巧用阿波罗尼斯圆妙求最值

<正>例(2008年高考江苏卷13)若AB=2,AC=2^(1/2)BC,则S_(△ABC)的最大值是_____.解三角形是高考必考内容,重点为正、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主,难度不大;解答题主要考查与函数结合,实现边角互化,或用以解决实际问题,难度中档,侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.     

从一道高考题引出的关于解三角形的思考

在历年高考中,解三角形问题都是必不可少的考查内容,其中有些题目是以平面四边形为载体(例如2018年全国I卷理科第17题和2014年全国新课标Ⅱ卷文科第17题),主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换等内容,涉及到数形结合、转化与化归、函数与方程等思想,出发点是考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养和能力,强调了对数学本质的理解.本文以一道平面四边形为载体的高考真题为例,从多个角度进行分析解答,并给出解三角形问题的复习备考建议.     

数列中的奇偶项求通项与求和

<正>数列分奇偶项求通项和求和问题是高考常考的问题,例如2012年全国Ⅰ卷理科第16题,2014年全国Ⅰ卷理科第17题和2021年全国Ⅰ卷第17题都对此问题进行考查,这类问题由于涉及到分奇偶项讨论,解法多样,过程比较繁琐,同学们对此类问题普遍感到比较棘手,本文针对此类问题给出一般的求解思路.     

一道数学竞赛题别证

<正>(2019年地中海地区数学竞赛第1题)已知△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线与边BC 交于点 D.记△ABD,△ADC,△ABC 的内切圆半径分别为r_B,r_C,r,AC=b,AB=c.证明:1/r_B+1/r_C=2(1/r+1/b+1/c).这道题主要考查三角形内切圆相关知识.参考答案主要借助三角形内角平分线定理,解三角形的余弦定理,及三角形面积公式(含海伦-秦九韶公式)转化为三角形边的关系进行证明.     

多角度解一高考客观题

<正>2019年高考已经拉下帷幕,纵观全国各地高考数学试卷,全国卷Ⅰ中的立体几何客观题给我们的印象颇深.近几年全国卷Ⅰ理科数学对立体几何的考查格外重视,比如2017年第16题、2018年第12题、2019年第12题,都是处于客观题压轴题的位置上.对比一下今年的高考题更是有意义,题目设置基本,背景熟悉,但极能考查综合解决问题的能力.我们经过反     

从两道高考试题到等周问题的变式研究

试题1 (2006年高考全国卷理科12题)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为() A.8 (√)5cm2 B.6(√)10cm2 C.3 (√)55cm2 D.20cm2 试题2(2013年高考全国新课标乙卷理科12题)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…,若b1＞c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an/2,cn+1=cn+an/2,则()     

追根溯源求本质 反思感悟探新知

>2020年高考全国Ⅰ卷理科第20题及北京卷理科第20题分别是一道圆锥曲线中的定点和定值问题,考查了椭圆的基本性质,也考查了分析问题、解决问题的能力尤其是运算求解能力.本文分别对试题第(2)问中的定点及定值进行探究,发现他们在本质上其实是一对姊妹题,并对其进行拓展,给出了一般性的结论.     

一道2021年全国高中数学联赛一试试题的解法赏析

<正>(2021全国高中数学联合竞赛一试(A卷)·5题)在△ABC中,AB=1,AC=2,B-C=2π/3,则△ABC的面积为＿．初见此题,解答起来是不会遇到太大麻烦的,因为本题以考查基础知识与基本能力为主,注重的是逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养,因而此题蕴含着广阔的思维空间,解决方法很多,而且各种方法的运算各具特色,下面我们一同赏析．思路一从解三角形角度入手,     

由一题多解浅谈如何提高高考复习备考效率

<正>在高考复习备考中,应有意识地选择典型问题进行一题多解,进行训练以使同学们加强对知识系统的横向联系和深刻理解、优化解题思路,从而提升高考复习备考的效率.本文从2017年新课标Ⅲ卷理科12题的一题多解入手,阐述了提高高三复习备考效率的一种想法和理念.例(2017年新课标卷Ⅲ理科12题)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点     

一道三角形试题的多解及背景溯源

2013年新课标I卷理科数学第17题是一道解三角形问题,难度不大,但其背景深远,内涵丰富,充分体现了解法的开放性与探究性,思考其解法给人的感觉耳目一新,是一道展示课程标准理念,考查学生的创新精神的好题．     

对2019年全国卷Ⅲ第18题的解法赏析与拓展

<正>三角函数及解三角形是高中数学的重点内容之一,也是高考的常考点.2019年全国卷III第18题是一道解三角形的问题,看似平常,但实际上是一道能很好地体现学生思维过程的研究性试题,更能够很好地考查学生的素养.下面我们就从不同视角探究试题的解法策略,并加以变式应用.1思路展示与解答     

