一起争执引发的思考

前几天的一个晚自习,我在办公室备课,两个同学拿着作业本找到了我,他们为一道题的解法起了争执,两人都认为自己的解法是对的,但又都看不出对方的解法有什么错误,偏偏两种解法的结果是不一样的,所以找到我让我做个裁判.题目很简单,是我们刚学过的数列的通项的这一节课的课后作业     

一起争执引发的思考

前几天的一个晚自习,我在办公室备课,两个同学拿着作业本来找我,他们为一道题的解法起了争执,两人都认为自己的解法是对的,但又都看不出对方的解法有什么错误,而两种解法的结果是不一样的,所以让我做裁判．题目很简单,是我们刚学过的数列的通项这一节课的课后作业题:已知数列{an}的首项为a1=3,且2an-1=Sn 1 Sn,求数列{an)的通项公式．下面是两位同学的解法．     

让探索成为数学课堂教学的主线

有一天 ,王萍、傅丽丽两位同学来到我的办公室 ,请我给她们做一次“裁判”.事情的起因源于一道习题 :在等比数列 {an}中 ,已知 a2 =2 ,a6=8,求 a4.王萍同学解法是 :设公比为 q,∵　 a6=a2 q4,　∴　 q4=4 ,得 q2 =2 ,∴　 a4=a2 q2 =4 .而傅丽丽同学则是这样解的 :由等比数列性质可知 a2 ,a4,a6成等比 ,故 a24=a2 a6=1 6 ,　∴　 a4=± 4 .两位同学都确信自己的解法没错 ,而结果却不一致 ,但又不能指出对方的解法错在何处 ,于是想到请我这个老师帮忙“指点迷津”.我对两位同学善于探索、敢于提问的精神表示赞许之后 ,并不急于向她们亮出“谜…     

对裁判的裁判——主观评分中裁判水平的评价

在主观评分项目的比赛中，裁判的评分不仅是对参赛者的裁判，而且是裁判自身裁判水平的表现．传统的统计方法没有完整地讨论过对裁判的评价问题．本文对主观评分项目比赛（如体操、跳水、歌咏、舞蹈、酒茶等等）中裁判员的表现进行数量分析加工，提炼出对裁判员评价的数量指标，期望产生得到社会公认的对裁判员评价的数量方法，使主观评分更加客观公正．     

快速遴选优胜者

本文给出了一个行之有效的方案来确定某次竞赛的优胜者．首先，假定裁判是理想的（无误差的），我们提出了一个基本模型在几乎最短的时间内确定出前W名．在我们的方案中，用一个矩阵来记录从当前已知的裁判评分中所得到的“当前名次”，并且在一轮之后尽可能多地淘汰试卷．然后，我们考虑现实中的裁判（有误差的），估计了最后选出的W名中包含有非前2W名试卷的概率．进一步，考虑到打分方案中的系统偏差，我们用贝叶斯估计对模型做了改进，使不同裁判的评分有了一定的可比性．为检验模型的可行性，我们做了大量的计算机模拟，模型检验中我们发现，如果适当增加从第一轮中选拔出来的试卷数，将使我们的模型结果更好．我们还通过改变参数P，J，W对模型作了稳定性分析，并且得到了一个经验公式，可以用来预测在一定P，J，W值下评卷的总时间．接下来，我们采用了现实生活中的数据来检验模型，结果相当好当P=50，J=3时，若取W=2，用我们的方案得到了第一名和第三名若取W=3，得出的正是前三名．最后，我们总结出了一个灵活实用的方案，并提出了一些建议在模型推广中，我们还利用经验公式对开支做了预算．     

谁有优势

星期日,小红和小明姐弟俩在家玩.小红拿 出了三枚硬币,对小明说:"我们来做一个游戏好 吗?"小明一听"做游戏",可来劲了,连忙叫好.于 是小红向小明约定了如下的游戏规则: 两人轮流同时抛掷这三枚硬币,如果掷得 "两正一反",那么小明得8分,否则小红得5 分.小明觉得"两正一反"的情况比较多,而且 赢一次可得8分,觉得还蛮划算的,就同意了.     

