浅谈直线参数方程{x=x_0 tcosθ y=y_0 tsinθ}及其运用

如果问:平面直角坐标系中经过点p_0(x_0,y_0)、倾斜角是θ(0≤θ<π)的直线的标准参数方程是指什么?那么学过这一内容的高中学生一般总能回答:是其中t是参数。可是,如果让学生运用这种参数方程去解一些题目,那就并不那么爽快了。其原因也许各     

例谈参数方程中直线|t|的几何意义

<正>参数方程中直线|t|的几何意义一般是指直线上任一点M (x,y)到定点M_0(x_0,y_0)的距离.很多学生对直线|t|的几何意义往往只停留在知识的表层上,并没有内化于心、做到灵活运用.即使学生经过自己的主观努力,仍然不能做出正确的知识建构,耗费很长时间也很难得到较高的分数.深挖参数方程中直线|t|的几何意义,主要的目的是使学生深刻理解参数方程中直线|t|的几何意义,弄明白参数方程是直角坐标系下的一个点的坐标,而不同的|t|就构成了直线上不同的点.     

两组参级方程等价的一个充要条件

在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》P186.3中有这样一个习题:设x=t-t~2(t是参数),化普通方程x~2+2xy+y~2+2x-2y=0为参数方程。解这个习题,最后得两组参数方程: x+t-t~2 y=t~2+t’ x=t-t~2 y=t~2-3t+2 究竟这两组参数方程有什么关系?它们是否表示同一曲线?本文讨论如下。     

双曲线参数方程的推导及其应用

在现行中学数学教材中,虽然给出了双曲线方程的参数方程(φ为参数)但都未予以证明。那么方程中的参数φ的几何意义就不象直线、圆、椭圆、拋物线等参数方程中的参数那么明确和直观。因此不但给教学带来一些困难,而且学生学了双曲线的参数方程之后也不能用来解决有关问题。本文主要介绍双曲线参数方程的推导方法,并说明它的应用。     

化曲线的普通方程为参数方程中的舍解问题

将曲线的普通方程按照所给的条件化为参数方程,有时会出现两组解。是应该舍去其中的一组,还是两组解都应该保留?现行课本对这个问题未作任何说明。目前许多学生和少数教师在遇到有两组解时,总是习惯地舍去其中一组,殊不知这样做有时出现了错误。那么在什么情况下应该舍去其中一组解,舍去哪一组解?在什么情况下又不能舍去其中任何一组解呢?笔者谈点个人的粗浅看法。一、在两组解中,如果(A)组解所对应的点集是(B)组解所对应的点集的真子集,这时就该舍去(A)组篇。例1、设y=tx,化曲线方程x~2+2xy+y~2+2x-2y=0为参数方程。解:将y=tx代入所给的方程,整理得 x〔(t+1)~2x+2(1-t)〕=O     

摆线方程教学的一点建议

现行中学数学教材中,介绍了摆线和圆的渐开线的方程。其推导方法与常见的解析几何教本中一样,独立推理.教学中,我们觉得如果利用圆和直线的参数方程,采取运动合成的办法来推导,可使方程的几何意义明显,而且容易记忆和推广.     

直线参数方程的应用

直线的参数方程在数学解题中的应用是非常广泛的，运用直线的参数方程解题时，如果不注意参数t的几何意义，常会出现错误．本文谈谈直线的参数方程在解题中的应用，以使学生理解直线参数方程的本质特征．     

巧构反比例函数图像探究函数最值型问题的新解法

有人问陈省身先生:“什么是数学?”陈省身先生回答说:“数学的对象是打‘引号’的数与形”.不少代数(函数)问题常有其几何的背景,若能予以充分揭示,利用其几何意义、图形性质,常能获得直观、独特、巧妙的新解法.     

一道习题解答的完善

题:方程 x=((e~t+e~(-t))/2)cosθ y=((e~t-e~(-t))/2)sinθ当θ、t分别为参数时各表示什么图形?常见的解答是: (1)当θ为参数时,原方程变为 x/((e~t+e~(-t))/2)=cosθ, y/((e~t-e~(-t))/2)=sinθ。两式平方后相加得 x~2/((e~t+e~(-t))/2)+y~2/((e~t-e~(-t))/2)~2=1。它表示椭圆。 (2)当t为参数时,原方程变为     

直线参数方程的应用

如图1所示,经过点尸。(二。,夕。)、倾角是0的直线l的参数方程可写为:为0,如用直角坐标法证相当复杂(略)现用参数法证之. 证:设割线尸。B的参数方程为:(工乌丫)方于矛二xo+t .eosG二yo十tsf”0劣夕产.嘴‘ 、刀产 4 了叮、 rx=戈。十t一eo￡0 几夕==夕。+t·‘ine(t是参数)· 、此方程中参数t的系数的平方和为1.具有这种特征的直线参数方图1(才是参数)将(4)代入(l)并整理得:·t“+2(二。·eoso+r·s￡no)图2程,称为直线参数方程的标准式. 直线参数方程标准式中的参数t的几何意义是表示直线上的定点尸。(二。,y。)到动点尸(二,夕)的有向距离…     