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(广东类)参考解答及评分标准

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分.满分60分.A型卷答案(1)C(2)A(3)A(4)C(5)B(6)B(7)B(8)A(9)C(10)D(11)B(12)C二、(13),(14),(15),(18)分别与理科(15),(16),(17),(18)题相同.三、解答题(17)与文科19题相同;(18)本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力;满分12分;解:由0<θ<π2得tgθ>0.由z=3cosθ isinθ得tgθ(argz)=sinθ3cosθ=23tgθ.故tgy=tg(θ-argz)=tgθ-23tgθ1 23tg2θ4分…………………=13tgθ 2tgθ,∴3tgθ 2tgθ≥26,∴13tgθ 2tgθ≤612;8…     

2019全国卷Ⅱ(理科)数学第20题的一个注记

<正>1引言两个曲线的公切线问题一直是高考的一个热点问题,例如:2003年的全国卷(文科,新课程卷)第18题(可参见文献[1]),2016年江苏卷第19题(Ⅱ),2018年的天津卷(理科)第20题等均与切线有关,在平常模拟考试中,这类题更是层出不穷.2019全国卷Ⅱ数学(理科)第20题看似很好入手,其实并非如此,其中第二问,会让部分     

多角度解三角形最值问题

<正>解三角形是三角函数知识模块中的重点内容之一,乃高考、模拟考中考查的热点,能考查同学们综合解决问题的能力,备受命题者的青睐.湖南六校2019年4月的高考模拟题理科数学第16题,题干简练,设计新颖,是一道令人求解后收获颇丰的典型试题.为此,我们从多个角度进行分析与求解,以飨读者.     

平稳过渡关注应用层次分明重视探究(续)——2007年全国高考数学新课标卷综评及2008年备考展望

1.7 应用考查 　　6份试卷均加强了对应用题的考查.创设了考查数学实践能力的新颖环境,不但在概率与统计、排列与组合等知识上仍然以实际问题作为命题背景,而且还在其它有关知识上专门设置了应用题.例如如广东卷文科第(7)题(理科第6题)和第(18)题(理科第17题)都创设了应用的背景.……     

向量数量积的最值问题

<正>平面向量是沟通代数与几何的桥梁,也是解决数学问题的重要工具,其中考查频率比较高,比较热的问题就当数向量的数量积了,比如今年的全国卷Ⅰ理科第13题,全国卷Ⅱ理科第12题,山东卷理科第12题,天津卷理科13题,浙江卷理科第10题,都直接或间接的考查向量的数量积.而处理这类问题最有效的策略就是"三化"即坐标化、基底化、几何化.     

一道考题的错解剖析与正确解法

<正>2005年数学(全国卷Ⅰ)理科第(17)题是一道有别于往年试题模式,主要考查三角函数性质及图像的基本知识以及推理能力、运算能力的试题.解答此题主要用到三角函数图像变换、对称性、周期性及导数几何意义的应用等知识点.试题如下:     

“爪形”三角形的常用解法

<正>三角形中的一个顶点与对边上一点连线得到的图形通常叫做“爪形”三角形．近两年,2021年新高考卷Ⅰ,2022年全国甲卷考查了“爪形”三角形,2023年在新高考卷Ⅰ、新高考卷Ⅱ、全国甲卷理科和全国乙卷理科都考查了“爪形”三角形,这种题型已成为全国高考数学卷中的热点．从单一的三角形到“爪形”三角形,解三角形的题目也随之从单一到复合,突出对正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换等基础内容的考查;与平面几何内容的综合,增强了考查的综合性．虽然考查难度虽仍属中等,但综合性变强,求解方法更加灵活多样．下面介绍求解此类问题的常见思路与方法．     

探思路寻解法

<正>例1在锐角三角形ABC中,sinA=2sinB·sinC,则tanAtanBtanC的最小值是____.2016年高考数学江苏卷理科第14题是一道涉及三角函数的最值问题,题干短小、内涵隽永.很好的考查了三角形中的边角关系、诱导公式,以及两角和与差的正余弦公式,又融入了不等式知识.笔者在备考学习的过程中与同伴相互讨论,也借鉴了高考资料中的解法,从     

三角形面积取值范围的代数求法与几何求法

<正>求三角形面积的取值范围及其最大值问题,能较好考查转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法.本文从代数角度与几何角度出发,探究这类动态问题的四种形态.1"一边及其对角"型例1 (2020全国Ⅱ理科第17题改编)在△ABC中,