快速筛选优胜者的最优策略

“快速遴选优胜者”一文 (简称文 [1 ])是刊登在《数学的实践与认识》96.4上的一份关于 MCM96B题的答卷 .它虽然给出了正确选出优胜者的方案 ,但它无法证明此方案是最优的 ,而且对于裁判数额等参数只给出了粗略的估计 .针对上述问题 ,本文对 MCM96B题又作了详尽的分析 ,通过论证给出了快速遴选优胜者的最优方案 ,而且给出了裁判数额与阅卷经费等参数的最优配置模型 .     

三人行,必有我师

“三人行,必有我师”这句话出自《论语》,说的是古代一位大学问家孔子,虽然他的学问很高,但仍很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个可以做自己的老师.这是孔子一句自谦的话,实际情况怎样?俗话说“三百六十行,行行出状元.”我们不妨把一个人的才能分成36 0个方面.因为孔子是大学问家,我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99,即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99.则在任一行中,另外两个的才能均不超过孔子的可能性是99×99=98.0 1,而在36 0行中,另外两人的才能均不超过孔子的可能性…     

古希腊神话与倍立方问题

古希腊曾流传着这样一个神话:公元前四 百年左右,希腊第罗斯岛上流行伤寒病,许多 人得病死亡,为了消除这个灾难,人们便一起 到岛上的神庙去祈求神灵保佑,太阳神阿波罗 说:"如果要使疫病被制止,除非把我神殿前的 立方体祭坛不改变形状而使体积增大原来的 两倍."当第罗斯岛人听说之后,很高兴,认为 这很容易做到,以为只要把立方体祭坛的各棱 长放长一倍就可以了.于是,他们就做了一个 新祭坛.但是,疫病并没有停止,反而更加猖獗 蔓延.原来他们做的那个新祭坛是原来体积的 八倍,而不是原来的两倍.     

一类传球问题的推广及解法公式

问题甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习,第一次甲先传给其他三人中一人,第二次拿球者再传给其他三人中一人.这样共传了4次,则第四次球仍传回到甲的传法共有多少种?分析甲→□→□→□→甲.分两类,第一类中间一空是甲,共有3×3=9种传法.第二类中间一空不是甲,则有3×2×2=12种传     

赛程中裁判分派问题的研究

应用图的边着色和全着色理论,研究了赛程中的单循环比赛的裁判分派问题,给出了最优分派结果.     

提倡有意义的数学学习方式

学生的学习方式一般有接受和发现两种 .两种学习方式都有其存在的价值 ,彼此也是相辅相成的关系 .但是传统的学习方式过分突出和强调接受与掌握 ,冷落和忽视发现与探究 ,从而在实践中导致了对学生认识过程的极端处理 ,使学生学习书本知识变成仅仅是直接接受书本知识 (死记硬背书本知识即为典型 ) .学生学习成了纯粹被动地接受、记忆的过程 .这种学习方式窒息人的思维和智力 ,摧残人的学习兴趣和热情 .它不仅不能促进学生发展 ,反而成为学生发展的阻力 .落实有意义的数学学习方式 ,一个重要举措就是要倡导“做数学”(doingmathematics)的理念…     

高考中要注意客观题的答题技巧——零距离访问命题人

自1951年有高考以来填空题就同时进入了数学高考试卷.选择题是从1983年开始进入高考试卷的.我们在做这些客观题时切不可像做主观大题一样,每一步的前因后果都算得清清楚楚,这样不但浪费了大量的时间,而且也误解了命题人的本意,失去了做客观题的意义.下面是笔者和命题人的一段对话,通过这段对话,也许我们能从中体会出一些解题思想.……     

对一道高考题的反思和探究

2009年高考陕西省理科数学卷第22题是一道数列问题,这已经是连续第四年用数列作压轴题了,有着较为深刻的背景,让人做过之后回味无穷.下文仅仅是我做过之后的一点思考和看法.     

