２）中心对称（Ｄ）点（－２,０）中心对称（８）若（２ｘ＋３）３＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３,则（ａ０＋ａ２）２－（ａ１＋ａ３）２的值为（Ａ）－１　（Ｂ）１　（Ｃ）０　（Ｄ）２（１３）给出下列曲线：①４ｘ＋２ｙ－１＝０　　②ｘ２…     

有心圆锥曲线的一类轨迹问题

有心圆锥曲线的一类轨迹问题刘康宁（西安市西光中学）请看下面几个问题：问题１　已知直线ｙ＝ｘ＋ｍ和椭圆ｘ２＋２ｙ２＋４ｙ－１＝０交于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是这条直线上的点，且｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜２，求当ｍ变化时点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（《数学通讯》...     

由一道试题引起的讨论

由一道试题引起的讨论朱伟卫（武钢四中４３００８０）有这样一道选择题：过双曲线２ｘ２－ｙ２－８ｘ＋６＝０右焦点Ｆ作直线ｌ交双曲线于Ａ，Ｂ两点．若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线ｌ存在（）（Ａ）１条．（Ｂ）２条．（Ｃ）３条．（４）４条．图１在解这道题时，部分学...     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...     

点到直线距离公式的一个简捷求法

点到直线距离公式的一个简捷求法陈国正（湖南津市一中４１５４００）求点Ｐ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离．一个自然的解题思路是：作ＰＱ⊥ｌ于Ｑ；列出垂线ＰＱ的方程；解方程组求垂足Ｑ的坐标；计算｜ＰＱ｜得所求．课本［１］指出：“这个方法虽...     

初三上期数学测试题

一、一元选择题（每小题３分,共４５分）１．在直线坐标系中,点Ｐ（－２,３）关于原点的对称点Ｐ′的坐标是（　）（Ａ）（２,３）　（Ｂ）（２,－３）（Ｃ）（３,－２）　（Ｄ）（－２,－３）２．已知方程２ｘ２＋７ｘ＋３＝０的两实根是ｘ１、ｘ２,那么ｘ１＋ｘ２的值是（　）（Ａ）－３　（Ｂ）３２　（Ｃ）－７２　（Ｄ）７３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,如果ｓｉｎＡ＝１２,那么ｃｏｓＢ的值为（　）（Ａ）１２　（Ｂ）３２　（Ｃ）１　（Ｄ）２２４．已知两个实数根的和是３,积是－４的一元二次方程是（　）（Ａ）ｘ…     

证明(两)曲线对称的一种方法

要证明曲线ｃ：ｆ（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ′就是ｃ;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ′的方程就是ｃ的方程,即只需证明ｃ′的方程就是ｆ（ｘ,ｙ）＝０．要证明两曲线ｃ１：ｆ１（ｘ,ｙ）＝０与ｃ２：ｆ２（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ１关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ１′就是ｃ２;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ１′的方程就是ｃ２的方程,即只需证明ｃ１′的方程就是ｆ２（ｘ,ｙ）＝０．我们把上面证明（两）曲线对称的方法叫同一法…     

再谈椭圆中一类三角形面积的最大值

文［１］利用伸缩变换讨论了椭圆内过定点的直线与椭圆的两个交点与原点构成的三角形面积的最大值．本文将利用行列式及二次函数在闭区间上的最值理论讨论这一问题．为此先给出下面两个引理．引理１　坐标平面内逆时针排列的三点Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）、Ｃ（ｘ３,ｙ３）构成的△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１１ｘ２ｙ２１ｘ３ｙ３１．（证明略）．引理２　二次函数在闭区间上的最值要么在顶点取得,要么在区间的端点取得（证明略）．定理　椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ、ｎ∈Ｒ＋）内有一定点Ｍ（ｐ,ｑ）,过Ｍ的直线…     

慎用斜率公式

斜率公式在中学数学中应用广泛,十分活跃,但人们在应用斜率公式解题时,常有疏失之处;笔者通过探究两道课本习题的流行解法,以期大家引以为鉴;习题１　一个圆的直径的端点是Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,证明：圆的方程是：（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．（《平面解析几何》甲种本,Ｐ８０第③题）《中学数学杂志》１９９４年第一期Ｐ４２载文给出如下证法：“证明：设Ｐ（ｘ,ｙ）为圆上的动点,由ＰＡ⊥ＰＢ,得ｙ－ｙ１ｘ－ｘ１·ｙ－ｙ２ｘ－ｘ２＝－１,即　（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－…