“直线参数方程”教学浅谈

关于直线参数方程的应用,己有好多文章论及,本文仅从教学的角度,谈点粗浅的看法,供参考。一、正确理解参数t的几何意义,是学好直线参数方程的关键。参数方程的应用,实质是利用t的几何意义,只有对参数t的正确理解,才能在应用中自如。 1、切实掌握方程形式上的特点。过点M_0(x_0,y_0),倾斜角为α的直线l的参数方程为 x=x_0 lcosα y=y_0 tsinα其中0≤α<π,t为参数,它表示直线上定点M_0(x_0,y_0)到动点M(x,y)的有向线     

参数法在求轨迹方程中的应用

<正>有时求动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较容易发现(或经分析可以发现)这个动点的运动常常受到另一个变量的制约,或用这个变量可以将动点(x,y)中的x,y表示出来,我们可以取这个变数为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法,如果要得到轨迹的普通方程,需要将参数     

由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

化直线参数方程{x=x_0 at y=y_0 bt}为标准式的有关问题

在化直线参数方程一般式{x=x_0 at y=y_0 bt}(简称方程(Ⅰ))为标准式{x=x_0 tcosa y=y_0 tsina}(简称方程(Ⅱ))的问题上,存在一些模糊观念与错误作法,甚至在一些中学数学书刊与复习资料上也时有所见。如文[1]认为当a~2 b~2≠1时,方程(Ⅰ)中t不具有几何意义,而当a~2 b~2=1时,方程(Ⅰ)中t的几何意义与方程     

直线参数方程组的演变——几种常见超越曲线参数方程的统一

如果舍去t、α原有的几何意义,辩证地看待常量与参数,重新给与x_0,y_0,t,α以新的规定,将会得到一系列可喜的结论。 1。当固定x_0,y_0,t,让α变化,方程(1)就是圆的参数方程组。     

求双曲线切线方程一法

一引例对双曲线方程x~2/a~2-y~2/b~2=1 (1)我们同时给出一个与它有关的直线方程: b(t~2+a~2)x-a(t~2-a~2)y-2ta~2b=0 (2)这里t是参数。我们先介绍一下这个直线方程在求方程(1)所表示双曲线切线中的作用。引例问:过点P_1(4,0),P_2(6,2(3~(1/2)))P_3(3,2),P_4(0,2)能否作双曲线x~2/9-y~2/4=1的切线,若能,求出切线方程。解:已知a=2,b=3代入(2)得: 2(t~2+9)x-3(t~2-9)y-36t=0 (3) ①将P_1点坐标代入(3),得 8(t~2+9)-36t=0 2t~2-9t+18=0,t无实数解,这时我们说过P_1点的切线不存在。     

对一个定理和一个法则证明的教学管见

一、关于实系数一元n次方程虚根成对定理证明的教学。通用高中《数学》第三册103页给出了这个定理,课本上是这样叙述的:“还可以证明:如果虚数a+bi是实系数一元n次方程f(x)=0的根,那么它的共轭虚数a-bi也是这个方程的根。”但课本中却没有给出这这个定理的证明。是不是这个定理的证明学生无能力接受呢?回答是否定的。这个定理用学生学过的复数知识完全可以获得证明,而且学生还有能力来推导出这个定理的证明。据此,我认为应引导学生来证明这个定理,这样不但能使学生知其然,还能知其所以然,从而使学生把这个定理学得牢固,用得踏实。另外通过对定理的证明还可对前面学习过的复数知识进行复习和应用。实践证明、所达效果不出所料。     

中学解析几何課中有关参数方程教学的几个問題

大家知道,在平面上引入直角坐标系以后,一般的曲线可以用普通方程 F(x,y)=0 (1)或参数方程来表示。参数方程起源于物理学上的应用,特别是在力学里,经常用参数方程表示质点的运动方程,其中参数t表示质点运动的时间。一个具体力学问题,如果一经作成质点的运动方程,则力学问题就可化为数学问题求解。为了进一步研究一般曲线,我们把参数t表示时间的具体意义抽象掉,于是参数方程(2)就可以看作是一般曲线的方程。因此对曲线参数方程的概念以及有关曲线与它的参数方程如何互相为用的问题,就很有研究的必要了。现在仅就现行中学平面解析几何课本参数方程一章中的主要概念与方法,提出一些个人看法,其中也涉及某些具体问题的处理,与同志们共同研究。内容包括:(一) 曲线参数方程的定义;(二)曲线的参数方程与普通方程的互化;(三) 由参数方程画图;(四) 利用参数建立轨迹方程。     

有理化因式存在性的行列式证明

<正> m个根式A_1~(n_1/2),A_i~(n_2/2),…,A_m~(n_m/2)的有理多项式的有理化因式是否存在?如果存在应如何求?这是中学数学教学中既不能迴避,又不能作一般回答的一个重要问题之一,并且现行的大学高等代数教材中对这个问题也未作一般回答.     

推导椭圆标准方程的几点体会

在推导椭圆的标准方程的教学中,如果教师引导学生探索其中的数量关系,可以得出许多有趣的规律。教材中关于椭圆标准方程推导如下: |MF_1|+|MF_2|=2a((x+c)~2+2)~(1/2)((x-c)~2+y~2)~(1/2)=2a((x-c)~2+y~2)~(1/2)=a~2-cx(*)b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2x~2/a~2+y~2/b~2=1(b~2=a~2-c~2)。从这个推导中我们可以算出下列几个结论。 (一)由(*)式((x-c)~2+y~2)~(1/2)/(a~2/c-x)=c/c