迷雾散尽 本质凸显——由一个数学期望问题引发的思考与探究

在一次巡视学生独立作业的过程中,发现一个看似简单的问题,好多人没有做(空着),做的人中,答案正确的也是寥寥无几.为了寻找学生思路受阻和解答错误的原因,笔者记下题目开始思考.题目是     

1999年小学数学奥林匹克决赛卷

(本卷时间90分钟,总分140分,每小题10分)1.计算:45.9÷1.7÷0.27×0.7= 个7),则这三个数从大到小的顺序是2.若435×口÷35=870,则口=3.计算(答数用分数表示):(未 0.7)×3吾 10.01÷男一一’ 4.用10元钱买4角、8角、1元的画片共15张,那么最多可以买l元的画片——～张. 5.甲、乙、丙、丁四人平均每人植树30多棵,甲植树棵数是乙的号,乙植树棵数是丙的l丢,丁比甲还多植3裸,那么丙植树——棵. 6.一项工作,甲、乙两人合做8天完成,乙、丙两人合做9天完成,丙、甲两人合做18天完成,那么由丙一个人来做,完成这项工作需要一——天. 7.如右图,一个矩形被…     

谈谈美国研究生资格考试的一个试题

外国人的东西未必是最好的,起码对某些题目的解答未必最优.在美国一著名大学数学系研究生的资格考试中,有一道题目,分成两问,为行文方便,姑且叫做问题1　设b1≤b2 ≤…≤bn,a1≤a2 ≤…≤an,且a1+ a2 +…+ an=0 .求证:∑ni=1aibi≥0 .问题2　设f ,g在[0 ,1 ]上连续,且f ,g都递增.求证∫10 f ( x) dx∫10 g( x) dx≤∫10 f ( x) g( x) dx.(提示:先考虑条件∫10f ( x) dx =0 ) .通常人们认为,大凡有一问题被分为两个小问题,实际上包含了重要的信息.问题2的提示是命题人给出的,不难想象,应当先做问题1的离散情形,再做问题2的连续情形.有了这两…     

灰色分派问题

在分派问题中,总假设被分派工作的人(或机器)做各项工作的效率(或所费时间)都是确定的值.但实际上,对于以往未做过的工作,或做过但情况变化较大的工作都难以定下确切的工作效率,而只能估计出一个大概范围.这也就是说工作效率是有理灰数.我们把这一类分派问题称为灰色分派问题.本义给出了灰色分派问题的有关定义和求解方法.     

一个游戏引起的思考

有ｎ堆棋子 (ｎ∈Ｎ且Ｎ ≥ 2 ) .两人做游戏 ,轮流取子 ,规定每人可在其中任一堆里每次取走若干颗 ,但不能不取 ,也不能同时从两堆里取 ,取得最后一颗者胜 .这个游戏操作简便且老幼皆宜 ,为农村广大游戏爱好者常做游戏之一 .不过如若细加思考 ,便会发现 ,该游戏中蕴藏着诸多必然 .本文仅就几种特殊的情形加以研究 .【情形 1】有两堆棋子 ,且数目相等 ,若按上述游戏规则进行 ,则后取者必胜 .证明　设两堆棋子均为ｎ颗 (ｎ ∈Ｎ) ,若先取者在一堆棋子中取走ｍ颗 (1 ≤ｍ≤ｎ) ,则后取者可在另一堆中也取走ｍ颗 ,使两堆棋子数保持相等 ,如此下…     

关于“一类最优指派问题的动态规划模型”的注记

考虑一类较一般的最优指派问题 :欲指派 m个人做 n项工作 (m≥n) ,要求每个人只做一项工作 ,第j项工作可以由 bj个人共同去做 ,其中 bj是待求未知数 ,满足 dj≤ bj≤ ej(即 ej,dj为第 j项工作所需人数的上下限 )及 ∑nj=1bj=m(即每个人都有工作 ) ,dj,ej为已知常数 ,j =1 ,… ,n.第 i人做第 j项工作的效益为 cij≥ 0 ,i =1 ,… ,m;j =1 ,… ,n.本文建立求解上述最优指派问题 (使总的效益最大 )的动态规划模型 ,并将文 [1]作为本文的特例 .